山西省太原市太原师范学院附属中学2024学年高级高三（卫星班）数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(2)3,(ln 2)
()32,(ln 2)x
x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的
取值范围是（ ） A ．1,
2
e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．(,1]-∞
C ．1,12e -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．[ln 2,1]
2．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ． 2
6
B ．
13
C ．
23
D ．1
3．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2
f x x x
=-，则()}{
21x f x +>=（ ） A ．{
3x x <-或}0x > B ．{
监控0x x <；或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{
2x x <；或}4x >
4．
“是函数()()1f x ax x =-在区间弹跳高跷
内单调递增”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差
降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤
B ．少1斤
C ．多
13
斤 D ．少
天然气裂解制氢
13
斤 6．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）
A ．
219
B ．
995
C ．
4895
D ．
519
7．已知三点A (1,0)，B (0，3 )，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．
53 B ．
213
C ．25
3
D ．
43
8．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长
为4的正方形
内任取一点，则
的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
导播系统
9．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301
x
x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
10．已知向量0,2a ，()
23,b x =，且a 与b 的夹角为3
监控主板π，则x =（ ）
A ．-2
B ．2
C ．1
D ．-1
11．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．56⎛ ⎝⎦
B ．5,15⎫
⎪⎪⎣⎭ C ．250,5⎛ ⎝⎦
D ．25,15⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
12．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i +
B ．23i -
C ． 23i -+
D ． 23i --
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点0P 是曲线3ln y x x k =++（k ∈R ）图象上的一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为______.
14．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______. 15．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4，C 在平面α内，B 是直线l 上
的动点，则点B 到平面ACD 的距离为_______，点O 到直线AD 的距离的最大值为_______.
16．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B)＝________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.
（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11
,2
n Q Q =. ①求2Q ；
②当*N n ∈时，记111
,2
n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列. 18．（12分）已知函数1()lnx
f x x
+=
（1）若1
()f x ax x
<+恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若方程()f x m =有两个不同实根1x ，2x ，证明：122x x +>．
19．（12分）已知抛物线()2
1:20C x py p =>和圆()2
22:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，
且1l 与圆2C 相切． （1）求p 的值；
（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>的右焦点为()4,0F m
（0m >，m 为常数），离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若90θ=︒时，
1152
MF NF +=
，求实数m ； ⑶试问
11MF NF
+的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．
21．（12分）在直角坐标平面中，已知ABC ∆的顶点(2,0)A -，(2,0)B ，C 为平面内的动点，
且sin sin 3cos 0A B C +=. （1）求动点C 的轨迹Q 的方程；
（2）设过点(1,0)F 且不垂直于x 轴的直线l 与Q 交于P ，R 两点，点P 关于x 轴的对称点为S ，证明：直线RS 过x 轴上的定点.
22．（10分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率. 维修次数 2 3 4 5 6 甲设备 5 10 30 5 0 乙设备 5
15
15
15
（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为X 和Y ，求X 和Y 的分布列；
（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C
【解题分析】
求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <；时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果. 【题目详解】
当ln2x ≥时，()()()
'12x
f x x e =---，
电暖水袋令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(]
,2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤
又当ln2x <；时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即
1x ln22
e
-≤<， ∴
1e
22
m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
. 故选C. 【题目点拨】
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题. 2、B 【解题分析】
过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF .因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2
CDE π
θθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，
即可得答案. 【题目详解】
过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF . 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.
因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HF
AD ==.
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