说明：
目前，许多工业生产活动及研究机构的主要目的是创造高精密产品，并涉及一些高精密加工的过程。而生产这些产品，需要高度专业化的科学，也就是所谓的精密工程。精密工程是建立在一些基础学科之上的，包括：
■精密设计design for precision
■光学和机械计量optical and mechanical metrology
■精密制造precision manufacturing
这里的精密设计是指总体设计，包括材料设计，动力学设计，电子设计，控制设计，热力学设计以及软件设计。而且，它可能还包括高精密机电设计。随着人们对高精度的仪器、设备和消费品的日益增长的需求，高精度设计变得越来越重要。如今，这种趋势越来越多地被计算机技术、数控处理和存储技术的快速发展所影响。这个过程始于1958年集成电路板的发明。当芯片上有更多地晶体管时，需要特别的机器，这种机器要求在几个毫微米内有极低的定位不确定度。例如，一台仪器是由晶片构成的，用来定位晶硅表面集成电路的映像。只有通过高度发展的设计和加工技术才能达到生产这种仪器的要求。越来越 多的高密度光录音系统（DVD）——作为光盘掌握系统的一种产物，需要先进的机器和纳米技术，来决定其不确定度。这种机器中的零部件，像轴承、驱动、光束整形镜，需要亚微米级精度。在机械加工过程中，基于亚微米，甚至纳米级的准确性，都必须发展。
在动量学中，高精度测量技术也得到了很大的发展。例如，测量软件、误差模型、测量技术和测量方法的发展。测量零件和产品需要有足够的准确性。测量亚微米甚至纳米级精度的机器要发展，要具有新的设计技能。因为现有的设计方法很难达到高精度测量的水平。因此，计量学作为一项基本的原则，随着数据的增多，面临着不准确的问题。如坐标测量机，激光干涉仪和纳米传感器等，如STM和SDM。因此，许多分析软件和误差补偿软件得到了相应的发展和应用。 精密制造主要关注与实现产品的形状精度和表面质量。精确度可以达到纳米级，而要达到这个水平，就必须了解机器设计以及加工的过程和这两者之间的相互关系。比如，工件和工作台之间的关系。这里提了几个加工技术的例子，如金刚石车削，磨削，研磨，珩磨，抛光，离子和电束加工和化学加工。关于机器和机器技术的良好观点是由Nakazawa和Taniguchi 提出的。这个领域的新的发展方向是纳米技术。
在精密测量和加工领域可以给出很多有趣的例子，但本文主要侧重于在精密工程中的“精密设计”作为基本的研究内容。不过，这里明确的指出的是，早期天文学和计量学的发展对精密设计的发展具有很大的影响。
埃文斯（Evans）在1989年提出了一个关于历史发展的观点。19世纪，具有很多发明和创造，特别是在设计领域。通过发展线性和圆形分割仪，获得了很多知识。在设计和加工精密仪器的过程中，使用了许多著名的原则，如“运动学设计原则”，“阿贝原则”等。在20世纪，随着各种精密测量仪器的发展，粳米设计的知识又得到了进一步的完善和发展。其中，一个显著的例子就是由美国制造的“大型光学金刚石切割机”。此外，还有Bryan的一些完美的设计品，这些作品包括84英寸大型金刚石切割机。最近，关注的主要是分子测量的发展。如图1.1所示。
在欧洲，研究精密工程的克兰菲尔研究所和泰勒霍布森共同制定了一项范围广泛的高精密仪器，包括“纳米中心”。早在19世纪50年代，飞利浦研究实验室就已经研发了一种内部使用的高精度测量仪。在德国和瑞士，Zeuss和GSIP公司发展了高精密测量和加工仪，而GSIP公司可追溯到1875年。
日本在高精密测量仪器的发展上，也有一个很长远的历史。现在，日本在这个领域上也有相当大的成就。作为关于日本现状的最好的概述，是由Taniquchi在《纳米技术》一书中提出的。这里举一个佳能超级抛光机的例子。如图1.2所示。
此图中表明了目前的趋势，以及预测。精密工程的未来趋势主要取决于集成电路的技术、资料显示和存储、生物医学工程和消费产品的需求。随着分子工程和纳米技术的发展，人们在未来对高精度仪器的需求也会越来越多。由此，高精密仪器也会飞快地发展。
在未来高精密仪器和产品的发展中，精密设计起着非常重要的作用。设计将体现多学科的设计组使用的总的设计方法。由于日益增加的成本，要求这种先进的设计在第一时间内必须是正确的。因此，“预测设计”必不可少。本文介绍一些精密设计的基本概念以及在精密工程重要领域的发展现状和未来趋势。
2.精度要素elements of precision
在许多精密仪器和设备中，各零部件相互作用，以达到最终的精度。每一部分由运动学和动力学的影响所造成的几何偏差，构成了整体精度。尽管在实际中，这些因素的相互在整个系统中起着相当重要的作用，但这里，我们只讨论这些因素的单独作用。
2.1定义definitions
在整个文件中，仪器和机器的一些术语都将用来表示一器械。计量的定义是通过《在度量衡中国际基本词汇和一般术语》而来的。在精密设计中，主要涉及的是机器和设备，而不是单纯的度量衡。精确定位和机床加工也是其中的关键。因此，在此给出了一些定义，都是摘自上面所提到的国际词汇中。
■操作的精确度：操作所得的实际值与目标值之间的一致性。精确度是一个定性的描述。
■操作的不确定度：是表征测量结果的一个参数，用以表示被测量值的分散性。
■分辨力：指示仪器可以分辨的最小的差异。
■重复性（实验结果）：相同条件下，多次测量实验结果相吻合的程度。
■再现性：条件改变时，相同测量结果相吻合的程度。
其它定义：分别测量两台不同的机床（美国机械工程师协会B89.41-1997和B5.54-1993），并且在国标中也给出了定量的描述，Bryan在他的《旋转轴》一文中描述了精密主轴和轴的实际认证方法，这个研究从20世界30年代末一直持续到现在。
2.2几何形状geometry
最初设计的机器和仪器，几何形状是由设计师所希望完成的任务中而来的。在第一阶段，几何形状通常包括一些原始的基本的形状，例如，轴、横梁常常设计成圆筒状或管槽状的机构，而一些承担载荷的部分常设计成封闭式结构。然而，在实际中，这些理想的模型并不能实现。由于有限的加工精度，直线并非真正的直线，而圆也绝非理想的圆。仪器操作的仔细选择，可以显著的改善其精确度。总之，仪器中有越多的轴，其误差就越大，尽管一个附加轴的微小位移可能有利于补偿几何形状上的缺陷。
精度不仅受宏观形状误差的影响，而且还受微观偏离的影响，例如，表面光洁度。对于整体性能来说，
微观的影响是至关重要的。在接触轴承中，表面光洁度对磨擦磨损的影响非常明显。表面光洁度对部件连接的影响不是很大，但是当关注刚度、阻尼、滞后、热传导和扩散这些特性时，这些特性对表面关洁度的影响却是非常重要的。不仅仅是在机械加工时，几何形状才会改变。除非有充分好的隔离，否则，几何形状会受到外界环境的影响。在外界温度变化时，大部分材料都会产生变形，而没有密封时，结构形状也会受到湿气的影响。此外，还有其它一些因素也会影响到机器的几何形状，如震动、电场、磁场等。一些材料的使用寿命，也经常收到中间尺度变化的影响（长期不稳定）。
由于仪器是由许多零部件组装而成的，由此也引入了形状误差。考虑封闭结构的外形或力，就如同在整体结构中选择是用螺钉连接还是用胶水粘合一样重要。在组装的例子中，零部件是由专用机器进行精确组装的，尽管这些机器表面的磁滞现象会对整体的可重复性产生负面的影响。在传统形式封闭方法中，装配的每一部分都必须有严格的公差带，否则会出现缝隙或是测量时出现负值。在装配时还会引入没有定义的高应力。另一方面，气闭式结构通过正确的动态连接解决了这个问题。例如，运动学、半运动学或辅助运动学，通过设计连接，从而大大的减小了几何形状的公差。即使是全封闭式结构，一些几何偏差如定向梁的矩形度误差，将影响整体的准确性。不过这些误差都可再现，并且可以通过软件补偿来减少。由于一台仪器的机械结构有一个有限的刚度，在施加外力的情况下，几何形状会改变，特别是位移和尺寸。这一点严重的影响了机器的性能。在恰当的模型下，这些误差可以预测和补偿。
与几何形状相关的另一个问题是工件本身的定位问题。对于加工和测量仪器来说，工件必须在本身不变形的情况下固定。同时，工件必须硬性的连接到机架或工作台上。特别是在制造业中，具有热膨胀的工件必须在所能承受的应力范围内。与固定安装相类似的问题是将传感器应用于高精度仪器上。这在运动学或半运动学设计中具有重要的应用。
2.3运动学kinematics
对于机器来说，大部分时间都不是静止的。不同的零部件具有不同的运动，这些都是通过运动关系来描述的。这些关于机器和结构的数学描述，仅仅描述了理论上当长度、位置、设置点曲线变化时的情况。然而在实际情况中，这些因素都与有限的精度有关，因此，实际情况与理想模型在形式、速度和加速度上会有很大的不同。
在现代仪器中，位移通常是由机器零部件组合产生的，如伺服控制下的驱动器和传感器。动量和速度、传感器的分辨力、控制方式、机械的重复性的特性共同确定了规定路径的准确性。在这个例子中，不止控制了一个轴，多个轴的同步性也是影响精度的另一个因素。另一个例子是通过控制两个正交线性轴来磨一个圆的轮廓。
2.4动态特性dynamics
事实上，机器并非静态的，而是包含许多加速零件，这意味着在整个运动过程中，动态特性具有重要的作用。就相对不确定的地方减小加速度影响的一个有效方法是选择适当的运动轮廓，例如，使用二阶微商中没有跳变的给定点曲线，就如用一个修正的正弦函数来取代抛物线函数。在减少动态定位误差中，预防“自由运转与无效运动”是非常有效的。零部件也可以根据最小应力来设计。在旋转部件中，为了减少不平衡和质量惯性的影响，对称性设计非常重要。在直线运动的例子中，
物体的质量应尽可能的小，并且要通过轴的反作用力驱动。
决定机床对动力响应的另一个因素是硬度。为了减小应力和最大刚度，一般而言，并不是只有材料的类型和数量起作用，而且分布也起着重要的作用。通常动态干扰来源于仪器的外部，如工作台的震动和噪声。在这些例子中，质量刚度比对于减少输入响应是极其重要的。将仪器与外部环境隔离后，能削弱输入本身。
3设计原则design principles
已经有许多人研究了设计高精度仪器的问题。Pollard在他的“康托尔讲座”中描述了科学仪器的机械设计[Pollard，1922]。Loewen 提出了一系列主要的原则[Loewen，1980]。McKeown在《十一原则和技巧》中也给出了相应的定义[McKeown,1986,1987,1997]。Teague 和Evans 给出了基本的定义，并出版了十二种《精密机械设计模式》[Teague,1989-1997]。3段至5段是在这些调查的基础上写的。
3.1阿贝和布莱恩原则rules of abbe and bryan
阿贝原则是在1890年第一次发表的[Abbe，1890]。在长度测量中，被测长度应位于线纹尺刻度中心线的延长线上，测量仪器应该按此设计。这个原则也被称为“准值原则”[Rolt，1929]，“阿贝比较原则”[Reindl，1967]，也是“机械设计和空间度量衡学的第一原则”[Bryan，1979C]。我们再说一下非线性设计的情况。Bryan定义了一个广义的阿贝原则：位移测量系统应和被测量位移函数点成一条直线（例如，球测头或仪器顶端的中心）。如果这不可能的话，导轨中的无关的角运动或角的转动数据必须用来计算阿贝偏差的结果。
另一个测量的基本原则是“布莱恩原则”[Bryan，1979A]，公式为：“直线性测量系统应该与函数点成一条直线，而这些函数点是用来测量直线度的。如果这不可能的话，导轨中的无关的角运动或角的转动数据必须用来计算偏差的结果。
V ermeulen发展了三座标测量机（如图3.1所示），通过中间的部分（A和B），可以防止在水平面的三个方向引入阿贝误差[V ermeulen，1998]。同时，该仪器也满足布莱恩原则，使得仪器对导轨的直线度误差不敏感。
3.2 运动设计kinematic design
图3.3 表示了一些两个自由度的例子之间的转换。这可以通过两个杆（3.3 a 图和b图）或可以通过带铰链的合页来获得（3.3c图）。
两个自由度，一个用于平移，一个用于旋转，这可以用三根杆（图3.4a 和b）或一个通常的合页来约束(图3.4c)。
以这些基本元件的结合运动学机制或夹具能被创建。图3.5给出了一个平面固定的例子。由于三个被铰链的合页的使用，这个平面被六个自由度约束，带有一个合页法线交叉点的热量中心。
图3.6个显示怎么XY坐标系可以从三个被折叠的合页创建。
运动学设计的一个直观例子是在图3.7显示的运动学支持。有六个固定的支持表面的经典版本通过使一个在弹性合叶周围的表面变得有弹性来增强。这样沿表面的摩擦力大大减少，而接触刚度只是略微减少，由于刚度和摩擦之间的改善比率，迟滞（见第5.1节）由原来的0.42变为典型的非铰版本为0.03微米的新版本。
图3.7 对称运动的支持与变矩器，如摩擦是公认的主要根源滞后
3.3热回路thermal loop
热回路的定义为：一条横跨组合机械零件的路径，根据不断变化的温度，决定确定对象之间的相对位置。在原则上，热回路，应可能的小，以尽量减小空间热梯度的影响。一个处于热回路中的机器的热膨胀可以通过调整机器部件长度和选择合适的热膨胀系数的材料来补偿。如哈里森的格子铁摆 [埃文斯，1989年] 。不动点或轴，从那里部件膨胀，可以选择创建一个热中心，如在图3.5 尽管热膨胀系数在每摄氏度0。5微的范围变化 [布雷耶，1991] ，热膨胀可以通过测量部件的膨胀来减少，[ kunzmann ， 1988年]。随后可以通过选择合适的固定点来创建相等的热长度。
获得在一个有空气调节的大会堂每天正负0.5摄氏度和在精确气温机舱每天0.1摄氏度热稳定性是一个的相当难的问题[布雷耶，1991年] 。机器内部或外部的热源导致机器温度的变化，这可能会在热回路中导致不平等的热膨胀率，这由于机器部件不同的热时间常数，（见第5.5节）。因此，唐纳森强烈建议，在他出版的关于机床的书中作为一项原则[唐纳森，1980年]在源头取出热量。韦策尔斯经历了热机械稳定性问题，这结合了热源。后取掉此源一介热漂移减少[韦策尔斯，1998]。
内部热扰动有反应，可以对折和补偿部分（见第6节）。不过，环境温度变化，只能做出响应，而不能预测，因为输入是未知的[DeBra,1998年 ]。
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3．4 结构回路structural loop
据[ANSI，1992年] 结构闭环，是指机械部件的组合，这些部件在确定的物体之间保持相对位置。一对典型的确定对象是刀具和工件：结构回路包括主轴，轴承和箱体，导轨和机架，驱动，以及工具和工作控制的固定装置。所有的从驱动器
微小件精密加工
到反作用点的传播路径中的机械部件和铰链，例如末端效应（刀具或探针或重心，必须有一个高刚度，以避免由于不断变化的负荷而产生的变形。设计一台机器或一个工具包含一个或多个结构循环。
在认可良好的结构回路设计时，串联和并联路径的分散是必不可少的。随着一系列路径的刚度应该不会突然的改变。一系列路径的改进最可能的是优先把最柔软的部分硬化，这些柔软的部分是通过更严格的通道传递的物质。并行通路的改善在于进一步改善最坚硬的部分，更确切的说也就是对于有同等质量的系统，以更适应的并行系统为代价。
由于物理的限制，闭环测量系统不可避免地定位于和末端效应有一段距离的地方。除了良好的结构回路设计，测量系统和终端效应之间的通路要尽可能的减少偏差，例如：由减少通路的长度，即所谓的'测量圈' [kunzmann， 1996]
3．5 度量衡结构 metrology frame
一个计量框架是一个参照系，该参照系独立于机床底座，即施加外力后，计量系统必须不间断[布莱恩，
1979b ] 。黛布拉建议把计量框架作为一个有更广泛原则的例子即原则'不同的职能' [黛布拉，1998年] 。事实上，力和位置信息的路线断开，一个想法在图5.8的旋转平面设计中被提出[飞利浦，1994年 ] 。
在[ Teague,1989 - 1997年]'计量框架'历史的应用讨论，目的是讨论机器零件的变形问题。至今第一计量框架例子是在罗杰斯-邦德大学发现的比较仪[罗杰斯，1983年] 。较近期的例子是由Hocken等人在英国国家物理实验所用干涉时间基准仪在测量NIST时发现的，三坐标测量机[布莱恩，1979b ]，和LODTM [Donaldson,1980]，和由Mckeown 等人在纳米上发表的克兰菲尔德精密（见图3.8）和Will-Moren[Will-Moren,1982年]和[Will-Moren,1989年]。
[Teague，1989-1997]建议度量衡结构尽可能小，这样可以减少环境的影响。[布莱恩， 1979b ]建议要么计量框架在zerodur或使用温度控制（例如oil shower）. 而且平面度量衡的支持应该应配合弯曲中性轴的机器底座。
3．6 驱动偏置drive offset
通过结合好的带闭环控制的机械设计来加快运行速度，精确和灵活的运动都可以实现。典型的例子比如压缩磁盘播放器，排水槽, 先进的数控铣削加工和车削机器和快速组件安装机器。在发展的伺服控制的定位装置，这是必须考虑的地方激励者是装载的投影片，以供应（导致）的力量所产生的惯性，工
具或测力，摩擦等。正如‘11原则’[Mckeown,1966,1987,1997]中的一个所声明的那样，驱动器应该被放置通过轴的反作用力运动。如果不可能的话，来自轴的反作用力的背离，即所谓的驱动偏置。包括机器
。如果双方的驱动器和测量轴是在同一边的中心旋转，滑动部分转动的影响的可控性被缩小了。[Rankers,1997]
3．7力的补偿 force compensation
3．7．1 重力补偿 weight compensation
在许多三维坐标测量机的垂直RAMS被使用。在为了避免垂直滑动的驾驶系统与重量的RAM ，力补偿可能适用，从而消除发动机不良的散热。持续的力量可以从多方面获得，如使用额外的重量，从动态的角度来看这是不好的。也可以用磁场替代。处于压力或真空中的气瓶，或'常数率弹簧'如tensators [Tensator,1997],[Rosielle,1998].根据滑动冲程和不同规格对力的要求的变化，一种重力补偿比另一种更适合。在导轨方式下重力的库仑摩擦减轻。这可以应用在许多用GSIP的高精密机械设计中。
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3．7．2 反作用力补偿 reaction compensation
由于机器静止部分的有限的质量和支持刚度，反作用力作为一个驱动力使静止部分运动[Rankers,1994],[Rankers,1997]. 励磁机的框架所造成的反应势力变得越来越重要，在形势的直接驱动器驱动在高频繁，例如：快速的工具，伺服切割[帕特森， 1985年]和切割非旋转对称面[ Renkens ， 1997 ]。除了常用的减少框架运动的方法外，如
增加框架的刚度和质量，或增加（有源）阻尼，rankers提到，更根本的办法[ rankers ， 1997年] 。第一个例子是在反方向加速负载和框架之间的反质量[Weck,1995b] and [Weck,1997].其次，，当对精度没有严格要求时，同时抗衡的力量可以由第二个电机作用到框架。
3．7．3 寄生刚度补偿（负刚度）parastic stiffness compensation(negative stiffness)以弹性元件为基础的仪器和机械装置有反弹和摩擦的优点，造成的虚拟作用[koster,1996]将缺少。胶料的弯曲是在适当的压力下来严格的抑制固件的运动。然而，冲程受制于材料弹性极限和和刚度在相反方向力作用下的位移。在这些情况下，例如驱动力太高而无法控制，无论是通过纯粹的激励源大小的要求或者产生的热量对机器性能的干扰，无论是弯曲作为设计的一个方面被忽略掉或者不期望的力的影响这些都应该被补偿。这是最好的做与无源元件理由至为明显。经典的做法，被称为创造负刚度。与器件还含有弯曲和硬性连接，这与旋转或刚度设计，这个问题是可以克服的，在成本增加的复杂性。范Eijk 给人的几个例子，创造负刚度[ Erjk ，1985年]。
3．8对称 symmetry
在[Teague ,1989-1997]，建议在机器要素方面尽可能使之对称（例如质量和动力分配或刚度），整个系统的环境。在设计，制造，组装和经营精密仪器时，任何偏离对称性都要加以权衡由此产生的补偿，来克服由不对称性所引起的问题。为了避免热不对称，诱导机械部分的显著扭曲，一个作为对称轴热扩充的热中心可以应用[韦尔默朗， 1998 ]。要克服由重力引起的水平面不对称性的影响，机器可以配置一个纵轴，例如LODTM[唐纳森， 1983年] 。三维立体对称可以通过四面体获得，例如，该tetraform 国家物理实验室的 Lindsey [Lindsey,1988]. [斯洛库姆， 1992年]。[科贝特，1997年] 。除了它的支持者Hocken提到的一些对对称性不好的因素外[ Hocken ， 1995 ]，例如，振动能量不会因为对称性设计而减少，事实上，它往往是增强的。
3．9重复性repeatability
根据定义，第2重复性指的结果相同的条件都是平等的。机器的行动可以是测量在一个三坐标测量机或在机窗上制造的产品[布莱恩， 1993年]，提出决定论，即机器在自动控制下的表现，作为一个健全的基础设计，建造和性能测试：自动机床和测量仪器就像星一样可以被重复。他们服从我们所能理解和控制的原因和结果的关系，不存在随机的和它们行为有关的事情，一切发生的原因只有一个。列表的原因是足够小，良好的计量，和一个合理的投资资源。实际上，重复性的要求如下：静定高刚度设计的应用，尽量减少部分连接中的滞后作用（第5.1节）
尽量减少摩擦和轴承系统的刚度（第5.2节）
驱动器的性能优化（第5.3节）和控制系统（第5.4节）
包括传感器安装的传感器质量的考虑（第5.5节）
对热稳定性设计的关注和震动隔离（第5.6节）
重复性对预测模型是必不可少的，（第6节）仪器用模型模拟的越接近，它的预测性更好，软件补偿的范围也越大。（第6节）
在这里布赖恩是引用[ Loxham ， 1970年]。他继续研究概括七种不同于经典物理定律确定性的性质的规律，根据基德尔（ llnl ）和 Hocken [布莱恩， 1993年]，这些例外应用于原子和分子大小质量，对机械制造领域没有多少实际意义。
4预测设计模型 modelling for predictive design
正如在第一节中说明的那样，在不久的将来，会越来越多的需要超精密机械。因此，设计方法正在发生着显著变化，完整的理解精密机械的运动对于预测三维误差是必须的，机器的设计者可以做出整机的预测。[ Blaedel ， 1998年] ，[汤普森， 1989年] 。对当今机械加工一个很好的观点发表在最新出版的‘纳米’一书中[Taniguchi, 1996].发展超精密机械一般是非常昂贵的，‘知识产权’变得越来越重要。尽管透彻的分析设计概念是比较昂贵，但是在设计过程初期作系统的分析就可以节省很多钱。机械仪器
的精确性主要有五种误差源决定，运动学的偏差，热力学的，机械的，静态和动态及控制系统的行为。
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从设计说明书开始，设计这可以创造一种后来必须通过建模与仿真来改善的设计方案。也可以通过画流程图，显示建模与仿真的有效性，检查它功能的一致性。除了运动学误差模型误差估计的影响，有限元部分的模拟可以用来研究（热）力学和静态方面，包括热膨胀，扩散系数和刚度。双方的第一近似值和必要的验证，基于简单的弹性和热理论的计算都可以应用。机械系统的有关惯性和刚度方面的影响也都必须分析。另外，控制系统和机械系统都必须进行调整，以便得到闭环系统的良好的运动状态。图4.1显示设计是一个反复的过程，设计过程发展的越深远，取得的模型也就越真实，此后，最重要的分析方法会做简要的讨论。
4．1 运动学分析 kinematic analysis
已经发展的一种用于精密机械和仪器的设计理念，主要在最近二十年发展的，误差模型策略，可用于预测运动的错误[ Soons ， 1993年] ，[ krulewich ， 1995年a ， b ]。这些建模技术是基于误差的影响，例如，线性camages ，旋转台和主轴。集总参数模型在1972年就成功用于预测和补偿弯曲挠度。[Wills-Moren,1982] 对每个轴i，运动误差可以通过平移的方法来描述，T矢量和R矢量。在结构回路中
机架在特定位置旋转的影响可以通过旋转矢量R和位置矢量P 的外积计算出来，这些矢量都是在笛卡尔坐标系中定义的。在这里，坐标系的原点和读取i轴的转换位置的传感器相连。矢量R包含来源于机器多轴的垂直度的影响，在一个方向上的总的运动误差可以通过所有的轴来计算[斯帕恩，1995年]
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