复变函数1.2复平⾯上的点集
§1.2 复平⾯上的点集
我们在上节中提到过的复平⾯上的线段、直线和圆周等都是复平⾯上的点集.今后，我们的研究对象-解析函数，其定义域和值域都是复平⾯上的某个点集.
1. 平⾯点集的⼏个基本概念
定义 1.1 由不等式ρ<-0z z 所确定的平⾯点集(以后平⾯点集均简称点集)，就是以o z 为⼼，以ρ为半径的圆，称为点o z 的ρ-邻域，常记为()0z N ρ. 定义1.2 考虑点集E .若平⾯上⼀点0z (不必属于E)的任意邻域都有E 的⽆穷多个点，则称0z 为E 的聚点或极限点；若0z 属于E，但⾮E 的聚点，则称0z 为E 的孤⽴点；若0z 不属于E,⼜⾮E 的聚点，则称0z 为E 的外点.
定义1.3 若点集E 的每个聚点皆属于E，则称E 为闭集；若点集E 的点0z 有⼀邻域全含于E 内，则称0z 为E 的内点；若点集E 的点皆为内点，则称E 为开集；若在点0z 的任意邻域内，同时有属于点集E 和不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点；点集E 的全部边界点组成的点集称为E 的边界. 点集E 的边界常记成E ?. 点集E 的孤⽴点必是E 的边界点.
定义1.4 若有正数M ，对于点集E 内的点z 皆合M z ≤，即若E 全含于⼀圆之内，则称E 为有界集，否则称E 为⽆界集.
隐私保护通话复变函数论的基础⼏何概念之⼀是区域的概念. 定义 1.5 具备下列性质的⾮空点集D 称为区域:
(1) D 为开集.
归元胶囊>碳纤维加热膜(2) D 中任意两点可⽤全在D 中的折
线连接(图1.12).
定义1.6 区域D 加上它的边界C 称为闭域，记为
.C D D +=
注意区域都是开的，不包含它的边界点. 例1.16 试证：点集E 的边界E ?是闭集.
证设z 为E ?的聚点.取z 的任意ε邻域()z N ε，则存在()z z ≠0使得
()z N ε?0z ∈E ?.在()z N ε内能画出以0z 为⼼，充分⼩半径的圆.这时由0z ∈E ?可见,
在此圆内属于E 的点和不属于E 的点都存在.于是，在()z N ε内属于E 的点和不属于E 的点都存在.故z ∈E ?.因此E ?是闭集.
应⽤关于复数z 的不等式来表⽰z 平⾯上的区域，有时是很⽅便的. 例1.17 z 平⾯上以原点为⼼,R 为半径的圆(即圆形区域):
,R z <
以及z 平⾯上以原点为⼼,R 为半径的闭圆(即圆形闭域):
,R z ≤
它们都以圆周R z =为边界，且都是有界的.
例1.18 z 平⾯上以实轴0Im =z 为边界的两个⽆界区域是
上半平⾯0Im >z ,
及下半平⾯0Im
左半平⾯0Re z
例1.19 图1.13所⽰为单位圆周的外部含在上半z 平⾯的部分，表为
>>.0Im ,
1z z
例1.20 图1.14所⽰的带形区域表为: .Im 21y z y <<
例1.21 图1.15所⽰的同⼼圆环(即圆环形区域)表为: r <|z |
复变函数的基础⼏何概念还有曲线。
定义1.7 设()t x 及()t y 是实变数t 的两个实函数，在闭区间[]βα，上连续，
则由⽅程组: ()()(),x x t t y y t αβ?=?≤≤?=??
或由复数⽅程:()()t iy t x z +=， ()βα≤≤t （或简记为()t z z =） ()16.1 所决定的点集C ，称为z 平⾯上的
⼀条连续曲线。()16.1称为C 的参数⽅程，()αz 及()βz 分别称为C 的起点和终点；对满⾜ 1212,,t t t t αβαβ<<≤≤≠的1t 及2t 当()()21t z t z =成⽴时，点()1t z 称为此曲线C 的重点；凡⽆重点的连续曲线，称为简单曲线或约当曲线；()()βαz z =的简单曲线称为简单闭曲线。
简单曲线是z 平⾯上的⼀个有界闭集。
盲点侦测系统
例如，线段，圆弧，抛物线弧段等都是简单闭曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线。
定义1.8 设连续弧AB 的参数⽅程为 ()t z z =，()βα≤≤t 任取实数列{}n t ： 0121n n t t t t t αβ-=<<<
<<=，
并且考虑AB 弧上对应的点列： ()j j t z z = ()n j ,2,1,0= 将它们⽤⼀折线n Q 连接起来，n Q 的长度
图 1.15
()()∑=--=n
j j j n t z t z I 1
气体收集1
如果对于所有的数列（1.17），n I 有上界，则AB 弧称为可求长的。
上确界sup =L n I 称为AB 弧的长度。
定义1.9 设简单（或简单闭）曲线C 的参数⽅程为 ()()t iy t x z += ()βα≤≤t ，
⼜在βα≤≤t 上，()t x '及()t y '存在，连续且不全为零，则C 称为光滑（闭）曲线。
光滑（闭）曲线具有连续转动的切线。
定义1.10 由有限条光滑曲线衔接⽽成的连续曲线称为逐段光滑曲线。特别简单折线是逐段光滑曲线逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线（或简单闭曲线）却不⼀定可求长。
*例1.22设简单曲线J 的参数⽅程为
()()??
=≠====时时0,00,1s i n t t t t t y y t t x x ()10≤≤t
显然
??
++0,21,221,221πππππn B n n A n n \皆为J 上的点，且连接n A 及n B 两电线段之长
2
2221
21221??
++-+=πππππn n n B A n n
(),121
连通区域
41212121π
π
π
+??? ?
+=
?
+≥
n n n
因为∑∞
=11
n n 是发散的，所以∑∞
=1
n n n B A 也是发散的，从⽽知简单曲线J 是不可求长的。
我们容易看出，圆周R z =把Z 平⾯分为两个不相连接的区域R z 和R z 。这个结果时下⾯所谓约当定理的特例。
定理1.1 （约当定理）任⼀简单闭曲线将平⾯唯⼀地分成及三个点集（图1.16），它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
（2） ()C I 是⼀个有界区域（称为C 的内部）；（3） ()C E 是⼀个⽆界区域（称为C 的内部）
（4）若简单折线的⼀个端点属于()C I ，另⼀个端点属于()C E ，则P 必与
C 有交点。
此定理的证明虽有多种，但都包含若⼲拓扑学的知识和术语，⾮简单篇幅所能说明。因此略去证明。不过这个定理的直观意义是很清楚的。
沿着⼀条简单闭曲线C 有两个相反的⽅向，其中⼀个⽅向是：当观察者顺此⽅向沿C 前进⼀周时，C 的内部⼀直在C 的左⽅，即“逆时针”⽅向，称为正⽅向；另⼀个⽅向是：当观察者顺此⽅向沿前进⼀周时，的外部⼀直在的左⽅，即“顺时针”⽅向，称为负⽅向（图1.16）
在简单闭曲线C 的内部()C I ⽆论怎样画简单闭曲线Γ，则Γ的内部()ΓI 必全含于()C I 。这⼀性质的⼀般化，即是
定义 1.11 设D 为复平⾯上的区域。若在内⽆论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D ，则称D 为单连通区域；⾮单连通的区域称为多连通区域。
简单闭曲线C 的内部()C I 就是单连通区域。我们在例1.17 ⾄例1.20中所列举的区域也是单连通的。⽽例1.21所列举的圆环形区域：
()+∞≤≥R r R z r ,0
——它包括去⼼的圆（r +∞= R ,0），⼀个圆的外部（r +∞=R ,0 ），去掉圆点的z 平⾯()+∞==R r ,0三种特例——就不是单连通的，因为，如果取Γ为圆周()R r z ρρ=，它的内部就不能全含于这个圆环形区域内（请读者⾃⼰作图思考）。
注若实数集不囿与上（下），则称“⼴义的数”()∞-∞+为它们的上（下）界。关于这些“⼴义的”数或“⽆穷的”数，我们有
+∞∞- 及+∞∞- α，其中α是不论怎样的（有限的）实数
符号∞+和∞-读着“正⽆穷”和“负⽆穷”。
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