本文重点是针对时均雷诺方程（time-averaged Navier-Stokes equation）。这一研究方法可追溯到19世纪末，雷诺（1895）发表了对紊流的研究结果文章。他的开创性研究工作被证明对于随后的进一步研究具有里程碑意义。
最早是通过模仿分子梯度的扩散过程，采用数学方法描述紊动切应力（turbulent stress）。根据这一思路，布辛涅斯克（1877）（Boussinesq）引入了涡粘性的概念（eddy viscosity）。与雷诺一样，布辛涅斯克在紊流研究领域中名垂千古。至今，布辛涅斯克的假设被广泛应用。
雷诺和布辛涅斯克都没有尝试对雷诺时均的NS方程进行任何的系统求解。在19世纪，许多粘性流体流动的机理并不清楚。直到普朗特于1904年提出边界层理论，之后，粘性流动的研究才取得了进一步发展。 普朗特针对紊流流动，于1925年提出了混合长度理论（与气体的分子平均自由程类比得到），并对根据混合长度理论计算涡粘性进行了阐述。与涡粘性概念密切相关的混合长度假设，为之后20年间几乎所有的紊流模型研究建立了基础。 早期的主要贡献归功于以下几位研究工作者，其中最为显著的是冯卡门（1930）（V on Karman）。以现代的术语，我们将建立在混合长度假设基础上的模型称为代数模型或零方程模型（algebraic model or zero-equation model of turbulence）。根据定义，n方程模型就是除了求解时均流动的质量守恒、动量守恒和能量守恒方程，还需要求解n个微分输运方程。
为了改进紊流模型的预测精度，同时研制更合适的紊动切应力数学表达式（mathematical description of turbulent stresses），普朗特（1945）提出一个涡粘性依赖于紊
动能k的新模型（eddy viscosity depends upon the kinetic energy of the turbulent fluctuations, k）。他建议使用一个偏微分方程的模型对精确的k方程进行近似。从概念上说，这一改进考虑了紊动对剪切力（因而涡粘性）的影响，即历史效应。这就产生了单方程紊流模型的概念。
尽管采用取决于流动历史的涡粘性，从而提供了更加合理的模型，但仍需要确定紊动的长度尺度（turbulence length scale）。这是因为，从量纲的角度，涡粘具有速度乘以时间的量纲。因为长度尺度可看作涡的特征尺寸，因而对于各种不同形式的流动，这个尺度是不同的。不给出长度尺度的紊流
模型是不完整的。因为，为了求解流动，除了初始条件和边界条件，还必须预先知道关于流动的某些信息，以便求解。不完整的紊流模型并不没有优点，事实上，在很多实际工程应用中都已证明具有巨大作用。
进一步，不完整的模型通常根据时均流动，预先给定紊动长度尺度，如对于附壁层流动（attached boundary layer），给定位移厚度*
δ可
δ。但是当边界层发生分离时，因为此时*
能出现负值，需要给定一个不同的特征长度。对于自由剪切流动，则需要另外一个长度尺度，等等。基本来说，与雷诺应力相比（如涡粘性和混合长度），不完整的紊流模型通常定义物理量的变化较简单，或变化较慢。假定这些量比实际应力容易相关。单兵作战系统
一般来说，最理想的紊流模型是：当用于到某一给定的紊流流动时，至多需要适当的初始条件或边界条件。理想的模型不需要事先知道关于紊动流动的任何信息，即可进行求解，这样的模型称之为完整的。应当注意，这一定义并不涉及到考虑模型的精确性和通用性，只要在预先不知道任何流动细节的情况下可以用于确定流动即可。
Kolmogorov（1942）提出了第一个完整的紊流模型。除了具有k的数学方程，他还引
入了另外一个参数ω，定义为：单位时间内单位体积的能量耗散速率。ω的倒数（ω
1）作为紊流的时间尺度（turbulence time scale ）。ω
2
/1k 相当于混合长度，ω k 相当于耗散率ε。这个模型被称为ω−k 模型，其中，ω满足类似于k 方程的微分方程，因此称为双方程模型。尽管这个模型具有很大的优点，但是，由于没有能够计算非线性微分方程组的计算机，在之后的四分之一世纪内，这个模型几乎没有得到应用。
周培源（1945）和Rotta （1951）为绕过布辛涅斯克假设，建立紊流模型奠定了基础。Rotta 提出了一个描述紊流切应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量。这样的模型常称为应力输运模型（stress-transport models ）。很多研究工作者称之为二阶封闭或二阶矩封闭。从概念上，应力输运模型的主要优点反应了流体的自然属性，将非当地性和历史效应结合在一起。尽管很难得到比较精确的量化精度结果，但是，这样的模型能自动描述复杂的流动现象，比如流线弯曲，刚体旋转以及体积力。这与涡粘性模型形成鲜明的对比。涡粘性模型只有在加入经验项之后才能够表述这些效应。对于三维流动，应力输运模型包括7个方程，一个是紊动尺度（长度或其它等价尺度）方程，和6个雷诺应力张量的分量方程。与Kolmogorov 的ω−k 模型一样，应力输运模型等待合适的计算机到来。
因此，到20世纪50年代初，形成了四大类型的紊流模型：
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（1）代数（零方程）模型 [Algebraic (Zero-Equation) Models]
（2）单方程模型（One-Equation Models ）
（3）双方程模型（Two-Equation Models ）
（4）应力输运模型（Stress-Transport Models ）
自20世纪60年代以来，由于计算机的发展，上述这四类型紊流模型得到了进一步的发
医用热熔胶展。下面简要介绍每种紊流模型所取得的一些重要进展。
代数模型（Algebraic Models）：V anDriest（1956）针对混合长度模型，提出了一个粘性衰减校正（viscous damping correction），当今几乎所有的代数模型都包含了这一校正项。Cebeci和Smith（1974）对涡粘/混合长度模型进行了进一步完善，使得模型能够正确的求解大部分的附壁层流动。为了克服剪切层厚度中，定义紊流长度尺度的困难，Baldwin和Lomax（1978）提出了另一个替代的代数模型，这一新的模型这些年来得到了广泛应用。
单方程模型（One-Equation Models）：上面提出的四种紊流模型中，单方程模型最不流行，而且取得的成功也最少。这类模型中，早期最成功的也许是Bradshaw，Ferriss and Atwell（1967）提出的。1968年，在斯坦福举行的紊流边界层计算会议上，对当时最好的模型，根据当时的试验资料进行了检验。在所有模型中，Bradshaw－Ferriss－Atwell模型最能够成功的再现流动现象。最近，根据涡粘性的假设模型，对单方程模型又有了某些新的兴趣。这是因为相对于双方程模型和应力输运模型，这些模型比较容易进行数值模拟。在最近的单方程模型中，Spalart和Allamas的模型对于实际紊流具有最好的精确性。
双方程模型（Two-Equation Models）：这类模型中，尽管Kolmogorov的ω
k模型最早
−
提出，但在计算机时代来临之前，这个模型一直没有得到关注。至今，在双方程模型方面做出最深远贡献的是Launder and Spalding（1972），以及随后一直不断从事研究工作的学生和同事。象混合长度模型一样著名，Launder的ε
小型地源热泵k模型是应用最为广泛的双方程模型。
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尽管这个模型对于具有逆压梯度的流动并不合适（Rodi and Scheuerer，1986；Wilcox，1988a，1993b；Henkes，1998a），但这并不影响这个模型的广泛应用。在对Kolmogorov的研究工作毫无所知情况下，Saffman（1970）也提出了一个ω
k模型相比，这一模
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k模型，与ε
−数据线接头
型具有一定优势，特别是对粘性底层积分和预测逆压梯度方面。Wilcox and Alber（1972），Saffman and Wilcox（1974），Wilcox and Traci（1976），Wilcox and Rubesin（1980），Wilcox （1988a）等人对ω
k模型做了进一步完善和应用方面的研究。正如Lakshminarayana（1986）
−
指出，ω
k模型是双方程模型中第二个应用最广的模型。
−
应力输运模型（Stress-transport Models）：到20世纪70年代，随着计算机迅速发展，这类模型得到了显著的发展，其中最为显著的是Donaldsons（Donaldson and Rosenbaum，1968），Daly and Harlow（1970），Launder，Reece and Rodi（1975），后者的研究成果已经成为基本的应力输运模型。Lumley（1978），Speziale（1985，1987a，1991）和Reynolds （1987）对方程的封闭性进行了严格的数学证明。尽管如此，由于应力输运模型涉及大量的方程以及复杂性，与代数模型或双方程模型相比，他们的应用仅局限在很小范围内。
至今，紊流模型的发展已经远远超出上述四种模型的范畴。这是因为，为了克服现有四类基本模型的缺陷，科学工作者一直尝试采用非传统方法。纵观紊流模型的发展历史，新的想法不断出现。
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