数学竞赛中经常会遇到一些结构复杂或计算量大的题若直接入手十分困难，倘若用换元法尝试其优越性明显，往往会有意想不到的收获。 一、用换元法分解因式
例1分解因式（x+y）(x+y+2xy)+(xy+1)(xy－1)
分析直接分解显然困难
解设x+y=a xy=b
原式=a(a+2b)+(b+1)(b－1)
=a2+2ab+b2-1
=(a+b)2-1
=(x+y+xy+1)(x+y+xy -1)
=(x+1)(y+1)(xy+x+y-1)
二、用换元法解计算题
例2计算
分析直接计算太繁
解设X=2006 则2004=X-2
2007=x+1
原式=
= =
=
三、用换元法证明恒等式
例3设k是自然数a=3k2+1求证
-
的值是自然数
分析直接证明无从着手
解设X= 则a=3x2+1
==
=1+x
=式 ==1－x
原式==x
因为a=3k2+1 则==k(k＞0)
即原式=k
所以原式为自然数
四、用换解特殊方程
例4解方程
分析直接解方程太难
解设aaaaaaaaaaaaaaaaaay=原方程变为
xy（x+y）=42
因为xy=·x= x+y=x+=
xy+(x+y)=13
所以xy，（x+y）是方程
t2-13t+42=0的楼
解之得t1=6 t2=7
x+y=7 x+y=6
xy=6 xy=7
得x1=1 x2=6 x3=3+ x4=3－
经检验以上都是原方程的解
（1）分解因式
（x2+7x+6）(x2+5x+6)+x2[提示设y=x2+6]
（2）计算
（提示a=2006，b=11112，则a-b=11111）
（3）已知a=20062+20062×20072+20072
求证a是一个完全平方数
（提示：设x=2006 则x+1=2007）
（4）解方程
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