一、直线与平面所成的角
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝．
二、三垂线定理
平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直
连续退火炉【考点剖析】
(1)求证：MN//平面PAD
(2)若PD与平面ABCD
例3.（2023·上海·高二专题练习）如图，直线l是平面α的斜线，且与平面α斜交于点M，l上异于点M的一点A 在平面α上的射影为O，在平面α内过点M作一条直线m，直线m和直线MO不重合，设直线l和直线m的夹角为θ，求证∶∠AMO<θ.
题型二：求直线与平面所成的角
例4.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为．高精度室内定位
【变式1】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为．
【变式2】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边
长的比满足黄金比例，即比值约为
信息包
，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为（）
A ．
智慧社区管理系统B ．
C ．
D ．【变式3】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.
（1）求证：直线1//BD 平面PAC ；
（2）求直线1BD 与平面ABCD 所成角的正切值.
【变式4】已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AD AB ==，12AA =，E ，F 分别是AB ，11A D 的中点.
图像火焰探测器
（1）求证：直线//EF 平面11BB D D ；
（2）求直线EF 与平面11BCC B 所成角的正弦值.
(1)证明:AD⊥平面PAB；
(2)求异面直线PC与AD所成角的大小
【变式6】（2022春·上海松江
的中点.
(1)求1A D与EF所成角的大小；
(2)求1A E与平面1B FB所成角的大小(1)求证：AF BD寻星计算程序
⊥；
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