第53卷第1期2021年1月
力学学报
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics
Vol. 53, No. 1
Jan”2021
研究综述
谢晨月袁泽龙王建春2)万敏平陈十一
(南方科技大学力学与航空航天工程系，深圳518055)
摘要大涡模拟方法(LES)是研究复杂湍流问题的重要工具，在航空航天、湍流燃烧、气动声学、大气边界层等
众多工程领域中具有广泛的应用前景.大涡模拟方法采用粗网格计算大尺度上的湍流结构，并用亚格子（SGS) 模型近似表达滤波尺度以下的流动结构对大尺度流场的作用.传统的亚格子模型由于只利用了单点流场信息和 简单的函数关系，在先验验证中相对误差较大，在后验验证中耗散过强.近几年来，机器学习方法在湍流建模问
题中得到了越来越多的应用.本文介绍了基于人工神经网络（ANN)的湍流亚格子模型的最新进展.详细地讨论
了人工神经网络混合模型、空间人工神经网络模型和反卷积人工神经网络模型的构造方法.借助于人工神经网
络强大的数据插值能力，新的亚格子模型的先验精度和后验精度均有显著提升.在先验验证中，新模型所预测的
亚格子应力的相关系数超过了 0.99，在预测精度上远高于传统的大涡模拟模型.在后验验证中，新模型对各类湍
流统计量和瞬态流动结构的预测都优于隐式大涡模拟方法、动态Smagorinsky模型、动态混合模型等传统模型.
因此，人工神经网络方法在发展复杂湍流的先进大涡模拟模型中具有很大的潜力.
财务报销管理系统关键词揣流，大涡模拟，亚格子模型，人工神经网络，机器学习
中图分类号:0357 文献标识码：A doi: 10.6052/0459-1879-20-420
ARTIFICIAL NEURAL NETWORK-BASED SUBGRID-SCALE MODELS FOR
LARGE-EDDY SIMULATION OF TURBULENCE1}
Xie Chenyue Yuan Zelong Wang Jianchun2)Wan Minping Chen Shiyi
(Department of M echanics and Aerospace Engineering, Southern University of Science and Technology, Shenzhen 518055, China)
Abstract Large eddy simulation (LES) is an important method to investigate different types of complex turbulent flows, which has been widely applied to the turbulent flows in aerospace, combust
ion, acoustics, atmospheric boundary layer, etc. Large eddy simulation effectively solves the large-scale motions of turbulence and models the effects of small-scale dynamics on the large-scale structures by using subgrid-scale (SGS) models. Traditional SGS models only use the singlepoint information based on some simple forms of analytical functions to approximate the SGS terms. Thus, traditional models exhibit quite large relative errors in the a priori study, and have excessive dissipations in the a posteriori study. Recently, machine learning approaches have been widely used to develop turbulence models, including the Reynolds- averaged Navier-Stokes (RANS) models and LES models. In this paper, we review the recent developments of artificial neural network (ANN) methods for SGS models in LES of turbulence. We discuss three different ANN-based SGS
2020-12-09 收稿，2020-12-24 录用，2020-12-24 网络版发表.
1)国家自然科学基金（91952104, 11702127, 91752201)和国家数值风洞工程（NNW2019ZT1-A01，NN W2019ZT1-A04)资助项目.
2)王建春，副教授，主要研究方向：揣流和计算流体力学.E-mail: ******************
引用格式：谢晨月，袁泽龙，王建春，万敏平，陈十一.基于人工神经网络的湍流大涡模拟方法.力学学报，2021，53(1): 1-16 Xie Chenyue, Yuan Zelong, Wang Jianchun, Wan Minping, Chen Shiyi. Arti
ficial neural network-based subgrid-scale models for
___________large-eddy simulation of turbulence. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53( 1): 1-16______________________
models, including artificial neural network mixed model (ANNMM), spatial artificial neural network (SANN) model and deconvolutional artificial neural network (DANN) model. Due to the strong data interpolation capability of artificial neural networks, the new SGS models exhibit improved accuracy in both a priori study and a posteriori study. In the a priori study, the new SGS models can predict the SGS stress much more accurately than the traditional SGS models: the correlation coefficients predicted by new SGS models can be made larger than 99%. In the a posteriori study, the new SGS models can give better predictions on turbulence statistics and instantaneous flow structures, as compared to a variety of traditional SGS models including the implicit LES (ILES), dynamic Smagorinsky model (DSM), and dynamic mixed model (DMM). It is shown that artificial neural network-based methods have strong potentials for the developments of advanced SGS models in the LES of complex turbulence.
Key words turbulence, large-eddy simulation, subgrid-scale model, artificial neural network, machine learning
2 力学学报2021年第53卷
湍流现象广泛存在于航空航天、天体物理、大 气边界层等各类工程问题和自然现象中||].受限于
巨大的计算量，直接数值模拟（direct numerical simulation, DNS) 方法无法求解高雷诺数揣流问题.雷诺 平均（Reynolds-averaged Navier-Stokes，RANS)方法基 于雷诺平均方程，主要求解湍流的平均场，因此无法 精确地模拟湍流在不同尺度上的流动结构.大涡模 拟（large eddy simulation, LES)方法米用粗网格计算 大尺度上的湍流结构，并用亚格子模型近似表达滤 波尺度以下的流动结构对大尺度流场的作用，从而 能够有效地预测湍流在大尺度上的动量、能量和热 量的传输〜91.
在大涡模拟方法中，亚格子不封闭项表征亚网 格尺度对大尺度运动的影响[1(M7].大涡模拟方法的 一个核心问题是：如何通过大尺度的流场信息构造
亚格子模型？传统亚格子模型包括Smagorinsky模 型[6，K)J8-丨9丨、相似模型[20-川、梯度模型丨2丨-23]、优化模
型[24-26]、一方程模型HU7-%和二阶矩模型l27,2«n等最近几年来，机器学习方法发展迅速，并且在湍 流建模问题中得到了越来越多的应用包括：用机器学习方法重构雷诺平均应力、基于全连接 人工神经网络的亚格子模型[35_36]、基于机器学习的 反卷积亚格子模型[39_4|1、基于循环神经网络和Mori-Zwanzig公式的时空亚格子模型148】等.
作者的研究团队从2019年开始，发展了一系列 基于人工神经网络的大涡模拟模型，主要有以下3种 情况.（1)人工神经网络显式代数模型，包括人工神 经网络混合模型（artificial neural network mixed model. ANNMM)和非线性代数模型[49-5〇l•这类模型类似于传统代数模型，具有显式表达式，并通过人工神经网 络方法对模型中的无量纲系数做优化.（2)人工神经 网络隐式结构模型，包括七点模型（ANN-7)和空间 人工神经网络（spatial artificial neural network, SANN) 模型这类模型的输入和输出的映射关系封装 在人工神经网络中，没有具体的显式表达式.这类模 型是亚格子模型的一种，和传统的隐式大涡模拟方 法有所区别：隐式大涡模拟方法主要采用耗散型的 数值格式去直接求解粗网格上的流体力学方程，不 加亚格子模型这一项，而是用数值黏性去代替亚格 子能流的耗散作用.（3)反卷积人工神经网络（deconvolutional artificial neural network, DANN) 模型 【56].
本文详细地介绍了利用人工祌经网络方法重构 亚格子不封闭项的最新进展.具体内容安排如下：在 第1节中，讨论了可压缩湍流的人工神经网络模型，包括人工神经网络混合模型和空间人工神经网络模 型；在第2节中，介绍了不可压缩湍流的反卷积人工 神经网络模型.在第3节中，对本文的内容进行了总 结和展望.
1可压缩湍流大涡模拟
可压缩湍流的速度场和热力学场存在强耦合，同时涡量场、声波、激波和膨胀波之间存在非线性的 耦合作用|6〇-67].可压缩湍流的大涡模拟需要同时封
闭动量方程和能量方程.理想气体的可压缩湍流的 无量纲化纳维-斯托克斯方程如下[3#_621
dp ^ d{p uj)n
dt dxj
diput) d{pUjUj +pdjj)—1d〇jj_
dt+ dxj Re dxj
(1)
(2)
第1期谢晨月等：基于人工神经网络的湍流大涡模拟方法3
d E + d[{E +p)Uj\_dT_\
dt dxj a dxj \ dxj )
家庭系统1d(〇-i jUi)
Re dxj
-A+FjUj(3)其中，cr,v =-2P S«(5〇V3是黏性应力张量;
〜4 (尝+急)是贼率张量；
£=++是单位体积的总能量; F,•是单位体积的大尺度外力；A是单位体积的大尺度冷却函数[6K62].
上述方程通过以下的特征物理量进行归一化：特征长度々，密度速度认，温度7；，单位体积的两倍动能A巧，动力学黏性系数热扩散系数A 和压力Pr =p rt/r2.雷诺数=p rt/rL r/；U r，马赫数M=i/r/c r，普朗特数/V==0.7是流场的三个无量纲控制参数，其中声速^比热比y=C p/C v = 1.4, /? =C p -C v是气体常数，无量纲参数a=1)M2.
可压缩湍流的泰勒雷诺数R e,i和湍流马赫数M t 分别定义为161-62]/ = ^7/以68]，其中P是密度，/代表速度或温度.无量纲的可压缩湍流大涡模拟控制方程如下[3]
dp d{pHj)
dt +dxj
dipUi) 9 + pSij
(7)
da ‘
dt
Fi
dxj
dpTij
Re Ox；
(8)
d{d-ijUi) dE| d[{E + p)uj\1d/ <9f\
dt dxj a dxj\ dxj) Re dxj
dpTU1dpQj
^-Fj^j
p T
yM1
-w/-dxj(y -1) yM2(9)
(l〇)其中
&ij =2fiS i j— -fiS k k^i j
._\(〇^duj\
5y=2f e+ ^；J
P
y-12
亚格子不封闭项包括
TU Uiiij,Qj =UjT - iijT(11)
/n\ /Y rms i . .rms
R e,=R e^—^, =(4) 其中t,v是亚格子应九仏是亚格子热通量.假设运卿、州动学黏性系数在不同尺度上保持一致，其他亚格子其中〈>是空间平均，=v^y是速度均方根不封闭项可以忽略[26]•在本文中，对亚格子应力t,v (r m s)，泰勒微尺度定义为和亚格子热通量込发展高精度模型.
(UiUi)
{{du\ldx\)2 + (duz/dxj)2 + (du^/dx^)2^
(5)
柯尔莫哥洛夫尺度/?和积分尺度L，分别为[6W2]
T] = [(jx/(Rep))3 /e]'/4
U =
3〃「E(k)壯
2(«rms)2 J〇k
(6)
其中e=<cr,#,+,+/ (/^p)}是单位质量的动能耗散率.单位质量的动能谱满足幻仳=(M™s)2/2.
为高效地求解湍流场中的大尺度运动，对纳维-斯托克斯方程做滤波，从而得到大涡模拟方程.滤波器定义为/⑷=J^/O O G C^a^z O c L c'，其中G是滤波算子，D是滤波范围，z(是滤波宽度，/代表滤波后的物理量.对于可压缩湍流，采用F a v r e滤波，定义为1.1传统的亚格子模型
可压缩揣流的动态S m a g o r i n s k y模型（D S M)基于涡黏假设，并考虑到了揣流能量从大尺度向小尺度的级串过程[6，1Q，69_™]，表达式如下[2M9]
Tu -• ¥了伙=-2C f z l2 |*S | (S-(12)
Tkk z=2C iz)2 |5|2(13)
Qj~-
vT d t c^2|5| d f
假山模型
P r j d x j P r j d x j
(14)其中C h C b C/P r r是模型系数.假设亚格子不封闭项在滤波宽度和测试滤波宽度保持尺度不变性，则C t C^C/P r r可以通过G e r m a n o公式动态求解[71]
麵，。=〈”〇5)
力 学学报2021年第53卷
C_(^jTj) PrT (t；T；\(16)
同理，亚格子热通量!^可以通过DMM模型写 成如下形式
其中
Uj =(pUipUj/p)-pUipUj/p
Mij =Pij ~&i j,a u = -2A2p|511?,
a= 2A2p\s\2,/3^221p
、k k
Tj =d T ^ ^2-lc l d T
d7j+A p\s\d7j
Kj = (p u J p T/p)-p u]p T I p.
i表述滤波宽度为4T表示滤波宽度2A
可压缩湍流的动态混合模型（DMM)由涡黏项 和尺度相似项构成[21_22，％721，基本形式如下
其中
r^m o d—C\h\jj +Cjhljj
=C l+ C2//2.U
h uj =-2A2|5| f e,7 -
(17)
(18)
h2,i j = UiUj - UjUj
H Uj = -2?；P
—77,77,
其中々表示滤波宽度为4zl
定义均方误差£mod{iLiJ z^m°d&其中
mod
Tu〇d- p t u m-T>J
假设模型系数保持尺度不变，同时最小化均方误差£mod，则模型系 数C i和Qz为
C, C2(M l) (LjjNjj)-{M k l N k l)(LjjMjj)
<；碼>〈心 >-〈A/，為〉2
(N l)(l,7M,7> -(M k,N k l)(L^Nij)
(19)
(20)
其中l^j 二-I T i i T j)'Mi』=H u j -p h Uj，Njj H2'i j-p h2，i j.
Qj = C q'hq'，j+C^hi^j
&j m〇d=C qiH qi.J+C q2H qiJ
盆角齿
(21)
P2)其中
-部丨对h‘,
87/,l q2'J
d f
u；T-u j
\j-^2p|^| H g2.j=P
模型系数c9，和c42为
(v f)(r2)-<r,v,>2
C q\
Cq!
〈Vf〉〈巧〉-〈T O2
(23)
(24)其中 b r)= Ww= Hqi，广辦1c n，j•
1.2人工神经网络混合模型(ANNMM)
人工神经网络混合模型（ANNMM)属于人工神 经网络显式代数模型.首先，将亚格子应力分解为 各向
异性和各向同性部分|491:t,7 = 4+ 4，其中 < =r,v-〜tw/3,<= 5〇t h/3.然后，rf;，&可以 通过梯度模型和Smagorinsky模型的线性组合来建 模，具体形式如下
Tkk = C\T l k k +C’2rlk
Qj =c f Q) +C^Q)
(25)
(26)
(27)其中
4
A2 duj duj
12 dxk dxk
^ij A2 d i i i dui
3 \2 dxk d x/c
rf/ = 2zl2|5|(5,7-<5/y5«/3)
A2 dui dui
2A215|5k k
T k k—\2d x k dxk‘k k
c f，c j，c丨，c f c f，c2e 是模型系数.
第丨期谢晨月等：基于人工神经网络的湍流大涡模拟方法5
通过训练3个人工神经网络（ANN)分别预测 <，<，込，不同A N N的输入与输出如表1所示，其 中，闷是滤波后的涡量大小j是滤波后的速度散度，是滤波后的速度梯度张量大小，是滤 波后的应变率张量大小，|5f/3;c,.|是滤波后的温度梯 度大小，速度梯度张量定义为A,7=油,
表1人工神经网络的输入集与输出集
Table 1Set of inputs and outputs for the ANNs
考虑到tan-sigm oid激活函数的输出范围为丨0,1]，在A N N的训练过程中，将输入层^丨矾
助板通过最小-最大值(min-max scaling)归一化到[0,1]范围内
& - min K N S}
Z x =—；---：~!-!-—!~~-(29)
m a x j z^J-m i n^N S j
便携式示波器
具体地，将输出物理量rfy+，41，rf/归一化为
A N N R a w inputs R a w outputs _ ^i j,〇~^m in m a x,0 A/,0- ，
•^-A min max,0
A N N1|w|,6,y j A i j A i j,^SijSij
其中
A N N2\(b\, 6,y j A i j A i j,^SijS i j T k k A N N3|w|,9, ^A i j A i j,y j S i j S i j,\dt!dx\Qj
131
^m inm ax.O= T[max—min 1 ‘
i=\j=\
ANNM M模型的人工神经网络的具体结构如 图1所示，包括：输入层、隐藏层、输入基函数层、输出层ANNMM模型通过优化人工神经网络不 同层的权重因子和偏置因子构建了滤波后物理量和 目标函数（亚格子应力和亚格子热通量）之间的非线 性关系.模型系数C f，C^，C K，C f，C f通过ANN1，ANN2和ANN3网络分别训练.人工神经网络在不 同层上的祌经元个数为M:20:20:2，其中M是输入 层的神经元个数，最后隐藏层输出模型系数G和C2.隐藏层的激活函数取为tan-sigmoid函数
1 —e_2a
°■⑷=1(28)
1 + e_2a 将7^，归一化为
Z〇
X〇-Xm i in m a x,0
2Xm in m a x,6>
其中
•^m in m ax,0 =[niaX{X q)—ITlin(X〇)]^2.将Q丨，2〗归一化为
其中
ZjX)
Xj,o^m in m a x,0
2Xm il m a x,0
ANN1，ANN2和ANN3网络的损失函数分另lj为
- ^D N s)卜、’ {(Tkk，ANN - Tkk，D N S))，以及〈幻=丨(G m/w v- 2/腸)73〉•损失函数通过反向 传播算法进行最小化[49].
■^m in m ax,o ~x〉: |m<ix—min/2
3 y=i
1.3可压缩各向同性湍流的大涡模拟
图丨A N N M M模型的人工神经网络结构
Fig. 1Schematic diagram of the ANNMM's network structure
在可压缩各向同性湍流中验证各个亚格子模 型.得到了可压缩各向同性湍流的直接数值模拟数据，具体的参数和统计量如表2所示.湍流马赫 数M在0.4〜1.0的范围内，泰勒雷诺数細约为250|63-66丨.网格分辨率满足条件：0.98 < W心:< 1.〇3，其中如是直接数值模拟的网格宽度，同时2.61 < 灸max/? < 3.3 (最大有效波数A max等于单个方向上的 网格数的一半).网格分辨率f c max/7> 2.61能够保 证湍流小尺度物理量的统计收敛性[61】.速度散度和涡量的均方根分别定义为0"™ = v^y，w fm s= ^(co^+oj I+ c I).
采用紧致差分格式和加权基本无
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