Vol. 43 No. 5May 2021
第43卷第5期2021年5月
系统工程与电子技术
Systems Engineering and Electronics
文章编号：1001-506X(2021)05-1161-08
网址 :www. sys-ele. com
卢建$，杨剑，侯博，余志勇，刘光斌
(火箭军工程大学导弹工程学院，陕西西安710025)
摘要：由于嵌套阵中部分阵元间距远大于信号半波长，可能导致高旁瓣和栅瓣等问题°因此，通过利用均
匀子阵进行信号波达方向(direction of arrival ，DOA)估计，重构出虚拟阵元的接收信号，从而构建一个虚拟的稠 密均匀阵列，大幅增加了波束形成算法自由度°通过估计信号功率，重构虚拟均匀阵列的干扰加噪声协方差矩阵 (interference plus noise covariance matrix ，INCM )，可得虚拟均匀阵列的波束形成权矢量°仿真实验表明，相比其
他波束形成方法，所提算法主瓣宽度小、旁瓣电平低、收敛速度快、抗干扰能力强°
关键词：波束形成&嵌套阵&虚拟阵元；信号重构
中图分类号：TN911.7 文献标志码：A DOI ：10. 12305/j. issn. 1001-506X. 2021. 05. 01
Robust beamforming of nested airay based on virtual elements signal reconstruction
LU Jian *
* , YANG Jian , HOU Bo , YU Zhiyong , LIU Guangbin 收稿日期：2020 -07 - 13；修回日期：2020 - 10 - 17；网络优先出版日期2021 - 02 - 04。网络优先出版地址:https ： # kns. cnki. net/kcms/detail/11. 2422. TN. 20210204. 1416. 011. html
基金项目：国家自然科学基金(61501471)资助课题
* 通讯作者. E-mail ：lujiansc@tom. com
引用格式：卢建，杨剑，侯博，等.基于虚拟阵元信号重构的嵌套阵稳健波束形成系统工程与电子技术，2021, 43(5)=1161-1168.
Reference format : LU J , YANG J , HOU B , et al. Robust beamforming of nested array based on virtual elements signal reconstruction ^].
Systems Engineering and Electronics , 2021, 43(5) : 1161-1168.
{School of Missile and Engineering , Rocket Force University of Engineering , 8(an 710025 , China)
Abstract : The i nter-sensor spacing of some elements in the nested array is far larger than half a
wavelength, which may result in high sidelobe levels, grating lobes. Therefore, by using uniform subarray to
estimate the direction of arrival (DOA), a virtual contiguous uniform array is constructed by restoring the rece ved s gnal on the v rtual elements ' and the degree of freedom of the beamform ng5 s greatly5ncreased.By estimating the signal power, the interference-plus-noise covariance matrix (INCM) of the virtual contiguous arraycanbereconstructed 'andthentheweghtvectorofthebeamformngcanbeobtaned.Smulatonresults demonstrate that compared w th the other beamform ng methods ' the proposed algor thm has smaler ma nlobe wdth 'lowersdelobes 'fasterconvergencespeed 'andbeterantnterferencecapablty.
Keywords : beamforming # nested array ； virtual elements ； signal reconstruction
o 引言
自适应波束形成技术通过空域滤波处理能够大幅提高 阵列天线的输岀信干噪比(signal to interference plus noise
ratio , SINR "广泛应用于雷达、声呐、无线通信、射电天文
学等众多领域，发挥着日益重要的作用12)$通常情况下， 自适应波束形成技术的研究都是针对阵元间距在半波长以 内的均匀阵列，由于阵列天线的自由度和空间分辨率要求
更多的天线阵元和更大的阵列孔径，但是硬件成本约束和 计算复杂度限制了阵元数目的进一步增加因此，在阵
元数量有限的约束条件下，为有效扩展阵列天线孔径，以互
质阵和嵌套阵为代表的非均匀阵列的研究正引起广泛的
兴趣$
目前，对于互质阵和嵌套阵的研究主要是通过对采样 协方差矩阵的向量化操作得到高维度的阵列接收信号，用 于波达方向(direction of arrival , DOA)估计，通过引入虚拟
阵元能够有效提高阵列的自由度和空间分辨率(5)$对于互 质阵的自适应波束形成技术研究已经取得部分成果(3,6切， 但是基于嵌套阵的波束形成技术研究成果很少，且技术路 线相对单一。文献「9］通过建立差分合成阵利用稀疏表示
方法进行DOA 估计，然后重构阵列接收信号的干扰加噪声
协方 差 矩 阵 (interference plus noise covariance matrix '
蒸压砂加气混凝土板INCM)获取波束形成的权矢量$然而，该方法需要大量的
采样快拍数才能达到较好的干扰抑制能力$文献「10］提岀
・1162・系统工程与电子技术第43卷
向前向后空间平滑的数据协方差矩阵重构方法用于嵌套阵的波束形成$文献(叮首先向量化采样协方差矩阵，然后通过空间平滑构建高维的均匀阵列的协方差矩阵，从而获取波束形成权矢量$文献「12]首先向量化采样协方差矩阵，然后构建Toeplitz矩阵代替采样协方差矩阵计算波束形成的权矢量$然而，以上算法均没有考虑消除采样信号协方差矩阵中包含的期望信号成分对波束形成器性能的影响，在高信噪比(signal to noise ratio,SNR)条件下将引起期望信号的“自消”现象$文献「13]对向量化采样协方差矩阵和空间平滑构建的高维协方差矩阵进行特征分解，提取主要特征向量用于获取向量化的INCM,—定程度上消除了期望信号的影响。但是，在高SNR条件下，该算法重构的INCM精度降低，仍然可能导致期望信号的“自消.文献首先通过Capon空间谱计算嵌套阵列的INCM，然后向量化处理再构建Toeplitz矩阵，并且增加了对期望信号的DOA估计，使得波束形成器性能有进一步提升$综上所述，目前对于嵌套阵的波束形成技术研究主要是通过向量化采样协方差矩阵以不同的方式构建高维度的协方差矩阵来实现的，但是这类方法的收敛速度慢，需要大量的采样快拍数才能达到良好的抗干扰性能，并且对同一场景中不同强度的干扰信号抑制能力差$因此，需要进一步研究嵌套阵的波束形成技术，实现收敛速度快、综合抗干扰能力强的目标要求$
矩阵干扰基于以上分析，本文在信号DOA估计的基础上，通过重构虚拟阵元接收的干扰信号和估计信号功率，构建高维度的虚拟均匀阵列的INCM和接收数据，获取的权矢量可直接应用于虚拟阵列的波束形成处理$
1信号模型
如图1所示，考虑一个包含N+M个阵元的线性嵌套阵，由两个均匀线性子阵构成'一个是实心圆组成的内部均匀线阵1包括阵元间距为d的N个阵元，另一个是空心圆组成的外部均匀线阵2包括阵元间距为(N+1)d的M个阵元$其中d表示载波信号的半波长，嵌套阵列中各阵元位置可表示为d p=dL p1,p j]T d(,1,N— 1]T 表示内部均匀线阵1的阵元位置，p2=d[N,2N+1,…，N+(M—1)(N[1)]T表示外部均匀线阵2的阵元位置$假设有0+1个互不相关的远场窄带信号(包含一个期望信号)和O个干扰信号s i入射到阵列天线，其入射角分别为!!,…，!o$
0d(N-l)N Nd(2N+l)d\N+(M-l)(N+l)]d
图1嵌套阵结构图
Fig.1Geometry structure diagram of nested array
那么，在k时刻嵌套阵的接收信号可表示为
"(k)A As(k)+n(k)(1)式中,"(k)=[斯(k)(k)，…,C n+M-1(k)]T表示嵌套阵接收到的信号矢量；s=))1，…,$o]T表示源信号矢量；%(k)表示均值为0能量为氏的加性高斯白噪声矢量#=&(!), &(!),•••&表示嵌套阵的阵列流型矩阵，其中&(!)= e-j D八吨％=01，…,0为第l个信号对应的导向矢量e 表示载波信号波长$那么采样信号协方差矩阵可表示为
〜1K
'=1&x(k)x H(k)(2)
K k1
式中，K表示采样信号快拍数$那么，自适应波束形成器的输岀可表示为
y(k')=)H x(k)(3)式中，)=「E,E1,…,E n+m—1]T表示波束形成器的权矢量$为了得到最优的波束形成器权矢量，可使输岀SINR 最大，即
pvb边角料式中，抚表示期望信号功率；表示嵌套阵接收信号的INCM$根据最小方差无失真响应波束形成算法原理，最优权矢量可表示为
_(!)z()
opt&
在实际中'由于'+n是无法获得的，通常是使用采样信号协方差矩阵'来替代$当SNR较低时，如果采样快拍数K不足'与R i+n之间存在较大误差，而随着K的不断增大R逐渐趋近于R’+n；当SNR较高时，由于R中包含期望信号成分，可能引起期望信号的“自消.可题，从而导致波束形成器性能恶化$此外，由于嵌套阵中外部均匀线阵2的阵元间距远大于半波长d'可能导致波束形成产生栅瓣、旁瓣升高以及主瓣展宽等问题$
2算法描述
通常情况下干扰信号强度是远大于噪声的因此利用空间谱估计方法精确地估计其来波方向是可以实现的$本文拟通过对干扰信号的DOA估计，重构外部均匀阵列2中“空洞”处虚拟阵元接收的干扰信号，从而构建一个虚拟的稠密均匀阵列，如图2所示，其中虚线空心圆圈表示将要重构的虚拟阵元$然后通过估计信号功率重构虚拟的均匀阵列的INCM，从而可得到波束形成器的权矢量$
0d(Ml)d Nd
图2虚拟的稠密阵列结构图
Fig2Geometrystructureofvirtualcontiguousarray
2=信号DOA估计
嵌套阵列的DOA估计可通过向量化采样协方差矩阵R，利用虚拟扩展重构一个连续阵列的高维协方差矩阵来实现，可估计岀超过阵列物理阵元个数的信号来波方向$然
第5期卢建等：基于虚拟阵元信号重构的嵌套阵稳健波束形成・1163・
而，该方法一方面需要更多的采样快拍数才能确保DOA估
计精度，另一方面是对同时存在不同干噪比(interference to
noise ratio,INR)干扰信号的DOA估计性能不足$因此,
为确保波束形成器在低快拍数和不同INR干扰条件下的
稳健性，提高算法的收敛速度，本文采用MUSIC方法实现
对干扰信号的DOA估计$首先，截取阵元间距为/的均匀
子阵3(包含均匀线阵1和均匀线阵2的第一个阵元)的接
收数据，可表示为
"(2=C o(2)，c(2), (6)
相应地，接收信号的导向矢量可表示为
&3(!)=［e"F，t p i^w lsm'—i2?-』5%)(7)
则均匀子阵3的采样数据协方差矩阵可表示为
〜I K
1&X3(k)xM()(8)
K21
在实际中，可以合理假设所有干扰信号强度都远大于
噪声，那么干扰信号的数目就可以通过文献［14-15］中提
岀的方法精确估计$因此，可通过对'进行特征分解提取
噪声子空间，从而得到均匀子阵3的MUSIC空间谱：
3!(!U3U M&3!)
式中"［―90°,90°］表示信号方向+3表示'的噪声子
空间$通常，由于均匀子阵3的空间采样间隔为-不存在
相位模糊$因此，期望信号和干扰信号的DOA估计可通过
分别在®和D范围内搜索MUSIC空间谱的峰值得到，可表
示为矢量!=［!'1，…'o3$
由于期望信号SNR的动态变化范围较大，在极低SNR
条件下，由于干扰信号的影响，通过MUSIC方法可能无法
在角度区间®范围内搜索到有效的峰值$因此，可单独采
用Capon空间谱估计期望信号来波方向，即
*3!)
1
(e)'1&3!)
''#(10)
通过搜索区间#内最大的峰值所对应的角度值，可在较低SNR条件下估计岀期望信号的来波方向!$
2.2重构虚拟阵元接收的干扰信号
由图2所示的阵列结构可知，要使整个阵列构成一个虚拟的均匀线阵，需要重构外部均匀线阵2中虚拟阵元的接收信号，其位置矢量可表示为dp v\-［N+1,N+2,…，'(N+1)—2)，因此各虚拟阵元接收的干扰信号可分别表示为
o0
C=&6e必e-i2»^八叽='P”(11)
I.1I1
式中K=e—F-E1)=6e F%(1(Z(O)表示第％个干扰信号$由式(1)可知，虚拟阵元接收的干扰信号可表示
为干扰信号和其DOA的函数形式$综合以上分析，忽略噪声影响，均匀子阵3的接收信号可写作:
双眼皮胶条"3(2)=Bs(k')(12)那么，信号矢量$2的估计值(6“可通过下式计算得到：
)(k)
$(k)=)()=(-H-)T-H"(k)(13)
)o()_
式中—为(N+1)'(0+1)阶Vandermonde矩阵-是矩阵-的估计；参数K K'/K的估计值可通过K\ e-2E1观(0(Z(O)计算，其中信号DOA估计值！可由!=(0，办，…'o］得到$综合式(11)和式(13)可得，虚拟阵元接收的干扰信号可重构如下：
K+i
…」2(2
…严N+1-2'
K_)(2
K'(N+1)_2K(?+l)-2
(14)根据式(12)〜式(14)可得'该方法可通过矩阵运算估计多个连续快拍数的虚拟阵元接收信号，因此算法具有较高的计算效率$
2=虚拟均匀阵列的自适应波束形成
通过信号DOA估计可得9=(o!i，…！o)，那么，均匀阵列3的阵列流型可表示为
忑=［&3&3(!)…，&3!o)(15)为了重构虚拟均匀阵列的incm，需要对信号能量进行有效估计$因此，可利用阵列流型矩阵忑，构建以信号功率矢量p!)为目标的最小二乘优化问题(8塚:
min|-^diag p!)}%?||；
subject to!(/)00(16)式中'!)=D(!)d!)，…D(!o))是由信号功率组成的矢量D(!)表示来波方向为！的信号功率估计值;0表示向量之间的严格分量不等式;diag{-}表示相应的对角矩阵；环+i表示(N+1)X(N+1)的单位矩阵"2表示噪声功率估计，可通过对采样信号协方差矩阵'进行特征分解，取其最小特征值作为噪声功率估计值$在实际中'采样协方差矩阵'3—必定为半正定矩阵，那么可以忽略式(16)中的不等式约束条件，信号功率矢量可通过下式直接求解［819］：
p(!)=(L h D-1L h c(17)式中,c=vec®—＜〜.n+i),vec(•)为向量化操作;/=(ec(&!)・&H((〜0))'ec(&(!)•&h((〜J),…'ec(&3(!o)&H((〜o))]$因此，虚拟的稠密均匀阵列的INCM可通过下式进行重构:
o
'汁”=(!)+".M(N+1)(18)式中'!)=('—Q-j2"(M(N+l)-l)-w
'e S()表示与信号来波方向.相对应的虚拟均匀线阵的导向矢量；.'(N+1)表示'(N+1)X M(N+1)阶的单位矩阵$由式(5)可知，虚拟均匀阵列的最优波束形成权矢量可表示为
'—1(.0)
1(.0)'—1(.0)
(19
"
・1164・系统工程与电子技术第43卷
式中1（0）表示与期望信号DOA估计（0相对应的虚拟均匀阵列导向矢量$由式（1）和式（4）根据阵元在虚拟均匀阵列中的位置对所有数据进行重排列，新的数据矩阵可表示为
"A［"o，…，"n，"n+1，…，"m（N+1）-2，"m（N+1）-1）T（20）因此，根据式（3），可得虚拟均匀阵列的波束形成输岀表示为
亍A t JM"（21）2.4算法流程
本文所提算法的主要步骤可归纳如下：
步骤1截取阵元间距为/的阵元组成均匀线阵3用于DOA估计，得到/=（，…（o）；
步骤2通过式（13）和式（14）可重构虚拟阵元接收的干扰信号"；
步骤3利用式（17）可估计信号功率，通过式（1＞）重构虚拟均匀阵列的INCM#
步骤4根据式（19）可计算得到虚拟均匀线阵的最优波束形成权矢量冠；
步骤5根据阵元位置重排列阵列实际接收数据龙和虚拟阵元重构数据"”，构建虚拟均匀阵列的接收数据矩阵"；
步骤6根据式（21）可得到波束形成器输岀结果$
3仿真分析
为了验证所提算法的有效性，在仿真过程中，设定嵌套阵中内部子阵1和外部子阵2的阵元数分别为N=5和' =5，噪声建模为一个均值为0方差为1的圆对称复高斯随机过程$假设期望信号的入射角度为（=10°，两个干扰信号的来波方向分别为（=一30°和（）=45°$当比较输岀SINR随输入SNR变化时，采样快拍数设置为F=70；当比较输岀SINR随采样快拍数变化时，期望信号的SNR设置为10dB，并且以上两种情况下的INR均设置为INR=35 dB$对以下每个场景的仿真，都是以200次独立的蒙特卡罗试验的平均值作为结果输岀$
在仿真过程中，将所提算法与多个自适应波束形成算法进行了性能对比，包括，文献「4］提岀的使用嵌套子阵的稳健高效自适应波束形成（nested subarray-robust and eff--cient adaptive beamforming，NS-REAB），文献［10］提岀的向前向后空间平滑波束形成（forward backward spatial smoothing，
FBSM）文献［12］提岀的基于扩张协方差矩阵的波束形成（augmented covariance matrix for digital beamforming，ACM-DBF），文献［11］提岀的基于空间平滑的最小方差无失真响应算法（spatial smoothing method for minimum variance distortionless response SSM-MVDR）文献［20］提岀的最差性能最优法（worst-case performance optimization，WCPO），文献［1］提岀的基于INCM重构和导向矢量估计的波束形成算法（interference covariance matrix econstructionand steering vectorestimation ICMR-SVE）$在WCPO算法中，参数设置为£\0.3，所提算法中谱峰搜索间隔和ICMR-SVE算法中的Capon积分间隔均设置为0'°$所有参与测试波束形成算法中涉及的期望信号角度区间设置为#=（0—3°,!+3°）$
3=DOA估计误差的影响
在第1个实验中，考虑信号的DOA估计误差对所提波束形成算法性能的影响。假设两个干扰信号的来波方向！和！分别在（一35。，一25。］和［40°,50°］范围内随机变化，期望信号来波方向仇=10°且保持不变$采用均方根误差（root mean square error,RMSE）作为DOA估计性能的量化指标，具体定义为
RMSE=槡槡&M&（「仇）（22）式中M表示独立蒙特卡罗试验次数;！表示第％个干扰信号的真实来波方向必表示第（次实验中对第％个干扰信号的DOA估计$如图3（a）所示，仿真结果展示了DOA估
计的RMSE随干扰信号INR的变化曲线$通常干扰信号能量是远大于噪声的'假设INR215dB，那么RMSE小于0.1$
(
碳化硅石墨坩埚。)
亩
畐
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.20
0.20
0.15
0.10
0.05
°05101520253035404550
输入INR/dB
(a)DOA估计RMSE随输入INR变化
(a)RMSE of D OA estimation versus input INR
5.0
H
P
、揪
詈
営
给
暑
*
埠
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
0.5
-30-20-1001020304050
输入SNR/dB
（b）与最佳SINR的偏差随输入SNR变化
（b）Deviations from optimal SINR versus input SNR.
INT-errors-1;INT-errors-2;INT-errors-3;
DS-error-1;-f DS-error-2;-o DS-error-3;
图3DOA估计误差对性能的影响
Fig.3Influence of DOA estimation error on performance
为了分析DOA估计误差对所提波束形成算法性能的影响，分别独立地仿真波束形成器输岀SINR在一定期望信号和干扰信号DOA估计误差条件下的性能变化曲线。在仿真过程中，设定期望信号的DOA估计RMSE分别为
第5期卢建等：基于虚拟阵元信号重构的嵌套阵稳健波束形成・1165・
0.6_1.2_1.8°；干扰信号的DOA估计RMSE分别为
0.05_01_0.15°注意，每个干扰信号的DOA估计误差
随机分布，且每次仿真实验中仅存在一种信号的误差$如
图3(b)所示，给岀了在特定DOA估计误差条件下，与最佳
输岀SINR的偏差随输入SNR的变化曲线$从仿真结果
可知，所提算法性能受干扰信号DOA估计误差影响较大,
但是由于干扰信号强度通常远大于噪声，当INR大于
20dB时,DOA估计的RMSE小于等于0.05_造成输岀
SINR损失小于1.2dB，并且随着采样快拍数的增加，其影
响将进一步减小$
3=干扰信号DOA误差
在第2个实验中，主要考察干扰信号的DOA误差对波
束形成器输岀SINR的影响。假定期望信号来波方向！=
10。已知且保持不变，仿真过程中干扰信号误差服从(一5°,
+5。］范围内的均匀分布，但在每次实验中的采样快拍之间
保持不变，而在各次实验之间随机变化$
如图4(a)和图4(b)所示，分别展示了波束形成器输岀
SINR对应输入SNR和采样快拍数的变化曲线$从仿真结
果可知，所提方法与ICMR-SVE算法性能相似，都非常接
近最优输岀SINR，且性能明显优于其他测试算法$
(a)输出SINR随输入SNR变化关系
(a)Output SINR versus input SNR
30
S P M N I S -H
齋
:X二工二圭三圣
•^4......----Q--1
-40
102030405060708090100
减数K
秸秆发酵剂
(b)输出SINR随采样快拍数变化关系
(b)Output SINR versus number of s napshots
v:WCP0;f-:SSM-MVDR;-o ICMR-SVE; -+-:FBSM;-ACM-DBF;NS-REAB；亠：最优的SINR；十：所提算法。
图4干扰信号方向误差影响
Fig4Influenceofinterferencesignaldirectionerror
3=所有信号DOA误差
在第3个实验中，主要研究期望信号和干扰信号同时存在的DOA误差对波束形成器性能的影响$通常期望信号的来波方向具备一定的先验知识，可合理假定期望信号的方向误差服从(一2.5_+2.5°］范围内的均匀分布，而干扰信号的方向误差服从(一5_+5。］范围内的均匀分布，所有信号来波方向在每次仿真采样快拍之间保持不变，在各次仿真实验之间随机变化$
仿真结果如图5(a)和图5(b)所示，当期望信号DOA 存在误差时，所提岀的波束形成算法在输入SNR低于0dB 时，由于期望信号DOA估计误差的影响，其性能与ICMR-SVE算法相近，而优于其他参与测试的算法；随着输入SNR的升高，所提算法的输岀SINR几乎等于最优值$同时图5(b)表明，当采样快拍数超过70时，所提算法的输岀SINR与最优波束形成器相近，其收敛速度明显优于其他方法$
(a)输出SINR随输入SNR变化关系
(a)Output SINR versus input SNR
30
20
10
蚩一1°
鶴-20
-30
-40
102030405060708090100
快拍数K
(b)输出SINR随采样快拍数变化关系
(b)Output SINR versus number of s napshots
v:WCPO;SSM-MVDR;-o-：ICMR-SVE;
-:FBSM;ACM-DBF;NS-REAB;
亠：最优的SINR;—：所提算法。
图5信号方向误差影响
Fig5Influenceofsignaldirectionerror
3=不同强度干扰信号
在第4个实验中，主要考察波束形成器同时处理不同强度干扰信号的能力$假设期望信号的来波方向为！= 10_其输入SNR设置为10dB'个不同强度的干扰信号来波方向分别为!=一30°,!=45°和!=30°，其INR分别设置为30dB'0dB和35dB$仿真过程中，所有信号方向保持不变且未知
$
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