2020年山西中考第15题多法求鮮
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■罗峻、段利芳2
见到中点，我们可以联想到三角形中位线，中线倍长成 全等三角形，等腰三角形三线合一，斜中线，中心对称 图形等基本图形•从而根据已知条件和这些基本图形 作出相应的辅助线，并运用图形的性质解题.2020年 山西省中考第15题，以特殊三角形为背景设置问题， 涉及到中点及高等元素，求线段长，是一道内涵丰富的 填空压轴题•本文根据已知条件多角度思考，进行一题 多解和多解归一的解题活动，从中体会：“见中点构造 基本图形”的解题策略，及此类问题作辅助线的一般 方法. 关键词：中点；山西中考题；一题多解一、原题呈现
(2020年山西省中考第15题填空压轴题）如图1， 在 RtAABC 中，= 90。，4(： = 3，BC = 4，C £> 丄
/1B ，垂足为/)，£为的中点，与交于点F ，则
〇厂的长为________•
= 2，由面积法可求得CD =¥，由勾股定理或射影定理易求从=|■，仙=穿，仙：仙=16 : 9，狀=/TT ，为缩短篇幅，后面的解题直接沿用上面的部分结 论.
思路一遇到中点，倍长中线，构造全等三角形
解：如图2，延长并在延长线上截取= /!£, 连接CC .
由 SAS 易证
@ 厶CC £，贝l j C C =
= 5,
AC =乙BAE ，那么 CC // A 8，所
以
ACCF ，则勞=普，
CG Lt 设
t 所以
; ~， j
2. 4 - x
S 4.
解得训=* =芸•
图丨
图2
试题所用背景源于课本，源于平时的教学.学生见 到边长为3,4,5的R tA 和斜边上的高及中点等条件， 倍感亲切，但要求出O F 的长，又感到十分棘手.其中， 题目的中点是解题的关键信息点，起着至关重要的作 用，如果能够用好、用活中点，就能扫清障碍，快速解 题.
二、解法探究
由已知出发，容易得到以下结论：仙=5，财；=
点评：本解法借助倍长线段/!£，构成全等三角形， 得出平行线，并运用8字形相似，运用全等及相似的性 质得到一个方程，解出方程即可求出的长. 解法2：倍长FE
解：如图3，延长并在的延长线上截取E /V
=EF ，连接 BN .
由 SAS 判定 A /VS£：g AFC £\ 则 CF = /?/V ，乙/V j S £
二厶 ECF ,
所以 B /V // CF ,
An n f
所以A 4D /’ 一 A /l 謂，那么告=^，
An t >J \而 B /V = CF ，设 DF = X ，那么¥
= 2士
，解
得
训
I
点评：本解法倍长线段F £，构成全等三角形，得出 平行线// B A 并利用/!字形相似，运用全等及相
作者简介：罗峻（1973
男，湖北省黄石人，本科，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究
段利芳（1976 -)，女，湖北省武汉人，本科，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究
•
34 •
2021年第2期
—3
似的几何性质得出方程，求出D f 的长.
8
B
图4
解法3：倍长/!£，并延长B C 和C Z )
盖型螺母解：如图4，在的延长线上截取£C = CB 并延长与CD 的延长线交于点//.
由W S 易
证
厶
AfL 4£，则乙SGE 所以 SC // 4C ，则 A /1CD w ABffl ),BD
DA
16则f ，又 = 16:9,
即f
进一步由Rt A B O /和勾股定理知
f ，那么S // =爭，
C // =孕，CW = 3 + 毕=罕,
由平行线和8字形知A C //F
,FH
GH = 25 AC " V '
,FH + CF
A A C F ,
所以
CF
由合比性质得
25
CF
GH + AC AC ~~，
20y 3
即（所以DF
，解得CF
30
CD - CF
54
85*
CF
3
…、一
17，
12 _ 30
T
如何自制夹蛋器~ 17
点评：本解法运用倍长法得到平行线，并运用两次 相似及合比性质组成方程，求出C F 的长，解题曲折，对 相似的综合运用要求达到一定深度.
思路二遇到中点构造中位线解法4：构造A
f i C Z )
的中位线
解：如图5，过点£作E // // C D 交
标志验证网
于
//.
由平行线等分线段定理知6// = ///)，则
是
ASCZ )的中位线，
由三角形中位线定理知
2
CD
HD
_ 5，
W 1AH = AD
17
由平行线和4字形知
那么H =盖’而£// = |■，仙=务’/i w 二那么
54
85'
点评：本解法通过过点£作C Z )的平行线得£//为
A S O )中位线，并运用4字型相似，得到成比例线段解
题.当然本题也可把辅助线说成“作B D 的中点//”，其 实质同解法4.
紙连接
B B V
：厶
CAE ，E
E C
C
图5
图6
解法5：作C Z )的中点构造ABCZ )的中位线 解：如图6，作线段C 0的中点C ，连接£C .则£G 是ABCD 的中位线，则五C £ 士仙，
那么 £C =
,CG = DG ^ -j CD
由平行线和8字形知△4D F -' A £G F ，那么
DF
FG
AD EG '
设DF
则
，那么 FG = DG - DF
6
，解得 * = §，即 D F = g .
点评：本解法直接作C £»中点，使£C 为A B C D 中 位线，再运用平行线得三角形相似，得比例线段构成方 程求线段的长.
解法6：倍长fi /l 至M ，使4£为A S C M 的中位线 解：如图7，在的延长线上截取= /M ，连接 〇/•易证/!£是A B C M 中位线，则4£// CM .
，BH =
所以 AOF/l w ADCM ，那么監_ T 7
- I 2i - -撕，乂 - 5，似-9
j ，
_歲
=务+ 5飞4
=管，代入比例式得仰
54
=85*
•
35 •
数理化学习咖—
点评：本解法通过作辅助线使.4A ’成为AfiC /W 屮 位线，并运用相似的性质得出比例线段，组成一个方程 求解.解法简洁，干脆利落.
M
图7
图8
解法7：作A /1B C ’的中位线A ’M
解：如图8，作ylfi 的中点M ，延长交于点
/V ■则 是 A /1BC 中位线，£M // ,4C,£/W = ^-/1C =
易知 AABC …AACD m A C 隱 0 ACBI 卜
w A /W /VD ，且每个三角形三边之比都是3 : 4 :
在 AC £7V 中，= 2，那么 A 7V 卜户X = $，又
= |/认=夺，-EM 二七，DN = CN - C I )
6
4
CD
1415解：如图9，过点/!作C ,4丄C /1于点4，延长C 7)交 4C 于点A
由 Z _6C 4 =乙67义4 = 90〇 = ZC W ，
吊车梁安装易得A ，1W ; a AC 7M …AC 4C a A 价：,4，且三边 比为3:4: 5，
穿心电容5 “、
9
那么 3 27
,6YJ = j A I ) =
-AC
15
T '
^MAG // BC U AAFG ^ A E F C y
那么S = ¥，进一步得L j C C r /I (j h jC .
将各线段的长代人比例式得
n s
解得FG = ¥
，
所以O o
9^
T
FG FG + CF FG =互，4^
I)G
54
85'
点评：本解法利用fiC 丄W
D 丄的条件，再
过点.4作垂线，出现.40丄CT ，.4C 丄.4C 的结构图，这样 出现两个双垂直的基本图形，再运用三边之比为3 : 4 : 5的结构求出线段长，并利用8字形相似解答.
B
N
S N
E C
= v ,C N
\
\
3
E
那么M /V
^
C ^
C
//
，
图9
m
1〇
由平行线8字形知AAT /V …EN F!\ firpr EN 那么7^ = i ，所以FT --77,AC CF E,\ +
AC A AFC,FN =CF + FIT 即
FIS
To'
解得F 7V
80
51，
所以，)，，=F /V - /)/V =畀-拦=尝.
51 15 oj
点评：本解法构造A /4B C 中位线A ’M ，并将卨C /) 延长1J +中位线所在直线相交成儿个新的…：角形，其三 边之比都为3 : 4 : 5，从而求出C /V ,D /V ,M /V 的长，再运 用8字形相似得成比例线段，组成方程从而得解.
思路三
淡化中点，利用垂直结构解题
解法8：过点,4作/1C 垂线
解法9：过点F 作<4C 的垂线
解：如图丨〇，过点F 作/<7/丄4C ，垂足为//.
易知 ACFH w ACAD …ABAC ,
设 F // = «，则 C 7/ =夺c /，.4" = 3 - +«，由 F // // 得 A F //,4 - A EC 4，那么 3 = #，
即」-4 解得" =
3 - T a 则 CF =
那么 /JF = CD - CF ==.
J 丨 /
O J
点评：本解法过点F 作.4C 的垂线得到两组相似， 并利用相似的对应边成比例解题，K 中要运川到
•
36 •
—
2〇2m-%i m
R t A/MC三边之比为3 :4 : 5的结构求得线段长.
解法10：由解法9的A7/,F D分别为某三角形的
高，想到过点厂作fiC垂线，由面积解答.
解：如图11，过点F分别作SCV4C的垂线，垂足分
别为C,//，连接fiF.
由解法9求得FC = C77 =夺=争x=吾
由而积知 S A m，+ + S A W.= SA W『，
•F G+A C •F H +A B •O F =AC •B C，则 4 x营 + 3 x I f + 5 x FD = 12，所以 /)F =普.
1/1/O J 点评：面积法指借助图形面积自身相等的性质，把
已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到
求证的结果.它是几何中常用的一种方法.在解题中，
灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清
晰，解题过程简捷.
解法11：作 B
丄，4£，运用
“反4字形”相E
似.。
解：如图12，C
过点《作fi/v丄
/4£，交..4£ 的延长 ''' 12
线于点况
由直角和8字形易判定A.4CA’一A/M W，那么i f,
EC _ AE_3 _ NE _ BE，'BN_
2v/l3 NE 2 ，
解得BN=-,NE :4/i y 13 _
由Zfi/V/1 AANB,
那么DF
I n
乙/<7M= 90。，乙/)/1厂公共得厶
9
水性涂料分散剂
货，即
A IS I6、/13
13
、/n
4y/'B
54
85'
点评：本解法利用c/)丄/iB的条件，作丄/
运用8字形相似和“反.4字形”相似得到两组比例式解 题，解法独特，富有思维含M.
思路四淡化中点条件，作平行线构造相似
解法12：过点Z)作4£的平行线
解：如图丨3，过点/)作/)C// /!£交于点C，由/!字形知ABC/)…
那么
BG
Bh：
BD
=J b M，那么¥
16
25'
I K
解得价；=^，价；=g，则(X
68
25'
由£厂///)6得/I字形相似，即ACEF〜A(X/)，
那么 =
25y
所以《厂=CD - CT = $.
O J
点评：本解法过点D作/IE的平行线，出现两个4 字形相似，得出线段成比例，得到两个方程即可求解.
图13 图14
解法13：过点D作KC的平行线
解：如图14，过点D作DM // BC交于点M.
{DM DF 由8字形得A d F ^ADA/F，则
由4字形得A/1/爾^则
EC_ CF，
DM AD
~B E= AB J 又EC = M，那么
DF
c r
AD
J b'
设 DF = r，则 CT = C/) -
12
A D：AH= 9：25,
所以— = 1，解得D厂=x
点评：本解法过/J点作BC的平行线，出现8字形 及.4字形相似，得线段成比例，组成方程即可求解.
解法14：过点,4作C/)的平行线
解：如图15 ，过点/I作4/V// C/)交K C的延长线于点M由CD//./1/V得对应线段成比例，则監=巧，又f
i=y，BC =4，那么$ =學，解得 cyv = |~.
•
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%L
数理化学习m*)
RtA4CiV的三边之比为3 :4:5，那么/l/V = |~CyV =15
=~4'
由CF//Z I/V得^ = ||，即^解得
丁 2 + 丁
4 4
=驾，所以 DF = C L» - DF =尝.
点评：本解法过点4作CD的平行线，出现两个/I 字形相似，得到线段成比例，组成方程即可求解.
思路五 建系法
解法15 •_如图16，以C4 ,CS为横轴、纵轴建立直角 坐标系，由4(3,0)，£(0,2)求得/1£的解析式为7 =
-|^+2，由4(3,0)，扒0,4)求得仙的解析式为7 = -+ 4，又C Z)丄，而点C过原点，所以CD解析式= \x-
由/l£,CD相交于点F知f x = -f c +2，解得x =誇，S P F点坐标为(^■，择)，
由相交于点D，知= -f x +4，解得* =I I’即0点坐标为(尝，I f).
由两点间距离公式求得= g.
点评:“根据图形自带横平竖直的垂直关系，建立 平面直角坐标系”是“建系法”的必要原则.对于本题 学生必须知晓两点间距离公式及“互相垂直的一次函 数的斜率之积为-1”的结论，另外本题的计算繁琐，需有过硬的计算能力.
三、解后反思
一道题运用多种方式来解决，即一题多解.一题多 解是发散思维的一种表现，是创造性思维的体现，也是 形成综合能力的最重要的方法.解法1~解法3，由中 点想到倍长中线或倍长有关线段，构成全等三角
形，运 用全等和相似的性质来求线段长；解法4 ~解法7，由中点想到构造中位线，运用中位线性质和A字形、8字 形相似，得出比例式，得到一个方程求出线段长；解法 8 ~解法11，淡化中点条件，利用垂直和“R tA三边之 比为3:4: 5”的结构特征，作垂线，运用“三角函数”的性质解答，其中解法10，运用面积法，解法新奇而富有 魅力；解法12 ~解法14，淡化中点，通过作平行线，出现两次相似，得到成比例线段，构成方程求解线段长.
多解归一指从众多解法中进行归纳，探寻本质，感 受表面不同实质相同的数学思考[U. “多解归一”的作 用可以对题目有全新的认识，形成这类题目，这多种方 法的“建模”认识，形成“通法”，加深对数学原理、通性 通法的认识，提高解题技巧与能力，指导以后的解题活 动.以上解法虽然小尽相同，但从多解归一的角度来 看，本题除解法11，和解法15外都可以看成“过某点作 某条线段的平行线”构成全等三角形或相似三角形，运用成比例线段解方程求解.这也是此类题目的通用 方法和解题策略.
一题多解，可以发散思维；多解归一，又可以聚合 思维.两者结合，一放一收，张弛有度，灵活自如，方可 出神人化[2].
参考文献：
[1]罗峻，段利芳.小题细思量大做促提高[J].中学教研：数学，2020(9) :9 - 13.
[2]罗峻，段利芳.平面几何中处理倍角问题的两个策略[J].数理化学习：初中,2020(7):7 - 11.
[1•湖北省阳新县白沙中学（《5241)
2.武汉市汉南区纱帽中学(43〇〇9〇)]
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