热方程
1．1简介
我们今天要讨论的基本问题的解决方案涉及部分差速器壳体等式中,这类问题在各个领域出现的科学和工程。一个偏微分方程（）是一个数学方程含有偏导数，例如 （1.1.1）
我们可以开始我们的研究，通过确定哪些函数满足（1.1.1）。但是，我们更愿意通过调查物理问题开始。我们这样做原因有两个。第一，我们的数学技术可能会对你很实用当它变得清晰，这些方法分析物理问题；第二，我们实际上会发现物理的考虑对我们的数学发展有很大的激励。 许多不同的学科领域工程和物理科学以偏微分方程的研究为主。没有列表可能是可以全部包含在内的。然而，以下的例子给你的感觉是不同类型领域都高度依赖偏微分方程研究：
声学，空气动力学，弹性力学，电动力学，流体动力学，地球物理学 (地震波传播），换热设备， 气象学，海洋学，光学，石油工程，等离子体物理（离子液体和气体），量子力学。
我们将会按照一定的应用数学哲学分析的一个问题将会有三个阶段:
1.构想规划
2.解决方案
3.详细解释
我们首先拟定描述的传球热能的热流量方程。热能是由分子物质搅拌引起的。热能移动的顺序发生的两个基本流程：传导和对流。在其中的一个分子的振动动能被转移到最相邻分子传导结果。因此，热能被传导即使分子本身并不移动自己的位置。此外，如果一个振动的分子从一个区域移动到另一个，伴随着热能。这种类型的热能运动被称为对流。以相对简单的问题开始我们的研究，我们学习热流仅仅是因为热能的传导比对流更为重要。因此，我们会觉得热流量主要是在固体的情况下。虽然热传递在流体(液体和气体)也主要是 通过传导如果流体速度足够小。
1.2 在一维棒中的热传导的取得
1、热能量密度 我们首先考虑杆变截面积在 方向 （从，则 ) 如图中所示。1.2.1我们临时地以相当数量热能每个单位体积作为一未知变量，并且称它热能密度： 热能量密度。
我们假设所有散热数量都是恒定在一个部分；棒是一维的。这是可能实现的最简单方法是完全绝缘杆的侧表面面积。然后没有热能可以通过侧面。和t的依赖于杆不均匀加热的情况；从一个横截面各有不同的热能量密度。
图1.2.1一维杆的热能量进和出的薄切片
2、热方程 第一章
热能 我们考虑一片薄杆包含的和 如图1.2.2所示。如果散热能量密度是一个常量铝蜂窝芯，然后在切片中的总能量是热的能量密度和体积的产物。一般情况下，能量密度不是恒定的。然而，如果非常小，然后可能近似为一个常量，
热能
所以一切片的容量就是。
热能的保护 在和之间的热能及时变化因为热能量流动跨边缘（和）和内部产生的热能（由于热量能源来源的正反面）。热能的变化不是由于流经侧面，因为我们已经假定侧面是绝缘的。这个热流动的基本方程是通过文字方程描述的
热能的变化及时率 单位时间流动横跨界限的热能 单位时间内生成热量
在线销售系统这被称为热能量守恒。对于切片，热能量变化率的是
，
偏导数的应用是因为的固定。
热通量 在一维杆中热能量向左或右的流动。我们介绍热流
热通量 （每单位时间流动到右侧单位表面面积热能源量）
如果，这意味着热能流向左侧。单位时间的切片边界之间流动的热能是
, 由于热通量是单位表面流量并且它必须乘以表面积。如果并且，如图1.2.1所示。然后在轴单位时间流动的热能有助于切片中的热能增加，而热流在轴减少热能。
热源 我们也允许内部的热能来源：
单位时间内单位体积产生的热能
Sec.1.2 一维棒中传热的推导 对一个切片大约恒定，因此单位时间的薄片中生成的总热能是 。
热能的守恒 热能量变化率是由于热能量流动跨边界和内部的来源。
。 （1.2.1）
方程（1.2.1）是不精确的因为不同数量均假定近似为常数对于这个小的横截面切片。我们主张（1.2.1）变得越来越准确如。在做出一个慎重(和在数学上严谨)的推导，我们只是试图解释极限过程中的基本思路，。在的极限，（1,2,1）没有给出有趣的信息，即。然而，如果我们首先用划分然后如222b2为极限，我们得到
（1.2.2）
取消了恒定的截面积。我们主张，这个结果是准确的（没有小的误差）。因此我们用（1.2.2）替换（1.2.1）。在这个限制的过程中，，是保持固定的。因此，从偏导数的定义
（1.2.3）
热能量守恒（精确） 热能守恒的另一种推导的优势是我们不被限制于切片。限制过程（）中产生的近似计算可以避免的。我们考虑原始一维棒的有限段（从到）见图（1.2.2）。我们将调查在这个区域的热能守恒。总的热能是，无穷小切片的总和。再次它会更改仅由于热能流经的侧边（从到）和区域内部产生的热能因此 (后取消常数)
（1.2.4）
图1.2.2在棒中热能进出的有限段
对旋轴流风机
在技术上，一个普通的导数 出现在（1.2.4）。仅取决于，不仅仅是。然而，
，
遇过和是常数（并且遇过是连续的）。这式子在积分寻常导数中现在保持恒定，因此必须被一个偏导数替换。每个阶段在(1.2.4)中现在是一个普通的积分式，如果我们注意
，
（是有效的如果是连续能区分的）。所以，
。
这个积分必须是零对任意的和；曲线下的面积必须是零的任意限制。这时当积本身是恒为零是可能的。因此，我们我们得出结论（1.2.3）
。 （1.2.5）
方程（1.2.4）.积分守恒定律，比（1.2.5）的微分更加基本 。方程（1.2.5）在通常情况下的有效物理变量是连续的。进一步的解释前面的减号是有顺序的。例如，如果，且，热通量是关于的增函数。热流动变得更强从到(假设)。因此 （忽略任何源的影响）。热能必须减少在和之间，导致减号在（1.2.5）。
温度
不是他们的热密度，区分温度的概念。这是微积分的基本定理之一。这个结果的多数证据是粗略的。假设是连续的并且对于所有的。我们可以证明通过假设存在一个使得
,体现矛盾.如果并且是连续的，然后在附近区域是一个标志。将和放入这个区域，因此当是一个标志的整体时，这和声明是冲突的，因此是可能的。遵循方程（1.2.5）
Sec.1.2 一维杆热传导的推导
热能不一定是一个简单的任务。仅在 18 世纪中期，精确的实验装置的存在是物理学家认识到可能用大量能量是两种不同材料从某一温度到更高的温度。这就需要引进的比热（或热容量）
比热（须提供热能的单位质量的物质，以提高其温度的一个单位）
一般，从实验 （和我们的定义），材料的比热取决于温度。例如，要提高单位质量的热能从0℃到1℃可能与从85℃到86℃对于同种材料是不同的。比热取决于温度热流量问题在数学上相当复杂。（练习1.2.1简要讨论了这一情况。）经常为限制温度区间，比热近似地是温度的独立。然而，专家建议不同的材料要求不同数量的热能加热。如果我们想制定正确的方程在我们的一维杆的组成可能会有所不同从某位置到另一位置位置的情况下，比热会依据x，。在许多问题中，杆是由一种材料制成（统一杆），在这种情况下，我们将让比热是一个常数。实际，多数问题的解决在这个文本中（及其他书中），对应于这种近似常数。 热能 在切片中的热能是。然而，它还定义为能量即温度从参考温度0℃到实际温度的上升。自比热与温度无关，单位质量的热能仅仅是。因此，我们需要引进的质量密度：
密度（单位体积的质量），
回归允许它随变化，这可能是由于杆组成材料的非均匀分布。薄片的总质量是。任何薄切片中的总热能是，所以
。
以这种方式我们解释了热能与温度之间的基本关系：
（1.2.6）这个阐述说明单位体积热能等于单位质量单位学位的热能温度密度（单位体积的质量）。当使用 (1.2.6)。热能密度被淘汰，热能的守恒，(1.2.3) 或赋码管理是什么意思 (1.2.5)，变成
（1.2.7）
傅里叶定律 一般，（1.2.7）被认为是一个两个未知数的方程，温度和热通量（单位面积单位时间内的流量）。热能量流是如何以及为何流动？换句话，我们需要一个表达式来对温度区域的热能量流的依赖。首先，我们总结熟悉所有的热流的某些定性的性质：
1、如果温度是恒定的在动态沙盘某区域，热能不流动
2、如果有温度的差异，热能从热地区流向较冷的地区
3、较大的温度差异（相同的材料），差异是热能的流动
4、热能的流动会因不同的材料，即使在相同的温度差异
傅里叶 (1768年-1830) 认识1至4的性质，由公式总结他们 （以及无数的实验）。
（1.2.8）
被称为傅立叶导热定律。其中是温度的导数，它是温度斜率（作为固定的的的函数）；它代表着温度差异（单位长度）。方程（1.2.8）表明热通量与温度差成正比 （每单位长度）。如果温度随着的增加(i.e.，温度高于到右侧, )，我们知道（性质2）热能流向左侧。减号的解释在（1.2.8）。
我们指定比例系数。它可以测量材料的导热能力，被称为热传导率。实验表明，不同的材料以不同的方式进行热传导；取决于特定的材料。越大，相同温度区域内热能流动越大。值低的材料将是一个热能的不良导体（非常适合家庭绝缘）。对于不同材料组成的一个控制杆，将 的函数。此外，实验结果表明不同温度下，大部分材料的热能传导能力是不同的。然而，正如比热，对温度的依赖往往并不重要在特定的问题中。
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