3.9解：
符号化：
p：a是奇数. q：a是偶数. r：a能被2整除
前提：(p→¬r),(q→r)
结论：(q→¬p)
证明：
方法1（真值法）
p | q | r | p→¬r | q→r | (p→¬r)∧(q→r) | q→¬p |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| | | | | | |
由上表可知，没有出现合取式(p→¬r)∧(q→r)为真，结论(q→¬p)为假的情况，因此推论正确。 方法2（等值演算法）
(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)
⇔ (¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)
⇔ (p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p
⇔ ((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)
⇔ (r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)
⇔ ¬p∨(r∨¬r) ∨¬q
⇔ 1
即证得该式为重言式，则原结论正确。
方法3（主析取范式法）
(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)
⇔ (¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)
⇔ (p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p
⇔ m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7
3.10. 解：
符号化：p：a是负数. q：b是负数. r：a、b之积为负
前提： r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)
结论：¬r→(¬p∧¬q)
方法1（真值法）
证明：
p | q | r | (p∧¬q) ∨(¬p∧q) | (¬p∧¬q) | r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q) | ¬r→(¬p∧¬q) |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| | | | | | |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| | | | | | |
由上表可知，存在r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)为真，结论¬r→(¬p∧¬q)为假的情况，因此推理不正确。
方法2（主析取范式法）
证明：(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) →(¬r→(¬p∧¬q))
⇔ ¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) ∨(r∨(¬p∧¬q))
⇔ r∨(¬p∧¬q)
⇔ m0+m2+m4+m6+m7
只含5个极小项，课件原始不是重言式，因此推理不正确
3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
解：
③：①②析取三段论
⑤：③④析取三段论
3.12. 填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
解：
：化简规则
：化简规则
： 假言推理
： 假言推理
： 假言推理
： 假言推理
3.13.证明：
∵前提¬(p→q)∧q ⇔ ¬(¬ p∨q)∧q ⇔p∧¬q∧q ⇔0为矛盾式
∴以(¬(p→q)∧q)∧(p∨q)∧(r→s) →B.(B为任何结论)的推理的前件在任何赋值 下均为假
∴无论结论如何，推理总正确
3.14.在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明:
(1)前提: p → (q → r), p, q
结论: r ∨ s
(2)前提: p → q, ¬ (q ∧ r), r
结论: ¬ p
(3)前提: p → q
结论: p → (p ∧ q)
(4)前提: q → p, q⇒s, s⇒t, t ∧ r
结论: p ∧ q
(5)前提: p → r, q → s, p ∧ q
结论: r ∧ s
(6)前提: ¬ p ∨ r, ¬ q ∨ s, p ∧ q
结论: t → (r ∨ s)
(1)证明:
① p →(q→r) 前提引入
② p 前提引入
③ q→r ①②假言推理
④ q 前提引入
⑤ r ③④假言推理
⑥ r∨s ⑤附加律
(2)证明:
① ¬ (q ∧ r) 前提引入
② ¬ q ∨¬ r ①置换
③ r 前提引入
④ ¬ q ②③析取三段论
⑤ p → q 前提引入
⑥ ¬ p ④⑤拒取式
(3)证明:
① p→q 前提引入
② ¬ p∨q ①置换
③ (¬ p∨q)∧(¬p∨p) ②置换
④ ¬ p∨(p∧q) ③置换
⑤ p→(p∧q) ④置换
(4)证明:
① s↔t 前提引入
② (s→t)∧(t→s) ①置换
③ t → s ②化简
④ t ∧ r 前提引入
⑤ t ④化简
⑥ s ③⑤假言推理
⑦ q↔s 前提引入
⑧ (s→q)∧(q→s) ⑦置换
⑨ s→q ⑧化简
⑩ q ⑥假言推理
11 q→p 前提引入
12 p ⑩11 假言推理
13 p ∧ q ⑩○12 合取
(5)证明:
① p → r 前提引入
② q → s 前提引入
③ p ∧ q 前提引入
④ p ③化简
⑤ q ③化简
⑥ r ①④假言推理
⑦ s ②⑤假言推理
⑧ r ∧ s ⑥⑦合取
(6)证明:
① t 附加前提引入
② ¬ p ∨ r 前提引入
③ p ∧ q 前提引入
④ p ③化简
⑤ r ②④析取三段论
⑥ r ∨ s ⑤附加
3.15.在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理:
(1)前提: p → (q → r), s → p, q
结论: s → r
(2)前提: (p ∨ q) → (r ∧ s), (s ∨ t) → u
结论: p → u
(1)证明:
① s 附加前提引入
② s → p 前提引入
③ p ①②假言推理
④ p→(q→r) 前提引入
⑤ q → r ③④假言推理
⑥ q 前提引入
⑦ r ⑤⑥假言推理
(2)证明:
① P 附加前提引入
② p∨q ①附加
③ (p∨q)→(r∧s)前提引入
④ r ∧ s ②③假言推理
⑤ s ④化简
⑥ s ∨ t ⑤附加
⑦ (s ∨ t) → u 前提引入
⑧ u ⑥⑦假言推理
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