第三章
习题
3-1. 由氩离子激光器发出波长λ= 488 nm 的蓝平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩形孔尺寸为0.75 mm ×0.25 mm 。在位于矩形孔附近正透镜（f = 2.5 m ）焦平面处的屏上观察衍射图样。试描绘出所形成的中央最大值。 3-2. 由于衍射效应的限制，人眼能分辨某汽车两前灯时，人离汽车的最远距离l = ?（假定两车灯相距1.22 m 。）
3-3. 一准直的单光束（λ= 600 nm ）垂直入射在直径为1.2 cm 、焦距为50 cm 的汇聚透镜上，试计算在该透镜焦平面上的衍射图样中心亮斑的角宽度和线宽度。
3-4. （1）显微镜用紫外光（λ= 275 nm ）照明比用可见光（λ= 550 nm ）照明的分辨本领约大多少倍？
（2）它的物镜在空气中的数值孔径为0.9，用用紫外光照明时能分辨的两条线之间的距离是多少？
（3）用油浸系统（n = 1.6）时，这最小距离又是多少？
3-5. 一照相物镜的相对孔径为1:3.5，用λ= 546 nm 的汞绿光照明。问用分辨本领为500线 / mm 的底片来记录物镜的像是否合适？
3-6. 用波长λ= 0.63m μ的激光粗测一单缝的缝宽。若观察屏上衍射条纹左右两个第五级极小的间距是6.3cm ，屏和缝之间的距离是5 m ，求缝宽。 3-7. 今测得一细丝的夫琅和费零级衍射条纹的宽度为 1 cm ，已知入射光波长为0.63m μ，透镜焦距为50 cm ，求细丝的直径。
3-8. 考察缝宽b = 8.8×10-3 cm ，双缝间隔d = 7.0×10-2 cm 、波长为0.6328m μ时的双缝衍射，在中央极大值两侧的两个衍射极小值间，将出现多少个干涉极小值？若屏离开双缝457.2 cm ，计算条纹宽度。
3-9.在双缝夫琅和费衍射实验中，所用波长λ= 632.8 nm ，透镜焦距f = 50 cm ，观察到两相邻亮条纹之间的距离e = 1.5 mm ，并且第4级亮纹缺级。试求：（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1、2、3级亮纹的相对强度。
3-10. 用波长为624 nm 的单光照射一光栅，已知该光栅的缝宽a = 0.012 mm ，不透明部分的宽度b = 0.029 mm ，缝数N = 1 000，试求：（1）中央峰的角宽度；（2）中央峰内干涉主极大的数目；（3）谱线的半角宽度。 3-11. 一平行单光垂直入射到光栅上，在满足λθ3sin =d 时，经光栅相邻两缝沿θ方向衍射的两束光的光程差是多少？经第1缝和第n 缝衍射的两束光的光程差又是多少？这时通过任意两缝的光叠加是否都会加强？
3-12. 已知一光栅的光栅常数d = 2.5m μ，缝数为N = 20 000条。求此光栅的一、二、
三级光谱的分辨本领，并求波长m 69.0μλ=红光的二、三级光谱的位置（角度），以及光谱对此波长的最大干涉级次。
3-13. 已知F-P 标准具的空气间隔h = 4cm ，两镜面的反射率均为R = 89.1%。另有一反射光栅的刻线面积为3 cm × 3 cm ，光栅常数为1 200条 / mm ，取其一级光谱，试比较这两个分光元件对m 6328.0μλ=红光的分光特性。
3-14.在一透射光栅上必须刻多少线，才能使它刚好分辨第一级光谱中的钠双线（589.592 nm 和588.995nm ）。
3-15. 一光栅宽为5 cm ，每毫米内有400条刻线。当波长为500 nm 的平行光垂直入射时，第4级衍射光谱处在单缝衍射的第一极小位置。试求：
（1）每缝（透光部分）的宽度。 （2）第二级衍射光谱的半角宽度。 （3）第二级可分辨的最小波长
差。
（4）若入射光改为光与栅平面法线成30°角方向斜入射时，光栅能分辨的谱线最小波长差又为多少？
3-16. 一块闪耀波长为第一级0.5m μ、每毫米刻痕为1 200的反射光栅，在里特罗自准直装置中能看到0.5m μ的哪几级光谱？
3-17. 波长λ= 563.3 nm 的单光，从远处的光源发出，
穿过一个直径为D = 2.6 mm 的小圆孔，照射与孔相距r 0 = 1 m 的屏幕。问屏幕正对孔中心的点P 0处，是亮点还是暗点？要使P 0点的情况与上述情况相反，至少要把屏幕移动多少距离？
3-18. 有一波带片，它的各个环的半径为m r m 1.0= cm （m = 1，2，…）。当m 5.0μλ=时，计算其焦点的位置。
3-19. 如图所示，单点光源（λ= 500 nm ）安装在离光阑1 m 远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5 mm 和1 mm 的通光圆环，考察点P 离光阑1 m （SP 连线通过圆环中心并垂直于圆环平面）。问在P 点的光强和没有光阑时的光强度之比是多少？
3-20. 单平面光入射到小圆孔上，在孔的对称轴线上的P 0点
进行观察，圆孔正好露出1/2个半波带，试问P 0点的光强是光波自由传播时光强的几倍。
3-21. 波长632.8 nm 的单平行光垂直入射到一圆孔屏上，在孔后中心轴上距圆孔r 0 = 1 m 处的P 0点出现一个亮点，假定这时小圆孔对P 0点恰好露出第一个半波带。试求：
（1）小孔的半径ρ。
（2）由P 0点沿中心轴从远处向小孔移动时，第一个暗点至圆孔的距离。
22.一块菲涅耳波带片对波长0.50m μ的衍射光的焦距是10 m ，假定它的中心为开带， （1）求波带片上第4个开带外圆的半径。
（2）将一点光源置于距波带片中心2 m 处，求它的＋1级像。
3-23. 如图所示是制作全息光栅的装置图，试推导其全息光栅的条纹间距公式。今要在干版处获得1200条 / mm 的光栅，问两反射镜间的夹角是多少。
3-24. 求出如图所示衍射屏的夫琅和费衍射图样的光 强分布。设衍射屏由单位振幅的单平面波垂直照明。 3-25. 一块透明片的振幅透过系数2
)(x e
x t π-=，将其置于透镜的前焦平面上，并用单位
振幅的单光垂直照明，求透镜后焦平面上的振幅分布。
部分习题解答
3-2. 解：假定人眼瞳孔的直径为2 mm ，可见光波长为0.5m μ，则其极限角分辨率为
D
λ
θ22
.1=，
rad 10305.0102/105.022.1336---⨯=⨯⨯⨯=θ，能分辨开车灯的最远距离为：
θ∆∆=x l m 10410
305.022
.133⨯=⨯=-。 3-6. 解：极小值的位置出现在πλπβm f ax
f kax ===2的地方，
其中m = ±1，±2，±3，…，两
个
第
五
级
车灯透镜极
小
的
间
距
是
a
f x λ
10=
∆，所以缝宽
x f a ∆=λ10mm 0.5m 105103.61063.0510426
=⨯=⨯⨯⨯⨯=---
3-8. 解：衍射的第一极小值的位置出现在πλ
πβ±===
f ax
f kax 2的地方，此时a f x λ=
3
108.8-⨯=
λ
f ，在此位置上，双缝衍射出现条纹的条件为0)sin(2sin ==x f d λπϕ，即πλπm x f
d
=，其中m = ±1，±2，±3，…，
3-24题用图
3-23题用图
在衍射的第一极小值位置处的级数m 为95.7108.8100.75
4
=⨯⨯==--a d m ，刚好多包含一个暗纹：中
央主极大两边每侧有7条亮纹，8条暗纹，两边共包含16条暗纹。
条纹宽度Nd f x λ2=∆m 10133.4100.72106328.0572.4234
6
---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
3-9. 解：（1）双缝衍射出现条纹的条件为0)sin(
=x f d λπ，即πλπm x f
d
=，其中m = ±1，±2，±3，…，得条纹间距为d
f x λ
=
∆，由此得缝距
x f d ∆=λm 10211.0105.1108.6325.0339
---⨯=⨯⨯⨯= 第四级缺级，所以缝宽a = d / 4 = 0.0527 mm 。 （2）由多缝衍射的光强分布为222)2
sin 2sin
()sin ()(*ϕ
ϕβ
β
N Ca E E I =⋅=，得双缝衍射时的条纹光强22)sin ()(4*β
β
Ca E E I m =⋅=，条纹的相对光强为
20)sin (β
β=I I m 条纹位置由πλπm x f d =，得d f x λ=1，d f x λ22=，d
f x λ
33=，代入上式中π
λλπβ4m d mf f a =⋅=得
20
)4
4sin
(
ππm m I I m =，计算得第1、2、3级亮纹的相对强度分别为811.001=I I ，405.002=I I ，090.00
3
=I I 。 3-13. 解：（1）自由光谱范围 光栅：m
f λ
λ=
∆，此光栅在正入射时，m 取值只可以是1（
3.110
6328.01012001
6
3=⨯⨯⨯=
-
λ
d
），所以自由光谱范围为m 6328.0μλ=∆f
F-P 标准具：m 10005.5m 10005.51042)106328.0(26
122
262
μλλ
λ----⨯=⨯=⨯⨯⨯===∆nh m f
（2）分辨本领 光栅：432106.3101200103⨯=⨯⨯⨯==∆=-mN A λ
λ
F-P 标
准
具
：
76100.2981.01981.0106328.097.004.021297.097.0'⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-⋅⨯===∆=
-ππλλλR R nh mN mN A （3）角散率
光栅：
2
2
)
(1)(
1cos cos λλθ
θλθmn mn l
mN l mN l mN d m d d -=
-===
62
633
10844.1)106328.0101200(1101200⨯=⨯⨯⨯-⨯=
-
（由λθm d =sin ，得2
)(1cos d m λθ-=） F-P 标准具：
82
/362
/
310973.3)
106328.0(04
.01
sin 1⨯=⨯=
=
==-λλλ
θλλθnh
nh d d （对F-P 标准具，中央谱线的级次为λ
nh
m 2'=
，第一条谱线为m '－1，由λθm nh ==∆cos 2得： nh
nh m 212)1'(cos λ
λθ-=-=
，
所
以
nh
nh
nh
nh
nh
nh
λ
λ
λ
λ
λ
λ
θ≈
-
=
-=
-
-
=41)2(
)21(1sin 22）
3-16. 解：里特罗自准直光谱议使用时，其闪耀方向就是它的入射光方向，一级闪耀方
向为： 6.0105.0101200sin 631=⨯⨯⨯===
-λλ
θmn d
m ， 1sin sin θϕ= 根据λϕθm d =±)sin (sin ， ⎩⎨⎧=⨯⨯⨯±=
±=
-6
.06.2105.01012006
.01)
sin (sin 63λ
ϕθd m ，在准直时能
看到的条纹为0、+1、+2三级条纹。在正入射时6.1==
λ
d
m ，能看到的条纹为-1、0、+1三
级条纹。所以在调整过程中总共可能看到的条纹为-1、0、+1、+2四级条纹。
3-23. 解：当两个平面镜之间夹角为θ时，其反射光之间的夹角为θ2。根据全息光栅的
制作原理，当两束光以θ2角在全息版上相交，其干涉条纹间距为θ
λ
sin 2n d =
，
所以
37968.02/101200106328.02sin 36=⨯⨯⨯==-nd
λ
θ， ︒=31.22θ。
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