【摘 要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。
【关键词】解析函数；解析；复变函数
0 前言
复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用，解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。
1 解析函数的概念
如果函数f（z）不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任意一点可导，则称f（z）在z0解析。
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如果f（z）在区域D内的任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。
连通区域注：1）如果f（z）在区域D内解析，那么D内每一点都是它的内点，从而D是开区域。
2）如果说函数f（z）在闭圆盘z≤1上解析，指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。
3）f（z）在z0解析，则f（z）在z0可导；f（z）在z0可导，则f（z）在z0不一定解析。但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。
4）一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
2 函数解析的判定
2.1 根据解析函数的定义判定
要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。
例：因为f（z）=z2在整个复平面上处处可导，且f’（z）=2z则由解析的定义知f（z）在整个复平面上解析。 2.2 根据初等函数的解析性判定
若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性进行判定
1）指数函数ez在整个复平面上解析；
2）对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析；
3）幂函数pgm_430meizα，α为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；α为负整数时，幂函数在除原点外的复平面上解析；α为既约分数、无理数、虚数时，在除去原点和负实轴的复平面上解析。
4）sinz，cosz在整个复平面上解析；tanz，cotz，secz，cscz在各自的定义域内解析
5）shz，chz在整个复平面上解析。
2.3 根据定理判定
定理：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充分必要条件是：u（x，y），v（x，y）在D内可微，并且在区域D上满足柯西—黎曼方程：
■=■，■=-■
定理：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充分条件是：ux，uy，vx，vy在D内连续，并且u（x，y），v（x，y）在区域D上满足柯西—黎曼方程：
■=■，■=-■
例：讨论函数f（z）=2x（1-y）+i（x■-y■+2y）的解析性。
解：因为u=2x（1-y），v=i训练监控（x■-y■+2y介电常数测量）
所以■=2（1-y）=■，■=-2x=-■并且四个偏导数均处处连续，从而u，v在复平面上可微，根据定理f（z）在复平面上处处解析。
3 解析函数的应用
3.1 解析函数在复变函数中的应用
解析函数是复变函数中的一类重要的函数，函数的解析性对于复变函数定积分的计算、调和函数、留数定义及留数理论、保形映照的一般理论等方面都要用到解析函数的概念。而求满足一定边界条件的解析函数的一类问题，这是解析函数论在许多理论和实际问题中应
用极为广泛的一个重要分支，而黎曼边值问题和希尔伯特边值问题是其中两个最典型的例子。
例黎曼边值问题
设L为复平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若干个连通区域，要求一分区全纯函数（即在上述每一个连通区域内全纯）φ（z），使Φ■（t）=G（t）Φ■（t）+g（t）（t∈L）中G（t）、g（t）都是已知函数，而Φ+（t）和Φ-（t）分别表示当z从L的正侧（即沿L正向前进时的左侧）和负侧（右侧）趋于L上一点时φ（z）的极限值也就是边值。此外还要求φ（z）在无穷远处至多有一极点。如果L中含有开口弧段，则也应说明要求φ（z）在L的端点附近的性态：具有不到一阶的奇异性。在G（t），g利路防水接头（t）满足一定的条件时，这一问题已完全解决。
例：求■■dz其中，C为z-1=■
对于这个定积分的计算，若不考虑被积函数的可积性，直接利用柯西积分公式则可得出错误的结果。由于函数■在C所围的闭区域内解析，从而，根据柯西定理，■■dz=0
3.2 解析函数在实际中的应用
复变函数是数学分支中应用性很强的一门学科，人们利用复变函数理论可以解决了很多实际问题，而解析函数在复变函数的应用中又起着重要的作用。
在航空工业中，要根据升力的大小来设计翼型，不仅要使飞机能在空中飞行，而且对是否符合起飞和降落快慢也有要求。根据解析函数在流体力学理论中的应用，可以应用解析函数可以计算飞机在飞行时空气对机翼的升力。
解析函数在电学中也有应用，例如可以根据保形映照来求静电场。
例：假设有两同心金属圆柱与z平面的截线分别为z=r■及z=r■（0<r■<r■<+∞）。设两圆柱间的电势差为2V0，求所产生的静电场。
分析：假设圆柱较长，我们只需要求z平面上电场的复势，也就是求一解析函数，使该函数的虚部在z=r■上取值-V0，在z=r■上取值V0。我们知道，多值解析函数Φ（z）=iaLnz+ib的虚部在z=r■上的值不变，这里a和b是任何实数，r是任何正数，根据已知条件据定a和b，即可得所求的复势：
Φ（Z）=■2Lnz-（lnr■-lnr■）。
【参考文献】
[1]苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.
[3]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2002.
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