定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则 1122n n q a q a q a 是m 得倍数．
证明： 12,,n a a a 都是m 的倍数。
存在n 个整数12,,n p p p 使 1122,,,n n a p m a p m a p m 又12,,,n q q q 是任意n 个整数
1122n n q a q a q a 1122n n q p m q p m q p m
1122()n n p q q p q p m
即1122n n q a q a q a 是m 的整数 2．证明 3|(1)(21)n n n
证明 (1)(21)(1)(21)n n n n n n n (1)(2)(1)(1)n n n n n n
又(1)(2)n n n ，(1)(2)n n n 是连续的三个整数 故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n
3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n
从而可知
3|(1)(21)n n n
3．若00ax by 是形如ax by （x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ．
证： ,a b 不全为0
在整数集合 |,S ax by x y Z 中存在正整数，因而有形如ax by 的最小整数00ax by
,x y Z ，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by
则00()()r x x q a y y q b S ，由00ax by 是S 中的最小整数知0r
00|ax by ax by
00|ax by ax by （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b 00|(,).ax by a b 又有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by 故00(,)ax by a b
4．若a ，b 是任意二整数，且0b ，证明：存在两个整数s ，t 使得
||,||2
b a bs t t
成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？
证：作序列33,,,,0,,,,2222
b b b b
b b 则a 必在此序列的某两项之间
即存在一个整数q ，使
1
22
q q b a b 成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b 则令,22
q q
s t a bs a b
，则有 02222
b q q q
a bs t a
b a b b t
若0b 则令,22q q
s t a bs a b
，则同样有2
b t ()ii 当q 为奇数时，若0b 则令11
,
22
q q s t a bs a b
，则有
若 0b ，则令11
,22q q s t a bs a b
，则同样有2b t
，
综上所述，存在性得证．
下证唯一性
当b 为奇数时，设11a bs t bs t 则11()t t b s s b 而111,22
b b
t t t t t t b
矛盾 故11,s s t t 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时
2
b
为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t
§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1
推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同． 证：设d 是a ，b 的任一公因数， d |a ，d |b 由带余除法
111222111111,,,,,
0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b
(,)n a b r
d |1a bq 1r ， d |122b r q r ，, ┄d |21(,)n n n n r r q r a b ,
即d 是(,)a b 的因数。
反过来(,)a b |a 且(,)a b |b ，若|(,),d a b 则|,|d a d b ，所以(,)a b 的因数都是,a b 的公因数，从而,a b 的公因数与(,)a b 的因数相同。
2．证明：见本书P2，P3第3题证明。
3．应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）．
解：有§1习题4知：
,,0,,,a b Z b s t Z 使,||2
b
a bs t t
。， 11,s t ，使1112
||,||,,22t b
b s t t t 如此类推知： 21,,;n n n n n n s t t t s t 11111,,;n n n n n n s t t t s t
且1221||||||||
||2222
n n n n n t t t b t
而b 是一个有限数，,n N 使10n t
1121(,)(,)(,)(,)(,)(,0)n n n n a b b t t t t t t t t t ，存在其求法为：1(,)(,)(,())a b b a bs a bs b a bs s
(76501,9719)
(9719,7650197197)(8468,97198468)
(1251,846812516)(3,1)1
4．证明本节（1）式中的log log 2
b
n
证：由P3§1习题4知在（1）式中有 12112102222
n n n n n n r r r b
r r
，而1n r 1,22n
n b b
， 2
log log log 2b n b ，即log log 2
b n §3 整除的进一步性质及最小公倍数
1．证明两整数a ，b 互质的充分与必要条件是：存在两个整数s ，t 满足条件1ax bt ． 证明 必要性。若(,)1a b ，则由推论1.1知存在两个整数s ，t 满足：(,)as bt a b ，
1as bt
充分性。若存在整数s ，t 使as+bt=1，则a ，b 不全为0。 又因为(,)|,(,)|a b a a b b ，所以(,|)a b as bt 即(,)|1a b 。 又(,)0a b ，(,)1a b 2．证明定理3
定理3 1212,,||,||,||n n a a a a a a 证：设121[,,,]n a a a m ，则1|(1,2,,)i a m i n ∴1|||(1,2,,)i a m i n 又设122[||,||,,||]n a a a m 则21|m m 。反之若2|||i a m ，则2|i a m ，12|m m 从而12m m ，即12[,,,]n a a a =122[||,||,,||]n a a a 3．设1110n n n n a x a x a x a （1）
是一个整数系数多项式且0a ，n a 都不是零，则（1）的根只能是以0a 的因数作分子以n a 为
不是有理数．
证：设（1）的任一有理根为
p
q
，
(,)1,1p q q 。则
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