第一章 行列式
(1)
解
2(4)30(1)(1)118
0132(1)81(4)(1)
2481644
(3)
解
bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(ab)(bc)(ca)
4 计算下列各行列式
(1)
解
(2)
解
(3)
解
(4)
解
abcdabcdad1
6. 证明:
(1)(ab)3;
证明
(ab)3
(2);
证明
8. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
(1), 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0
解
(按第n行展开)
anan2an2(a21)
(2);
解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得
再将各列都加到第一列上 得
[x(n1)a](xa)n
1. 计算下列乘积
(5)
解
(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)
2. 设 求3AB2A及ATB
解
求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换
解 由已知
所以有
4. 设 问
(1)ABBA吗?
解 ABBA
因为 所以ABBA
(3)(AB)(AB)A2B2吗?
解 (AB)(AB)A2B2
因为
而
故(AB)(AB)A2B2
5. 举反列说明下列命题是错误的
(1)若A20 则A0
解 取 则A20 但A0
(2)若A2A 则A0或AE
解 取 则A2A 但A0且AE
(3)若AXAY 且A0 则XY
解 取
则AXAY 且A0 但XY
7. 设 求Ak
解 首先观察
用数学归纳法证明
当k2时 显然成立
假设k时成立，则k1时，
由数学归纳法原理知
8. 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵
证明 因为ATA 所以
(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB
从而BTAB是对称矩阵
11 求下列矩阵的逆矩阵
(1)
解 |A|1 故A1存在 因为
故
(3)
解 |A|20 故A1存在 因为
所以
(4)(a1a2 an 0)
解 由对角矩阵的性质知
12. 利用逆矩阵解下列线性方程组
(1)
解 方程组可表示为
故
从而有
19.设P1AP 其中 求A11
解 由P1AP 得APP1 所以A11 A=P11P1.
|P|3
而
故
20. 设APP 其中
求(A)A8(5E6AA2)
解 ()8(5E62)
diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]
diag(1158)diag(1200)12diag(100)
(A)P()P1
21. 设AkO (k为正整数) 证明(EA)1EAA2 Ak1
证明 因为AkO 所以EAkE 又因为
EAk(EA)(EAA2 Ak1)
所以 (EA)(EAA2 Ak1)E
由定理2推论知(EA)可逆 且
(EA)1EAA2 Ak1
证明 一方面 有E(EA)1(EA)
另一方面 由AkO 有
E(EA)(AA2)A2 Ak1(Ak1Ak)
(EAA2 A k1)(EA)
故 (EA)1(EA)(EAA2 Ak1)(EA)
两端同时右乘(EA)1 就有
(EA)1(EA)EAA2 Ak1
22 设方阵A满足A2A2EO 证明A及A2E都可逆 并求A1及(A2E)1
证明 由A2Aeoa2EO得
A2A2E 即A(AE)2E
或
由定理2推论知A可逆 且
由A2A2EO得
A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E
或
由定理2推论知(A2E)可逆 且
证明 由A2A2EO得A2A2E 两端同时取行列式得
|A2A|2
即 |A||AE|2
故 |A|0
所以A可逆 而A2EA2 |A2E||A2||A|20 故A2E也可逆
由 A2A2EO A(AE)2E
A1A(AE)2A1E
又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E
(A2E)(A3E)4 E
所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1
矩阵的初等变换与线性方程组
1 把下列矩阵化为行最简形矩阵
(1)
解 (下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 )
~(下一步 r2(1) r3(2) )
~(下一步 r3r2 )
~(下一步 r33 )
~(下一步 r23r3 )
~(下一步 r1(2)r2 r1r3 )
~
(3)
解 (下一步 r23r1 r32r1 r43r1 )
~(下一步 r2(4) r3(3) r4(5) )
~(下一步 r13r2 r3r2 r4r2 )
~
3. 已知两个线性变换
求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换
解 由已知
所以有
4. 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1)
解 ~
~~
~
故逆矩阵为
(2)
解
~
~
~
~
~
故逆矩阵为
5. (2)设 求X使XAB
解 考虑ATXTBT 因为
所以
从而
(1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵
此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量
12. 设 问k为何值 可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3
解
(1)当k1时 R(A)1
(2)当k2且k1时 R(A)2
(3)当k1且k2时 R(A)3
P106/
1.已知向量组
A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T
B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T
证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示
证明 由
知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示
由
知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示
4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关
(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T
(2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为
所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为
所以R(B)3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关
5 问a取什么值时下列向量组线性相关？
a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由
知 当a1、0、1时 R(A)3 此时向量组线性相关
9.设b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关
证明 由已知条件得
a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1
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