1．a，b，c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是________．(填序号) ①a>b>c ②b>c>a
③b>a>c ④a>c>b
解析：由a2＋c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a可排除①，④，令a＝2，c＝1，可得b＝.可知③可能成立．
答案：③
2．(2011年镇江调研)已知a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列各式中正确的是________．
①＋≤ ②＋≥1
③≥2 ④≥1
解析：由a＞0，b＞0，知≥，
又a＋b＝4，∴ab≤4，∴≥，
∴＋＝＝≥1，即＋≥1.
答案：②
3．下列结论正确的是________霓虹灯变压器．
①当x>0且x≠1时，lgx＋≥2
②当x>0时，＋≥2
③当x≥2时，x＋的最小值为2
④当0<x≤2时，x－无最大值
解析：①中，当x>0且x≠1时，lgx不一定是正数；
③中，当x≥2时，x＋≥2＝2中的等号不成立；④中，当0<x≤2时，可以证明y＝x－是增函数，则其最大值为f(2)＝.
答案：②
4．已知a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，则________ (a＋b)．(填“>”“＝”或“<”)
解析：由不等式≤(a，b∈(0，＋∞)，可得≥(a＋b)，
又∵a≠b，∴ > (a＋b)．
答案：>
一、填空题
1．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝≥(当且仅当a＋c＝2b时，取“＝”)．
答案：≤
2．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg ()，则P、Q、R的大小关系为________．
解析：∵lga>lgb>0，
∴(lga＋lgb)>，即Q>P.
又∵a>b>1，∴ >.
∴lg()>lg＝(lga＋lgb)，即R>Q.
故有P<Q<R.
答案：P<Q<R
3．已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)的最小值为________．
解析：(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
＝(a＋)＋(oltcb＋)＋(c＋)
＝4＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
答案：10
4．(2010年高考安徽卷)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号) ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；
⑤＋≥2.
解析：①ab≤2＝1，成立．
②欲证＋≤，即证a＋b＋2≤2，即2≤0，显然不成立．
③欲证a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，即证4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立．
④a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3⇔a2－ab＋b2≥
⇔(a＋b)2－3ab≥⇔4－≥3ab⇔ab≤，由①知，ab≤不恒成立．
⑤欲证＋≥2，即证≥2，即ab≤1，由①氟硅酸钙知成立．
答案：①③⑤
5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析：∵a＞0，b＞0，
∴a＋b＋3≥2＋3，
∴ab≥2＋3，
∴(－3)(＋1)≥0.
∴≥3，∴ab≥9.
答案：[9，＋∞)
6．(2010年高考山东卷)已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.
当且仅当＝，即x＝，y＝2时，取等号．
答案：3
7．已知a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值为________．
解析：a＋2b＝(a＋2b)(＋)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，
当且仅当，即a＝b＝510自动发卡3时，取“＝”．
答案：9
8．某民营企业的一种电子产品，2009年的年产量在2008年基础上增长率为a；2010年又在2009年的基础上增长率为b(a，b＞0)，若这两年的平均增长率为q，则q与的大小关系是________．
解析：设2008年的年产量为1，则2010年的年产量为(1＋a)(1＋b)，∴(1＋q)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋q＝≤＝1＋，
∴q≤，当且仅当a＝b时，取“＝”．
答案：q≤
9．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m浏阳霉素2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________． ①6.5 m ②6.8 m
③7 m ④7.2 m
解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，
∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．
∵够用且浪费最少，∴应选③.
答案：③
二、解答题
10．判断下列各式的正误，并说明理由．
(1)f(x)＝＋3x的最小值为12；
(2)x＞0时，函数f(x)＝＋2x≥2＝2，
所以当且仅当x2＝2x即x＝2时，取最小值；
(3)x＞0时，x＋＋的最小值为2.
解：(1)错误．∵x的正负不知，
∴应分x＞0与x＜0两种情况进行讨论．
当x＞0时，f(x)＝＋3x≥2＝12，
当且仅当＝3x，即x＝2时，等号成立，
∴x＞0时，f(x)有最小值12.
当x＜0时，f(x)＝＋3x＝－[－＋(－3x)]．
∵－＋(－3x)≥2＝12，
∴f(x)≤－12，当且仅当x＝－2时等号成立，
∴当x＜0时，f(x)有最大值－12.
(2)错误．∵·2x不为定值(常数)，
不能运用基本不等式．
(3)错误．等号当且仅当x＋＝，即(x＋)2＝1时成立，
又x＞0，∴x＋＝1，即x2－x＋1＝0，此方程无解，
∴等号取不到，应该有x＋＋＞2.
11．已知a，b，c为不全相等的正实数．
求证：a＋b＋c>＋＋.
证明：∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2>0，
b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>＋＋.
12．已知函数f(x)＝lgx，若a>0，b>0，试判断[f(a)＋f(b)]与f()的大小，并加以证明．
解： [f(a)＋f(b)]≤f()．
∵f(a)＋f(b)＝lga＋lgb＝lg(ab)，
f()＝lg.
又∵a，b>0，∴≥>0.
而函数f(x)＝lgx在定义域内单调递增，
∴lg小型甘蔗榨汁机≥lg＝lg(ab)
＝(lga＋lgb)，
即[f(a)＋f(b)]≤f()，
当且仅当a＝b时，取“＝”．
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