1．层流和湍流
粘性流体的运动存在着两种完全不同的流动状态：层流状态和湍流状态。雷诺首先于1883年通过做圆管内流动实验观察到层流与湍流现象。当圆管中流动速度较小时，管中的流线之间层次分明，互不掺混，这样的流动称为层流。当流速增大后，流体作复杂、无规律、 随机的不定常运动，称为湍流。流动状态与雷诺数e R 、下临界雷诺数ec R 和上临界雷诺数ec
R '有关。当e ec R R ≤时，流动为层流；当ec e ec R R R '≤≤时，流动为不稳定过渡状态；当e ec
R R '>时，流动为湍流。
湍流是在连续介质范畴内流体的不规则运动，它有别于物质分子的不规则运动。具体来说，在极不规则的湍流中，流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分子热运动的相应尺度。因此湍流运动产生的质量和能量的输运将远远大于分子热运动产生的宏观输运。 2．湍流的平均化、雷诺粘性应力
经典的湍流理论认为，湍流是一种完全不规则的随机运动，湍流场中的物理量在时间和空间上呈随机分布，不同的瞬时有不同的值，关注某个瞬时的值是没有意义的。因此，雷诺首创用统计平均方法来描述湍流的随机运动，即对各瞬时量进行平均得到有意义的平均值。
从N-S 方程出发，利用平均化运算的法则推导平均物理量满足的方程组。只考虑不可压缩流体情形，假设体力可以忽略，此时，N-S 方程具有下列形式 1110
u u u u p u v w u t x y z x v v v v p u v w v t x y z y w w w w p u v w w t x y z z u v w x y z υρυρυρ∂∂∂∂∂⎧+++=-+∆⎪∂∂∂∂∂⎪
∂∂∂∂∂⎪+++=-+∆⎪∂∂∂∂∂⎪
⎨
∂∂∂∂∂⎪+++=-+∆⎪∂∂∂∂∂⎪
∂∂∂⎪++=⎪∂∂∂⎩
(1) 运用(1)式中的连续性方程，运动方程可改写为
222
1110u u uv uw p
u t x y z x v uv v vw p
v t x y
z y w uw vw w p w t x y z z u v w x y z υρυρυρ⎧∂∂∂∂∂+++=-+∆⎪∂∂∂∂∂⎪
⎪∂∂∂∂∂+++=-+∆⎪
∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪+++=-+∆⎪∂∂∂∂∂⎪
灭火∂∂∂⎪++=⎪∂∂∂⎩
(2) 对方程组(2)中各式两边进行平均化运算，并利用平均化运算法则得到
____
22
____
22____
22
1110
u u uv uw u u v u w p u
t x y z x y z x v uv v vw u v v v w p v t x y z x y z y w uw vw w u w v w w p w t x y z x y z z u v w x y z υρυρυρ⎧'''''∂∂∂∂∂∂∂∂++++++=-+∆∂∂∂∂∂∂∂∂'''''∂∂∂∂∂∂∂∂++++++=-+∆∂∂∂∂∂∂∂∂'''''∂∂∂∂∂∂∂∂++++++=-+∆∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
(3) 考虑到方程组(3)的第四式，方程组(3)中的头三个方程可改写成另一种形式，把脉动项
移到右边，得到
()()()()____
2____8导
2u u v u w u u u u p u v w u t x y z x x y z v u v v w v v v v p u
v w v t x y z y x y z w w w w p u v w w t
x y z z ρρρρμρρρρμρρμ⎛⎫'∂- ⎪
''''∂-∂-⎛⎫∂∂∂∂∂⎝⎭+++=-+∆+++
⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫'∂- ⎪''''∂-∂-⎛⎫∂∂∂∂∂⎝⎭+++=-+∆+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭'∂-⎛⎫∂∂∂∂∂+++=-+∆+
⎪∂∂∂∂∂⎝⎭()()____
20
w u w v w x y z u v w x y z ρρ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪'∂- ⎪
⎪'''∂-⎝⎭++⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪++=∂∂∂⎪⎩
(4)
将上式和应力形式的运动方程对比
d div dt
ρ
=V
P 其中P 是应力张量，则有
2p μ'=-++P I S P
其中I 是单位张量。S 是平均运动变形速度张量，'P 是对称的二阶张量，它的表达式如下
___________2
___________2
___________2xx xy xz
yx yy
yz zx zy
zz
u u v u w u v v v w u w v w w ρρρττττττρρρτττρρρ⎡⎤'''''---⎢⎥'''⎡⎤⎢⎥⎢⎥'''''''''⎢⎥==---⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎣⎦'''''---⎢⎥⎣⎦
P (5) 由(5)式得到在湍流运动中除了平均运动的粘性应力外，还多了一项由于脉动所引起的
应力，称为雷诺粘性应力。平均流动元所满足的方程(4)称为雷诺方程。上述雷诺方程是不封闭的，方程个数只有4个，而未知函数有10个，即V 、p 及六个雷诺粘性应力分量。为了使方程组封闭，必须在雷诺应力即平均速度之间建立补充关系式。 3．湍流模型
所谓湍流模型理论，就是根据理论和经验，对雷诺平均运动方程和雷诺应力项建立表达
式或方程，然后对雷诺应力方程的某些项提出尽可能合理的模型和假设，使方程组封闭求解的理论。
3.1 零方程模型
所谓零方程模型，就是在雷诺方程和连续方程以外，不需要另外再加任何方程式来使方程组封闭。即雷诺粘性应力能直接用某些物理量和物理常数表达出来，没有引进高阶微分方程，又称代数模型。
(1) Boussinesq 涡粘性系数法
一般的方法利用Boussinesq 假设把雷诺压力和平均速度梯度联系起来：
_____
23j i i i j t t ij j i i u u u u u k x x x ρμρμδ⎛⎫∂⎛⎫
∂∂''-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎝⎭ (6) (2) Cebeci-Smith 模型
该模型通常写成涡粘性系数形式，在内层有
2
2()1exp()()m D y U y l y εκ⎡⎤∂=--⎢⎥∂⎣
⎦ (7) 式中D l 是衰减长度系数，当壁面不存在质量引射时为常数。在外层有
*0.0168m U εδγ= (8)
式中*
δ为边界层位移厚度，U 是外部自由流速度，γ为间隙因子。
3.2 一方程模型无人机首推北京天宇创通
(1) The Spalart-Allmaras 模型
Spalart-Allmaras 模型的变量中v 是湍流动粘滞率除了近壁区域，方程是：
221()()()(
)i v b v v i v
j j j v v v vu G v C Y S t x x x x ρρμρρσ⎧⎫⎡⎤∂∂∂
∂∂⎪⎪
+=+++-+⎢⎥⎨⎬∂∂∂∂∂⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
(9) 这里v G 是湍流粘度生成的，v Y 是被湍流粘度消去，发生在近壁区域。
对于解决动力漩涡粘性，S-A 模型是相对简单的方程，不必要去计算和剪应力层厚度相
关的长度尺度。
(2) 简化的二方程模型
由于ε方程难模化和精度低，可以在保留k 方程的基础上舍弃ε方程，将ε表示为
3/2k l
ε= (9)
式中，l 可视为混合长度，必须根据具体流场情况另外给出。 c 二方程模型
(1) 标准k ε-模型
标准k ε-模型是个半经验公式，主要是基于湍流动能和扩散率。k 方程是个精确方程，ε方程是个由经验公式导出的方程。
湍流动能方程k 方程为
()()()t i k b M k i j
k j k k ku G G Y S t x x x μρρμρεσ⎡⎤
∂∂∂∂+=+++--+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦
(10)
扩散方程ε方程为
2
132()()()()t i k b i j
j u C G C G C S t x x x k k εεεεεμεεερερεμρσ⎡⎤∂∂∂
∂+=+++-+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦43cao
(11)
方程中k G 表示由层流速度梯度而产生的湍流动能，b G 是由浮力产生的湍流动能，M Y 由于在可压缩湍流中，过渡的扩散产生的波动。 (2) 标准k ω-模型
标准k ω-模型是一种经验模型，是基于湍流能量方程和扩散速率方程。
()()i k k k k i j
j k k ku G Y S t x x x ρρ⎛⎫∂∂∂∂+=Γ+-+ ⎪ ⎪
∂∂∂∂⎝
⎭ (12) ()()i i j j u G Y S t x x x ωωωωωρωρω⎛⎫∂∂∂∂+=Γ+-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
(13) 在方程中，k G 是由层流速度梯度而产生的湍流动能。G ω是由ω方程产生的，k Γ和ωΓ表明了k 和ω的扩散率。k Y 和Y ω由于扩散产生的湍流。
4．雷诺应力模式
雷诺应力模式简称为RSM ，由于雷诺平均运动方程所包含的雷诺应力为一未知项，所以最直接的办法是建立雷诺应力_____
i j v v ''的方程。 (1) 雷诺应力方程和湍流动能方程
得到_____
i j v v ''的方程步骤为：把N-S 方程化成
()i j D v v Dt
的形式，将瞬时速度表示成平均速
度与脉动速度之和，即i i i v v v '=+、j j j v v v '=+，将其代入
()i j D v v Dt
形式方程，减去
()i j D v v Dt
平均运动的形式
_____
()i j D v v Dt
，最终得到雷诺应力_____
i j v v ''方程为
_____
_____
_____
_______________
_____________________()i j i j i j k
k
j i j i jk ik i j k k k j i i k j k k k D v v v v v v v Dt
t
x v p v v v p v v v x x v v v v v v x x δδυρρ''''''∂∂=
+∂∂⎛⎫
⎪''''∂∂''∂∂'''=-++- ⎪
∂∂ ⎪ ⎪
⎝
⎭∂∂''''-+∂∂144444244444314243湍流扩散项分子扩散项_____________________
__
______
2j j i i k k j i v v v v p x x x x υρ⎛⎫⎛⎫''∂∂'''∂∂ ⎪ ⎪-++
⎪ ⎪∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭142431444244431442443耗散项
压力变形项
产生项
(14)
在模式理论中要用到湍动能___
2/2i
k v '=，在式(14)中令i=j 得到
_____
_______
_____
_____
_____
11
222j j
i i j k i ij i k ij ij ij j
Dk k k
v Dt t x v p v v v v s v v s s s x υυρ∂∂=+∂∂⎛⎫∂
'''''''''''=-
∂+---
⎪∂⎝⎭
(15)
这就是湍动能方程。
(2) 经模化后的雷诺应力方程和湍动能方程
在雷诺应力方程(14)和湍动能方程(15)中存在未知项，如_______i j k张刚宁
v v v '''、_____
i v p ''等，因此，需要建立这些未知量的表达式，这一过程称为湍流模式建立的过程。最终经模化后的雷诺应力方
程和湍动能方程为：
_____
__________
2
_____122
32233i j i j i j k ij ij l l l i j ij ij ij k D v v v v v v k C Dt x x x C v v k C k υδεεεδδ⎛⎫''''''∂∂∂ ⎪=++- ⎪∂∂∂ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫''---- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
高压智能环网柜P P P (16) 2k k l l l Dk k k k C Dt x x x υεε⎛⎫∂∂∂=++- ⎪∂∂∂⎝⎭
P (17) 其中
__
___________________,j
i i ij i k j k k i l k k l v v v v v v v v v x x x ⎛⎫'∂''∂∂ ⎪''''''=-+=- ⎪∂∂∂ ⎪⎝⎭
P P (18) 式中经验常数120.09~0.11, 1.5~2.2,0.4~0.5k C C C ===。
以上方程中出项的湍流耗散率ε仍是未知项，建立ε方程，进行模化得到
__
2
2
_____
12i i l l l l l v D k C C v v C Dt x x x k x k
εεεεεεεευε⎛⎫'∂∂∂∂''=+-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (19) 式中经验常数120.07~0.09, 1.41~1.45, 1.9~1.92C C C εεε===。
联立封闭微分方程组，这就是雷诺应力封闭模式。
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