§5.三重积分
数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:()02
222>=++a a z y x 表示以原点为球心，半径为a 的球面。 2.柱面：平行于定直线L 并沿定曲线C 移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。
一般地，方程0),(=y x f 表示以曲线⎩
⎨⎧==00),(:z y x f C 为准线，母线平行于z 轴的柱面。 类似可以写出方程0),(0),(==x z f z y f 和表示的曲面。
注：当准线是直线时，柱面退化为平面。
几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）
（1）122
22=+b
y a x 表示母线平行于z 轴的椭圆柱面。特别地，当b a =时，它表示母线平行于z 轴的圆柱面。这里的定直线L 就是z 轴。
（2）()022
>=p px y 表示母线平行于z 轴的抛物柱面。
（3）1-22
22=+b
z a x 表示母线平行y 轴的双曲柱面。
3.旋转曲面：平面曲线C 绕该平面上一条定直线L 旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。 其中平面曲线C 叫做旋转曲面的母线，定直线L 叫做旋转曲面的轴。 例如平面曲线,0
0),(:⎩⎨⎧==x z y f C 绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为0),(22=
+±z y x f 。
记忆口诀：绕谁谁不变，用另外两个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中另外一个变量。
如果取旋转曲面的母线为坐标面曲线，旋转轴为坐标轴，则可以得到以下几种常用的旋转曲面。（旋转曲面的名称与母线名称对应）
（1） 旋转椭球面
椭圆⎪⎩
⎪⎨⎧==+,0,122
22z b y a x 绕y 轴旋转而成的曲面方程为122222=++b y a z x ，绕x 轴的旋转曲面方程请大家自行给出。
（2）旋转双叶双曲面
双曲线
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
= -
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
绕x轴旋转而成的曲面方程为1
2
2
2
2
2
=
+
-
b
z
y
a
x
（旋转双叶双曲面）（3）
旋转单叶双曲面
双曲线
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
-
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
绕y轴旋转而成的曲面方程为1
2
2
2
2
2
=
-
+
b
y
a
z
x
（旋转单叶双曲面）
柱面投影（4）旋转抛物面
抛物线
⎩
⎨
⎧
=
>
=
)0
(
2
2
x
p
pz
y
绕z轴旋转而成的曲面方程为pz
y
x2
2
2=
+。（经常出现）
（5） 圆锥面（也是旋转曲面）
直线()⎩⎨⎧=>=0
0z k kx y 绕x 轴旋转一周而成的曲面方程为222222,x k z y kx z y =+=+±即 （经常出现，注意圆锥面的半顶角）
（6） 椭球面
方程()0,0,0122
2222>>>=++c b a c
z b y a x 表示的曲面为椭球面。 注：当c b a ==时，方程表示的曲面为球面；当c b a ,，中有两数相等时，它表示旋转椭球面。（见前面（1））
4.抛物面：椭圆抛物面和双曲抛物面
由于椭圆抛物面在数学分析中较少出现，我这里就不展开了。
关于双曲抛物面这里大家只要掌握如下的双曲抛物面xy z =(出现时，大家注意下它的投影曲线一定要结合图像，因为单从方程出发经常会遗漏一部分曲线)的图像就够了，当然这是我做题的一点感受而已，大家完全可以多掌握几种常用的双曲抛物面的图像。
说明：由于双曲抛物面的图像的形状像马鞍子，故也称为马鞍面。（见例8，这里先简单做下说明，没时间的话请大家自行考虑一下）
5.双曲面：单叶双曲面和双叶双曲面。
说明：我个人觉得这两种双曲面的图像不用掌握太多，只要掌握旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面的图像就足够了，而这两种曲面的图像前面已给出。
6.锥面
这里大家只要掌握圆锥面的图像就足够了，而这种曲面的图像前面已给出。
7.平面
这个曲面大家比较熟悉，我这里就不展开了。
注：空间中任何一个平面与关于z y x ,，的三元一次方程具有一一对应关系。
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