国土信息与测绘工程系 教案（首页）
班级：03测绘41、42 课程：误差理论与测量平差 授课日期：2005年 月 日 镀铬工艺
第 周 A.提出问题，导入新课
观测必然有误差，没有误差的观测数据是不存在的。介绍本课程《误差理论与测量平差》的主要任务、在测绘科学中的地位和作用。 本次课程的内容：误差理论的基本概念、历史、当今的发展趋势。
B.授课章节名称： 第一章 绪论
教学要点：
1、误差理论的基本概念
2、误差分类
重点：
1、误差分类
2、最小二乘原理
难点：
1、测量条件
2、偶然误差、系统误差和粗差的定义和区别
C.教学过程设计
测量平差的基本概念
误差分类
测量平差简史
测量平差的任务
本课程的学习方法
本课程的教学用书和参考书介绍
任课老师对学生的要求
偶然误差的统计学性质
真值的统计学意义
第一讲
第一章 绪 论
大量观测数据的处理，是测量工作重要环节之一。高斯（Gauss）和勒戎德尔（Legendre）于十九世纪初创立了解决这一问题的基本理论和方法——最小二乘法。从那时起，两个世纪以来，随着科学与技术的不断进步，特别是近代科学与技术的发展，最小二乘法也增添了许多新的内容，理论更趋全面严谨，方法更加灵活多样，应用也更为广泛。本课程的任务，就是介绍这一方面的有关理论和方法。
§1.1 测量平差基本概念
在测量工作中，由于受测量过程中客观存在的各种因素影响，使得一切测量结果都不可避免地带有误差。例如，对一段距离进行重复观测时，各次观测的长度总不可能完全相同。又如，一个平面三角形三内角之和理论上应等于180°，实际上，如果对这三个内角进行观测，其三内角观测值之和一般不等于180°，而存有差异，这种差异的产生，是因为观测值中含有观测误差。于是，研究观测误差的内在规律，对带有误差的观测数据进行数学处理并评定其精确程度等，就成为测量工作中需要解决的重要实际问题。 观测误差产生的原因很多，概括起来主要有以下四个方面。
1. 观测者
由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，因此在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度、技术水平以及情绪的变化，也会对观测成果的质量产生影响。
2. 测量仪器
测量是利用测量仪器进行的，由于测量仪器结构的不完善，测量的精密度有一定的限度，
因而使观测值产生误差。例如，光学经纬仪，理论上要求主光轴、俯仰轴和垂直轴三轴要正交，但实际上不可能严格正交；水准仪的视准轴不平行于水准轴；电磁波测距仪的零位误差、电路延迟；经纬仪、测距仪度盘的刻划误差等，这些因素都会使测量结果产生误差。
3. 外界环境
观测过程所处的客观环境，如温度、湿度、风力、风向、大气折光、电离层延迟等因素都会对观测结果产生影响；同时，随着这些因素的变化，如温度的高低，湿度的大小，风力的强弱及大气折光的不同，其对观测结果的影响也不同。在这种多样而变化的外界自然条件下进行观测，就必然使观测结果产生误差。
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4. 观测对象
观测目标本身的结构、状态和清晰程度等，也会对观测结果直接产生影响，如三角测量中的观测目标觇标和圆筒由于风吹日晒而产生了偏差；GPS导航定位中的卫星星历误差、卫星钟误差及设备延迟误差等，都会使测量结果产生误差。
上述的观测者、测量仪器、外界环境及观测对象这四个方面的因素是使测量产生误差的主要来源，我们把这四个因素合称为测量条件。显然，测量条件的好坏直接影响着观测成果的质量。测量条件好，观测中产生的误差就会小，观测成果的质量就会高；测量条件差，产生的观测误差就会大，观测成果的质量就会低；如果测量条件相同，观测误差的量级应该相同。我们把测量条件相同的观测称为等精度观测，在相同测量条件下所获取的观测值称为等精度观测值；而测量条件不同的观测称为非等精度观测，相应的观测值称为非等精度观测值。
由于测量条件不尽完善，测量误差是客观存在的。为了检验观测结果的精确性和提高观测结果的可靠性，实践中得出的有效方法是进行多余观测（也称过剩观测）。事实上不难发现，当测量足够精细时，同一量的多次观测结果，常会有一定的差异。存在固有关系的几个量的观测结果，常会出现某种程度的不符，这就是测量误差存在的反映。测量工作中正是根据这一现象，采取反复观测、多方印证，即进行多余观测的方法，作为揭示误差、发现错误、提高观测结果质量并进行精度评定的基本手段。
所谓多余观测就是多于必要观测的观测。如直接测定某一段距离的大小时，不是只观测一
次，而是观测多次，这时，其中一次是必要观测，其它则为多余观测；又如，在测定一个平面三角形的三个内角时，不只是观测任意两角，由此推算第三角，而是三个角都观测，这时，有两个是必要观测，另一即多余观测。
多余观测可以揭示测量误差，同时多余观测又使观测结果产生了矛盾。如平面三角形三内角观测值之和不等于180°，即闭合差不等于零。为了消除矛盾，必须对观测结果进行平差，为此我们给出测量平差的基本概念。在多余观测的基础上，依据一定的数学模型和某种平差原则，对观测结果进行合理的调整，从而求得一组没有矛盾的最可靠结果，并评定精度，这一过程称之为平差。测量平差所依据的原则为最小二乘原理。
设，…表示个独立的等精度观测结果，为消除矛盾而赋与观测结果对应的改正数为，…，在，…可信赖程度相同，即等精度情况下，最小二乘原理要求这些改正数的平方和为最小，即
(1.1.1)
若令
(1.1.2)
这里上表指的是矩阵的转置，则（1.1.1）式又可表示为
(1.1.3)
更为一般地，当观测值，…的可信赖程度不同，即为非等精度，而且顾及它们之间内在的关联时，最小二乘原理可表示为
(1.1.4)
式中
(1.1.5)
这里称为观测结果的权阵，称为对应的权逆阵。权阵中的是反映观测结果之间相对精确程度的数值，称为对应观测结果的权；权阵中的与观测结果间相关联的状况有关，称为观测结果的相关权。
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当（1.1.5）式中的时，即
(1.1.6)
则（1.1.4）可写为
(1.1.7)
又若（1.1.6）式中的都为1时，则权阵为单位阵，即
(1.1.8)
这时（1.1.4）式即变为（1.1.1）式。
搁物架为单位阵或对角阵时，表明观测结果，…之间是相互独立的。
依最小二乘原理，平差计算所得的观测值改正数，称为最或然改正数（有时简称为改正数），也称残差；经最小二乘平差计算求得的有关量的最可靠值，称为该量的最或然值，又叫平差值。
不仅是通过观测直接或间接得到的数据要进行平差处理，有时对于一些已平差过的值也要进行再平差。因此参加平差的数据不仅包括直接观测值，还包括间接观测值和在一定范围内已进行过平差的数据，今后无特别注明时，总是概括地称它们为观测值。
§1.2 试管架测量误差分类
根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为偶然误差、系统误差和粗差三类。
1. 粗差
粗差主要是由失误引起的，一般以异常值或孤值形式表现出来。如测错、读错、记录错、
计算错、仪器故障等所引起的偏差。经典测量中，这类粗差一般采取变更仪器或操作程序、重复观测和检核验算、分析等方式，检出粗差并予以剔除。因此，可以认为观测值中已基本没有粗差。现代测量中，观测过程中的电子化、自动化程度日益提高，观测数据自动记录、自动传输和计算，粗差的检测和分析，已成为一个重要问题。所以，在观测方案的设计和实施、观测中的检核及测后的分析处理中，采取有效措施进行粗差的探测和消除，是非常重要的。
2. 系统误差
由测量条件中某些特定因素的系统性影响而产生的误差称为系统误差。同等测量条件下的一系列观测中，系统误差的大小和符号常固定不变，或呈系统性变化。对于一定的测量条件和作业程序，系统误差在数值上服从一定的函数性规律。
测量条件中能引起系统误差的因素有许多。如，在天文测量中，由于观测者的习惯，误以目标偏于某一侧为恰好照准，因而使观测成果带有的系统误差，称为人差，是观测者的影响所致；又如，用带有一定误差的尺子量距时，使结果带有的系统误差，属于仪器误差；再有，风向、风力、温度、湿度、大气折射、地球弯曲等等外界因素，也都可能引起系统
误差。
系统误差对观测结果的影响一般具有累积性，它对成果质量的影响也特别显著。所以在测量结果中，应尽量消除或减弱系统误差对观测成果的影响。为达到这一目的，通常采取如下措施：
出系统误差出现的规律并设法求出它的数值，然后对观测结果进行改正。例如尺长改正、经纬仪测微器行差改正、折光差改正等。
改进仪器结构并制订有效的观测方法和操作程序，使系统误差按数值接近、符号相反的规律交错出现，从而在观测结果的综合中实现较好的抵消。例如，经纬仪按度盘的两个相对位置读数的装置、测角时纵转望远镜的操作方法、水准测量中前后视尽量等距的设站要求以及高精度水平角测量中日、夜的测回数各为一半的时间规定等。
综合分析观测资料，发现系统误差，在平差计算中将其消除。
从测量结果中，完全消除系统误差是不可能的。实际上只能尽量使它们的影响减少到最低限度。对于在具体测量工作中，系统误差所引起的问题如何处理，将在各有关专业课中讨固液分离装置
论，经典平差中不更多涉及这方面内容。作为平差对象的观测数据，一般均被认为已经消除了系统误差。
3. 偶然误差
由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差称为偶然误差。偶然误差的出现，就单个而言，无论数值和符号，都无规律性，而对于大量误差的总体，却存在一定的统计规律。
整个自然界都在永不停顿地运动着，即使看来相同的测量条件，也时刻有不规则的变化，这种不断的偶然性变化，就是引起偶然误差的随机因素。偶然误差是许多随机因素影响所致的小误差的代数和。例如，用经纬仪测角时，测角误差主要是由照准、读数等引起的误差所构成，而这里的每项误差又是由许多随机因素所致。如其中的照准误差就可能是由于脚架或觇标晃动及扭转、风力风向变化、目标背景、大气折光与大气透明度等的影响，而上面的任何一种影响又是产生于许多偶然因素。可见，测角误差是许许多多微小误差的代数和，而每一项微小误差又随着偶然因素影响的不断变化，其数值可大可小，符号或正或负。因此，测量中数不清的受偶然因素影响而产生的小误差，它们的大小和正负，我们既
不能控制也不能事先预知，当然由它们的代数和所构成的偶然误差，其数值的大小和符号的正负也是偶然的。
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