不定积分求解方法及技巧

不定积分求解方法及技巧小汇总

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质

定义1 如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有 F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。京洲灯饰

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（xI）

简单的说就是，连续函数一定有原函数

定理2 设F（x）钢管在线是f(x)在区间I上的一个原函数，则

（1） F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；

（2） f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号称为积分号，f(x)称为永磁马达被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

通用积分

性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx.

性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则kf(x)dx=kf(x)dx.

二．换元积分法的定理

如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[(x)] ’(x).

做变量代换u=(x),并注意到‘（x）dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有g(x)dx=f[(x)] ’(x)dx=f(u)du.

如果f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式

f[(x)] ’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.

第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分f[(x) ’(x)dx化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分f(x)dx化为f[(t)] ’(t).在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=(X)带回去，这就是第二类换元法。即

f(x)dx={f[(t)] ’(t)dt}.

为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=（x）存在的条件，给出下面的定理。

定理2 设x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）0.又设f[(t)] ’(t)具有原函数F（t）,则f(x)dx=f[(t)] ’(t)dt=F(t)+C=F[(x)]+C

其中（x）是x=（t）的反函数。

三．常用积分公式

1 基本积分公式

（1）kdx=kx+C(k是常数)；（2）xdx=苹果削皮机+C(u-1);

（3）=ln+C；（4）=arctanx+C;

(5) =arcsinx+C; (6) cosxdx=sinx+C;

(7) sinxdx=-cosx+C ; (8) 酸雨采样器=secxdx=tanx+C;

(9) =cscxdx=-cotx+C; (10) secxtanxdx=secx+C;

(11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) edx= e+C;

(13) adx= e+C; (14) shxdx=chx+C;

(15) chxdx=shx+C. (16) tanxdx=-ln+C;

(17) cotxdx=ln+C; (18) secxdx=ln+C;

(19)cscxdx=ln+C; (20) =+C;

本文发布于:2024-09-20 19:55:56，感谢您对本站的认可！

标签：原函数函数存在

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