doi :10.3969/j.issn.1001-893x.2021.04.016
引用格式：温剑，阳昆，姚亚利，等.K 频段斐波那契网格稀疏阵列分析与设计[J].电讯技术,2021,61(4):488-495.[WEN Jian,YANG Kun, YAO Yali,et al.Analysis and design of K band Fibonacci grid sparse array[J].Telecommunication Engineering,2021,61(4):488-495.]
K 频段斐波那契网格稀疏阵列分析与设计
∗
温㊀剑∗∗
，阳㊀昆，姚亚利，侯禄平(中国西南电子技术研究所，成都610036)
摘㊀要：针对低轨宽带卫星通信网㊁5G 通信网应用中对K /Ka 频段多波束有源相控阵天线的需求，对斐波那契网格阵列进行改进，提出一种大规模低旁瓣稀疏阵列的高效设计方法㊂首先从数学上对斐波那契网格阵列的栅瓣抑制特性进行解释，进而对阵列进行数值计算和全尺寸三维电磁仿真，最后结合实际工程应用给出一种K 频段高密度集成有源相控阵多波束天线的阵面及射频芯片的布板方案㊂这种 大间距阵列在大扫描角域和大带宽内具有低副瓣㊁无栅瓣㊁高增益等优良特性，非常适用于通信应用中的高密度集成有源相控阵天线㊂ 关键词：有源相控阵天线；稀疏圆阵；栅瓣抑制；斐波那契网格；连分式展开开放科学(资源服务)标识码(OSID
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中图分类号:TN82㊀㊀文献标志码:A㊀㊀文章编号:1001-893X (2021)04-0488-08
Analysis and Design of K Band Fibonacci Grid Sparse Array
WEN Jian,YANG Kun,YAO Yali,HOU Luping
(Southwest China Institute of Electronic Technology,Chengdu 610036,China)
Abstract :For the demands of K /Ka band multibeam active phased array antenna in low Earth orbit(LEO)wideband satellite communication networks and 5G networks application,an efficient design method of large scale low side lobes sparse array based on Fibonacci grid is presented.The grating lobe suppression priority of Fibonacci grid is explained in mathematics,followed with numerical evaluation and full scale three di-mensional electromagnetic simulation of several antenna arrays.A schematic layout of radiation elements and radio frequency integrated circuits(RFICs)of a super -integrated K band multibeam active phased ar-ray is demonstrated.Featured by low side lobes,non -grating lobes,high gain in wide scan angles and wide frequency band,this kind of large spacing array is adequate for the super -integrated phased array in com-munication.
Key words :active phased array antenna;sparse circular array;grating lobe suppression;Fibonacci grid;continued fraction
0㊀引㊀言
在国内外近年来蓬勃发展的K /Ka 频段(大约
20~30GHz，非严格定义)低轨卫星通信网络有源相
控阵天线领域，由于卫星轨道高度较低(1000km
左右)，要求采用高增益波束宽角扫描(ȡʃ60ʎ)形成对地球覆盖㊂采用均匀网格排布(矩形㊁正方形㊁三角形)的常规阵列受到栅瓣条件的严格限制，其阵间距接近半波长㊂而目前国内受射频芯片技术的
㊃
884㊃第61卷第4期2021年4月
电讯技术
Telecommunication Engineering
Vol.61,No.4April,2021
∗∗∗收稿日期:2020-07-18；修回日期:2020-09-27通信作者:8967508@qq
阵列天线限制，在高成本高可靠性的卫星平台上仍主要采用具有高输出功率㊁低噪声系数㊁抗辐照特性的砷化镓
(GaAs)芯片，但GaAs工艺集成度不高，射频芯片尺寸与阵间距相当㊂另外卫星平台资源紧缺，对K/Ka 频段相控阵天线提出多波束㊁多功能化的要求，常规阵列难以在5~8mm的间距下排布多波束芯片及合成网络㊂K/Ka频段常规阵列电路布局设计和加工制造带来非常大的困难，严重制约了K/Ka频段卫星通信有源相控阵天线向多波束㊁低剖面㊁数字化㊁低成本化发展，工程中对阵列大间距稀疏设计提出了迫切的需求㊂
K/Ka频段有源相控阵高密度的电路㊁芯片集成，也要求稀疏阵列网格具有宏观上的均匀性，便于阵元与芯片位置匹配㊂K/Ka频段通信大瞬时带宽要求各射频通道长度差异小，尽量减少高成本高损耗的延时器的使用㊂在稀疏阵布局设计时应全局考虑以上通信用有源相控阵的特殊要求㊂
满阵的副瓣和栅瓣是由于阵元的周期排布形成的㊂稀疏阵设计的核心，就是采用密度加权(规则网格点随机采样)㊁位置随机等手段破坏周期性，达到降低副瓣峰值㊁抑制栅瓣的效果，同时保证增益等核心指标达到门限值㊂工程中常采用遗传算法㊁粒子算法等全局优化算法寻的最佳的随机阵列分布，由于没有明显的数学物理对应关系，导致在设计阵元数超过几百的大规模阵列时，未知量大㊁计算量大㊁收敛慢[1-4]㊂为了减少计算未知量常常对阵列做简化，如子阵块随机布阵[5]，但子阵化也会造成附加的周期性，使栅瓣和旁瓣恶化㊂
圆环阵是另一种常用的稀疏阵列设计方案[6]㊂圆环阵在极坐标中以一定的规律排布，所以优化调整参
数较少，设计较为方便快捷，易于形成在直角坐标中无序的排列，达到栅瓣抑制效果，但是平均副瓣电平较高㊂环形稀疏阵的优化参数有圆环半径递增量㊁单圈圆环上等角分布的单元数量㊁每圈单元起始位置角度等㊂对于小规模圆环阵，可使用遗传算法优化对上述参数进行搜索寻优㊂由于在每一步优化过程中要对多个指向的方向图积分再计算代价函数，其计算量巨大，优化效率仍相对较低㊂如要获得更低的副瓣则半径递增量较大[7]，导致阵元密度不均匀，不适合K/Ka频段宽带通信相控阵天线的要求㊂如能跳出全局优化算法的框架，利用数学㊁物理㊁仿生学等理论，寻稀疏阵列辐射特性与阵列布局的映射关系，将大幅提高稀疏阵列的设计效率㊂这种思想在电磁场及微波学科已有多种成功案例，比如螺旋天线的非频变超宽带效应[8]，分形几何的自相似性赋予天线的超宽带特性[9]㊂文献[10]介绍了一种斐波那契网格稀疏阵列设计方案，用于实现大间距阵列的栅瓣抑制㊂这种布阵方案由解析公式给出，无需使用如遗传算法这类大规模的数值计算，所以非常高效，在工程中可以大幅简化阵因子设计流程，直接跨入三维电磁场仿真㊂该文献在标准的斐波那契网格上叠加径向扩展因子构成密度加权阵，对旁瓣电平进行控制㊂
本文从积分变换和数论等数学原理上对斐波那契网格稀疏阵列的栅瓣抑制特性进行分析和解释㊂相比现有文献，增加了斐波那契网格的均匀性和无序性的理论分析，解释了斐波那契网格用于相控阵工程中天然具有栅瓣抑制特性的机理㊂另外，利用轻微的幅度加权进一步抑制旁瓣的分析，这和现有文献采用的密度加权稀疏化抑制旁瓣的方式相比有创新，也更匹配宽带K/Ka频段通信相控阵天线的需求㊂
本文设计出的斐波那契网格稀疏阵列具有大间距㊁网格均匀㊁低副瓣㊁无栅瓣㊁宽角高增益的特性，在K/Ka频段有源相控阵工程中应用前景广阔㊂1㊀基于斐波那契网格的稀疏圆阵设计以上列举的卫星通信K/Ka频段相控阵天线稀疏化栅瓣抑制布局要求可总结为阵列网格无序㊁宏观均匀，在数学中被称为Tammes问题，即二维三维的装箱问题(Packing Problem)㊂用数学语言描述为：将点在平面或曲面上均匀铺开以达到各点的最小距离最大化[11]㊂六边形网格是平面Tammes问题的最优解，但网格有序，应用在大间距平面相控阵中时会出现栅瓣㊂
1.1㊀斐波那契网格定义
斐波那契网格是使用黄金分割比为角度增长系数的密绕螺旋，可以在球面或圆平面上生成无序且宏观均匀分布的点云[11-13]㊂
斐波那契网格具有简单的表达式[11]，以平面阵为例:
x n=㊀n cos(2πnϕs)
y n=㊀n sin(2πnϕs)
{㊂(1)
式中:n为单元编号,ϕs为螺旋角增长系数㊂取ϕs=
㊃984㊃
第61卷温剑，阳昆，姚亚利，等:K频段斐波那契网格稀疏阵列分析与设计第4期
(5-1)/2ʈ0.618黄金分割比时，得到宏观上均匀分布但无序的网格，称为斐波那契网格㊂
1.2㊀斐波那契网格均匀性解释
圆可以用极坐标和直角坐标表示[13]，其变换式为
x=r cosθ
y=r sinθ
{㊂(2)
直角坐标和极坐标进行积分变换的雅可比行列式为
J=det (x,y)
(r,θ)
=r,(3)
则积分元为
d A=d x d y
r d r dθ=d12r2()dθ
ì
î
í
ïï
ï
㊂(4)
由式(4)可知，在直角坐标中,xy均服从均匀分布即为均匀网格，而在极坐标中，当r2和θ均服从均匀分布，即r2~U[0,D](D为半径)㊁θ~U[0,2π]时，可获得均匀分布㊂对比观察式(1),n元斐波那
契网格点，其半径为㊀n，其平方值服从[0,N]的均匀分布，角度服从[0,2π]的均匀分布，则斐波那契网格可在极坐标系统内将圆面均分㊂
据此可定义斐波那契网格单元的等效平均间
距㊂n元斐波那契网格的最大半径为㊀n，面积S=πn，每个单元等效面积为π，等效半径为1，则单元等效平均间距约为2㊂无缝填充整圆面应采用沃罗诺伊多边形图(Voronoi Tessellation)㊂但K/Ka频段相控阵天线工程中，在每个网格点配置的辐射阵元通常应具有旋转对称的结构，以便利用阵元顺序旋转形成良好的阵列圆极化并保证各单元位置不干涉㊂若用圆形网格单元填充，则会残留部分间隙，但工程中用于统计单元间距，可接受这种程度的误差㊂上述斐波那契网格坐标无量纲，设计工程中应根据波长进行缩比，得出以波长归一化的等效平均间距d E:
d E=D A㊀Nλ㊃㊀π2㊂(5)式中:D A为阵列口径,N为阵元数,λ为波长,㊀π/2为相同面积的圆直径与正方形边长的转换比㊂1.3㊀斐波那契网格无序性解释
公式(1)~(2)中,ϕs值非常敏感，轻微扰动即可对网格产生显著变化㊂后续将分别展示ϕs=(5-1)/2㊁ϕs=0.617㊁ϕs=㊀2-1三种参数的螺旋点云㊂
可以用数论的连分式展开理论[12,14]解释以上图形的周期性螺旋条纹㊂
任意一个实数a都可以展开为连分式:
a0+1
a1+1
a2+1
⋱+1a
n
㊂(6)
式中:a0是a的整数部分floor(a),a i为正整数㊂如a是有理数则连分式为有限项，如a是无理数则连分数为无限项，式(6)简写为[a0;a1,a2, ,a n]，黄金分割比ϕs=(㊀5-1)/2时可写为[0;1,1, ,1]㊂图1为ϕs=
(㊀5-1)/2时画出的斐波那契网格，可见网格非常无序，由于干涉的原因可观测到一些逆时针和顺时针交织的螺旋臂，但螺旋仅维持7㊁8点即消失㊂
图1㊀斐波那契网格详图
把a的连分式在某一项截断，得到a的有理逼近，称为丢番图逼近(Diophantine Approximation)㊂如果截断到a k，化简后得到的最简分数为p k/q k㊂p k 和q k可以有以下递推公式求得
p k=a k p k-1+p k-2,(7)
q k=a k q k-1+q k-2㊂(8)式中:p0=a0,q0=1,p-1=1,q-1=0㊂定义逼近误差 k=q k a-p k㊂
ϕs=0.617的连分式为[0;1,1,1,1,1,1,3, 21]，各阶丢番图逼近项与误差如表1所示㊂
㊃094㊃
表1㊀0.617的各阶丢番图逼近项与误差
逼近阶数
k
连分式项
a k
分母p k 分子q k 截断误差
k 00010.61711110.38321120.23431230.14941350.0855158
0.064618
130.02173
2947
0.0018
21617
1000
0.000
图2画出了ϕs =0.617时1~400点图形，可以看
出，在原点附近点云形成较明显的13条螺旋臂，而在外围点云呈47条射线状,13和47是丢番图逼近的分母㊂将螺旋臂和射线的这种显著的排列称为模式，本图中的模式编号为8/13模式和29/47模式
㊂
图2㊀ϕs =0.617的密绕螺旋详图
利用丢番图逼近，将无理数连分式截断，如产生截断项a i 的激增，点云图中就会出现十分显著的模式㊂
黄金分割比的连分式项全为1，非常稳定，模式切换频繁但没有较大的突变，这种特性正是形成无序但宏观均匀分布点云的原因：均匀是因为在任何半径处各模式的差异非常小，不会出现大的间距；无序是因为每种模式都不会持续很久㊂对于㊀
2-1，其连分式展开项为[0;2,2,2, ],
也具有稳定的连分式项，图
3为其点云图㊂
图3㊀ϕs =㊀
2-1的密绕螺旋详图
1.4㊀576元阵列数值算例
基于以上分析，斐波那契网格完美解决了平面点的均匀且无序地排列问题㊂根据阵列天线的栅瓣产生的机理[2]，我们认为采用斐波那契网格能对大间距阵列的栅瓣进行有效抑制㊂以下进行数值仿真，分析斐波那契网格及另外几种具有类似几何特性的网格对阵列的栅瓣㊁副瓣等指标的影响，到其关键设计参数㊂
首先对工作在20GHz 的576元阵进行数值仿
真[15]，分析其阵因子方向图㊂取不同的ϕs ，并调整缩放比例使576元分布在半径0.3m 的口径中，等
效间距D E ʈ1.48λ㊂阵列数值仿真结果如图4~6
所示，采用天线工程中的uv 空间投影方向图形式，便于观察整个上半空间的副瓣，其中心为法向，径向
为俯仰角，周向为方位角，幅度采用归一化增益值，单位为dB㊂由于阵列规模较大，可以看出能实现相当于圆口径等副加权的-17
dB 副瓣电平㊂
图4㊀ϕs =(5-1)/2阵列uv 空间归一化方向图
㊃
194㊃第61卷温剑，阳昆，姚亚利，等:K 频段斐波那契网格稀疏阵列分析与设计
第4期
图5㊀ϕs =0.617阵列uv
空间归一化方向图
图6㊀ϕs =2-1阵列uv 空间归一化方向图
从前面三组方向图可见，副瓣区域能量分配很均匀㊁无序㊂三个参数得到的副瓣电平相当,ϕs =0.617最好㊂但根据图形特性，黄金分割点云分布最为均匀㊁紧凑，可以任意等比缩放，较适合于分析相控阵不同间距(即宽频带)的特性㊂
表2给出了576单元按不同缩放比例的形成阵列的副瓣电平计算结果㊂阵列半径相差2倍以上，副瓣电平无明显差异，均能达到-16dB 以上，可见这种阵列具有稳定的宽带副瓣特性㊂
表2㊀不同ϕs 和半径的网格阵因子副瓣ϕs 阵列半径/m 副瓣电平/dB
(0ʎ,0ʎ)(0ʎ,60ʎ)(45ʎ,60ʎ)(90ʎ,60ʎ)(135ʎ,60ʎ)5-120.3-16.9-16.6-17-16.4-16.50.2-16.6-16.4-16.7-16.8-16.70.13-18
-16.4-16.7-16.8
-16.4
0.6170.3-20.3-17.0-17.2-17.2-17.10.2-19.6-17.1-17.1-16.9-16.90.13-18.0-17.5-17.4-17.5-17.42-1
0.3-18.2-17.5-17.5-17.5-17.10.2-18.4-17.4-17.5-17.4-17.40.13
-18-17.5-17.4-17.5-17.4
从表2可以看出,576元阵列取ϕs =㊀
2-1时，阵列在不同尺寸㊁扫描角下的副瓣电平最优㊂
下面详细分析斐波那契网格阵列的副瓣特性㊂图7列出了576元阵列在不同方位面的方向图，可看出，最高副瓣为第一副瓣，其电平值约为-17.3dB，接近等功率分布的圆口径副瓣理论值㊂而远副瓣分布较为平均，指向为法向时远副瓣电平达到-25dB，指向大角度(扫描θ=60ʎ㊁ϕ=45ʎ)时，远副瓣抬高至约-20dB㊂实际远副瓣电平与阵元
数量和单元方向图有很大的关系，结合下文的156元阵列分析和电磁场仿真可得出结论，斐波那契网
格稀疏阵列的副瓣电平随单元数的增加而改善，天线单元因子及结构件也能显著抑制副瓣
㊂
(a)法向
(b)扫描θ=60ʎ㊁ϕ=45ʎ
图7㊀ϕs =㊀
2-1阵列方位切面归一化方向图
在K /Ka 频段通信中，考虑到功放芯片的效率较低并简化控制芯片的设计，一般情况下-20dB 的副瓣电平已完全满足系统需求，所以未对有源相控阵天线的副瓣做进一步的抑制㊂文献[8]采用密度加权方式进行副瓣抑制，这样造成阵元间距沿径向逐渐扩展，阵列网格不均匀,TR 组件芯片与阵元位置及各射频通道的时延难以匹配㊂
近来低轨卫星宽带网络提出了相控阵天线多波束复用的要求，各波束间需满足频域和空域的隔离度，所以副瓣电平在天线指标体系中的重要性逐步提升㊂为了克服密度加权方式在K /Ka 频段有源相控阵中的不足，本文采用幅度加权抑制副瓣技术㊂
对576元阵列取ϕs =㊀
2-1，再选取不同的口径幅度加权方式，验证副瓣抑制的效能㊂
图8算例中，幅度加权采取从1~576元逐渐衰减地渐变加权，电压幅度归一化加权系数w n =
n -0.15，中心和边缘功率加权相差约8dB，第一副瓣电平可以抑制到-23dB㊂当电压幅度归一化加权系数w n =n -0.05，中心和边缘功率加权相差约3dB，第一副瓣电平可以抑制到-18.5dB㊂
㊃
294㊃leonline 电讯技术㊀㊀㊀㊀2021年
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