武伟;王宏志;宋宇
【摘 要】介绍了3种常见的偏微分方程去噪模型：热扩散方程、P-M扩散方程、TV扩散方程,并结合实验分析了它们在图像去噪中的优缺点。%Three image denoising models based on partial differential equation,hot diffusion equation,P-M diffusion equation and TV diffusion equation are introduced.By means of experimental analysis,the advantages and disadvantages are listed for image denoising. 【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(032)006
【总页数】4页(P554-557)
【关键词】偏微分方程;扩散;去噪
【作 者】武伟;王宏志;宋宇
【作者单位】长春工业大学计算机科学与工程学院,吉林长春130012;长春工业大学计算机科学与工程学院,吉林长春130012;长春工业大学计算机科学与工程学院,吉林长春130012
【正文语种】中 文
【中图分类】TP391
0 引 言
偏微分方程是数学分析的重要组成部分之一，目前已被广泛应用到图像处理和计算机视觉等许多领域［1－3］。偏微分方程应用在图像处理中，首要步骤是建立图像的偏微分方程模型，假设图像是实数域上关于x，y的二维函数，由于图像是分片连续的，可以在除边缘外的连续区域内用函数来逼近原始图像。此外，还可以构造图像梯度的函数，两者组合就形成了图像的变分方程。模型的建立需要考虑很多因素，因此，基于偏微分方程的图像处理也要经历较长的过程［4－5］。 1 热扩散方程
热扩散方程是根据物理模型建立起来的，其物理模型为：一根局部被加热的铁管，随着导热过程它的热量会慢慢扩散，直到整个铁管的温度达到一致。将其应用在图像去噪中，就好比将噪声扩散使整个图像的灰度达到一致。
设原始图像为u（x，y，0），u（x，y，t）为时间t时的扩散图像，则图像的热扩散偏微分方程为：
其中，Δu（x，y，t）为图像的拉普拉斯算子，其初始条件为u（x，y，0），其解为
从式（2）可以看出，扩散后的图像即为原始图像与高斯滤波器的卷积，因此等价于低通滤波器，所以，热扩散方程是各向同性扩散，随着扩散的增强，图像的边缘等细节信息也被滤除了。
2 P－M扩散方程
由于热扩散方程是各向同性扩散，不能根据区域的不同进行扩散。因此，Perona和 Malik［6］对热扩散模型进行了改进，根据图像分片光滑的特点，将图像分成不同尺度的区域，对区域内进行相同程度的扩散，而对边缘处减弱。
1990年，Perona和 Malik［6］对热扩散方程进行了改进，引入函数c（x，y，t）作为扩散系数（初始条件为u（x，y，0）：
式中：u——输入图像；
div——散度算子；
c——扩散系数；
▽——梯度。
理想状态下，图像的扩散程度取决于函数c（x，y，t）。在灰度平坦区域，c（x，y，t）＝1，方程（3）退化为热扩散方程，对图像进行各向同性扩散；在灰度变化大的区域，c（x，y，t）＝0不扩散。由灰度值来决定扩散程度，可以很好地保留图像的边缘和细节信息。
在实际应用中，图像的边缘信息是无法事先获得的，这就需要构造一个函数，作为边缘点的估计。通常，图像的边缘信息是梯度的函数，因此，采用梯度算子构造一向量函数：
g（·）规定了扩散的程度，它满足以下条件：
1）g（s）是光滑的，不增的函数；
2）g（0）＝1，且g（s）≥0；
3）s→∞时，g（s）→0。
因此，g（s）函数可表示为非负单调递减函数，如图1所示。
图1 非负单调递减函数g（·）
热敏打印机芯满足以上条件后，c（x，y，t）就成为以▽u（x，y，t）为变量的单调下降函数。
综上可得：
式（5）即为P－M扩散模型方程。两个扩散系数函数为
在扩散函数g中，k为常量，其值越大扩散越强，适当的k值能起到增强边缘的效果。式（6）的扩散系数可以根据图像对比度的不同保护图像边缘，式（7）则能保留图像中的大
区域，去除图像中的小区域。
这两种扩散函数g的取值范围都在［0，1］间，是图像梯度的函数，随着梯度的增加而单调下降。它是一种局部自适应扩散方式，在图像梯度变化小的地方扩散，而在图像梯度变化大的地方（通常为边缘处）停止扩散。
3 TV扩散方程
假定图像降噪模型为
式中：u（x，y）——原图像；
u0（x，y）——含噪图像；
n（x，y）——均值为0、方差为σ2 的加性噪声，在这里它为高斯噪声。
1994年Rudin［7］等提出了基于有界变差空间的整体变分模型，定义为：
一般情况下，含噪图像的整体变分能量要比原图像的整体变分能量大，如何让图像的整体
变分模型“最优化”，就成了基于偏微分方程图像去噪的核心问题，即使得整体变分能量最小的问题［8］。
密钥索引大功率同轴固定衰减器约束条件为：
利用拉格朗日乘子法，可以定义一个新的能量泛函：
式中：λ——Lagrange乘数，其值取决于图像噪声水平。
胶衣树脂
为了求出函数u使Eλ（u）最小，式（11）就转变为泛函求极值问题，即变分问题［9］。其拉格朗日方程为：
采用TV模型对图像进行扩散去噪等同于非线性低通滤波，它对不同点的扩散程度是不一样的，也是各向异性、稳定的。由于TV模型是基于图像整体变分模型“最优化”的问题，其具有全局最优解，因此，当图像噪声很大时，也可以得到稳定正确的结果。但是，TV扩散模型不具备逆向扩散的能力，所以边缘保持性不如P－M方程。
4 实验结果分析
选取256×256的灰度图像，加入均值为0、方差为25的高斯白噪声。分别采用热扩散、P－M扩散、TV扩散方法对含噪图像去噪，迭代次数为10次和20次，如图2所示。
图2 3种方法去噪图像
从上述3种方法去噪后的图像可以看出，迭代10次后的去噪效果基本相同，而迭代20次后的去噪效果，P－M扩散方法明显好于另两种，噪声被滤除的同时，边缘也得到很好的保护。对于热扩散方程法，随着迭代次数的增加，噪声虽然被消除了，但是图像的边缘和细节等重要信息基本也因为被平滑而丢失掉，图像已经被严重模糊了。智能识别技术
虽然各向同性热扩散方程将图像去噪问题转化为偏微分问题，但是它的去噪效果一般，边缘信息丢失比较严重。采用P－M扩散方程对Lena图像去噪的效果明显要好于采用热扩散方程的效果。噪声被大部分去除，边缘也得到了一定的保护。经过TV扩散去噪的图像，迭代次数增加对其影响并不大，它是稳定非病态的。但是相对于P－M扩散而言，它的边缘保持效果要略为逊。
参考文献：
luciano rivarola
［1］冈萨雷斯（Gonzalez，R C），吴兹（Woods，R E）.数字图像处理（英文版）［M］.2版.北京：电子工业出版社，2002.
［2］章毓晋.图像工程（上册）：图像处理和分析［M］.北京：清华大学出版社，1999.
［3］章毓晋.图像工程（上册）：图像理解与计算机视觉［M］.北京：清华大学出版社，2000.
［4］杨新，李俊，杜啸晓，等.图像偏微分方程原理与应用［M］.上海：上海交通大学出版社，2003.
［5］张亶，陈刚.基于偏微分方程的图像处理［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［6］Perona P，Malik J.Scale－space and edge detection using anisotropic diffusion［J］.IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1990，12（7）：629－639.
［7］Rudin L，Osher S，Fatemi E.Total variation based on image restoration with free l
ocal constrains［C］／／Proc 1st IEEE International Conference on Image Processing.1994（1）：31－35.
［8］Rudin L，Osher S，Fatemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［C］／／INRIA：Proc.Mod’eliz Mat Traitement d’Images.1992：149－179.
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议