谭援强1*杨冬民1冯剑军1Y. Sheng2
1 湘潭大学机械工程学院，湖南湘潭，411105
2 School of Civil Engineering, University of Leeds, Leeds, UK
email: tanyq@xtu.edu
摘要：基于离散元法，建立了采用大量颗粒模拟陶瓷块体材料的键连接颗粒模型（BPM），以SiC为例，给出了校准描述该模型力学性能参数的过程和陶瓷材料精密加工的模拟方法。所介绍的方法可指导建立新型硬脆材料超精密加工工艺。 关键词：陶瓷材料，精密加工，离散元，模拟
1.引言
陶瓷材料具有高硬度、高耐磨损、抗腐蚀、耐热特性、高刚度重量比、低密度和极强的化学惰性等诸多优点，被广泛应用于精密轴承、汽车零部件、仿生兼容植入体、密封元件、陶瓷发动机、切削刀具和光
电元器件。由于陶瓷材料的高硬度和高脆性，被加工陶瓷元件大多会产生各种类型的表面/亚表面损伤，如表面裂纹等，影响陶瓷元器件的尺寸精度和表面完整性，也是阻碍其广泛应用的瓶颈。
目前，研究陶瓷材料传统精密加工中材料去除机理的模型主要有“压痕断裂模型” 、“延展性状态磨削模型”[1-3]；和 “粉末化去除机理”[4]。文献[5]提出了“磨屑形成模型”，其分析结果表明，根据磨屑的厚度，单个磨粒的受力和与此相关的磨粒的半径，磨粒——工件间的相互作用可能有利于塑性变形，也可能有利于脆性断裂。研究人员以此为基础，确定了陶瓷精密加工的控制机理和关键控制变量，并用于指导陶瓷材料精密成形工艺。但其加工过程，特别是裂纹扩展尚缺乏充分研究。
借助压痕断裂力学基本理论，文献[6]分析了陶瓷材料的磨削过程。 朱其芳等用有限元法计算了陶瓷材料表面半椭圆裂纹的应力强度因子[7]。由于加工的动态性和裂纹扩展的不可观测性，单一的理论计算不能很好的反应实际加工过程，计算机仿真和模拟成为一种新的研究手段。近年来利用分子动力学（Molecular Dynamics）分析材料加工过程和表面形成机理取得了一定进展[8-9]，但存在以下几个问题：1）模拟原子数规模不能全面反映被模拟过程的物理现象；2）模拟的材料为理想无缺陷单晶材料；3）受势函数选择的限制，模拟的材料种类较少，特别是对陶瓷材料的模拟；4）由微观模型向介观模型（亚微米/微米）的过渡有待研究人员新的努力。
目前，国外已有不少学者将颗粒离散元法应用于评价岩石的力学性能和模拟岩石的开挖及切割[10-11]，地址标准化
国内的刘凯欣[12]用颗粒离散元模拟了脆性材料的动态破坏过程。但是国内目前还没有人将离散元法用于机械加工过程的模拟。陶瓷材料作为一种典型的脆性加工材料，与岩石存在一定的相似性，因此，将离散元法应用于陶瓷材料的机械加工将是一种有益的尝试。
2.陶瓷材料微观结构离散化特点
陶瓷材料一般为多晶体，其显微结构包括相分布、晶粒尺寸和形状、气孔大小和分布、
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杂质缺陷和晶界等。晶相是陶瓷材料的主要组成相，决定着陶瓷的物理化学特性。气相和气孔是陶瓷材料在制备过程中不可避免留下的。晶粒尺寸和气孔尺寸是描述陶瓷材料显微结构的两个重要的特征参数，材料中固有裂纹的尺寸与这两个显微结构特征参数之间有着极为密切的联系。对于完全致密或者气孔尺寸远小于晶粒尺寸的陶瓷材料，其固有裂纹的尺寸一般说来与最大晶粒的尺寸相当；并且，几乎所有的陶瓷多晶体的断裂表面能都随晶粒尺寸而变化。因此晶粒的大小和气孔率直接影响到陶瓷材料力学性能（如弹性模量、强度等）。陶瓷材料烧结过程（如图1所示）就是为了使坯体中晶粒配位形状发生变化，以减小粉末压实体的尺寸并排除气孔，获得一定的物理和力学性能，以满足使用要求。由图1可以看出，陶瓷烧结其实质就是一个将晶粒不断连接、粗化的过程。因此可将陶瓷材料在显微结构上离散成一个个连接在一起的颗粒，那么裂纹的扩展过程就可以看成是颗粒脱离连接的过程，
这恰恰与离散单元法中颗粒离散元法的思想十分相似，因此可用颗粒离散元法来分析陶瓷加工过程
及裂纹的扩展机理。
图1 陶瓷材料不同烧结阶段晶粒的排列过程
3.离散元法及BMP 模型
20世纪70年代由Cundall首先提出的离散元法[13]，主要应用于分析非连续介质的复杂力学行为。它的基本思想是把研究对象分离为刚性元素的集合，使每个元素的运动满足牛顿第二定律，用显式中心差分格式求解各元素的运动方程，再得到研究对象的整体运动形态。
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i i N ij i i e j r m F t =∂=+∂∑r u r u r F （1） 221i i N ij ij i i e j J q F t θ=∂=×+∂∑r r u r u u r K （2） 式中、J 为元素的质量和转动惯量，r i m i i i u r 、i θr 分别为元素i 中心的位置和角矢量，F 为
元素的邻居ij u r i j 对它的作用力，q 为该作用力到元素i 的中心的力臂，F ij r i e u r u u r 、K 分别为i 元素所受的外力和外力矩，是元素的邻居数目，为模型中元素的总数目。
i e i N i N 在材料的离散化方面，离散元法的离散思想与有限元法有着相似之处：将所研究的区域划分成各种单元，并通过节点建立单元间的联系。离散单元本身一般为刚体，单元间的相对位移等变形行为一般由连结于节点间的变形元件来实现。变形元件主要有弹簧、阻尼、摩擦元件等物理性质不同的连接形式，各种性质的基本元件的不同形式的组合可以描述各种不同材料的本构关系。离散元法的元素从几何形状上可分为块体元和颗粒元两大类。
基于离散元法的键连接颗粒模型（bonded-particle model，BPM）[14]通过两个或者多个
颗粒与其直接相邻的颗粒连接形成任意形状的组合体来模拟块体材料。在BPM模型中，块体被 - 2 -
离散为一个个以一定形式连接在一起的颗粒。颗粒之间的连接形式可分为接触键连接模型（contact bond model）和平行键连接模型（parallel bond model）。接触键连接假想颗粒之间通过一无限小的接合剂粘合在一起，因此它只作用在两颗粒的接触点上，用来传递颗粒之间的相互作用力。平行键连接假想在两个接触颗粒之间存在一有限大小的接合剂（如图2所示），它既能在两颗粒之间传递力又能传递力矩。当颗粒被看作是球体时，平行键为一圆柱体，当颗粒被看作是有厚度t的圆柱体时，平行键为一长方体。通过设置连接键和颗粒的大小及强度可以描述不同种类块体材料的本构关系。BPM模型中，颗粒具有一定体积和刚度，颗粒之间的相互作用通过连接键来实现；连接键具有一定的刚度，它既能承受载荷也能破坏；两个颗粒之间只存在一个连接键；颗粒的运动与连接键的力和力矩之间的联系由牛顿第二定律支配，并用来描述模型的力学行为；颗粒与颗粒在连接处的相互作用力由力—位移定律来不断更新。
本文主要讨论平行键连接模型。平行键模型中总的力和力矩包括两部分：由于颗粒的重叠引起的作用力及平行键所承受的力和力矩。颗粒部分的作用力由颗粒的法向刚度、切向刚度及颗粒之间的摩擦系数通过力—位移关系来描述。平行键可以想象成是一系列均匀分布在结合剂横截面上的弹簧，那么平行键所承受的力和力矩可由键的拉伸强度、剪切强度、单位面积的法向刚度、单位面积的切向刚度及键的大小来描述。当平行键生成时，其所承受的力和力矩均为零；当所承受的最大拉伸应力超过拉伸强度或者最大剪应力超过剪切强度时，平行键发生破坏，并伴随其相应的力、力矩和刚度等从模型中
移除。BPM模型同样存在着颗粒与颗粒之间的连接及空隙，这与陶瓷材料、岩石等脆性材料的显微结构极为相似。当颗粒所受载荷超过连接键的强度时，平行键发生破坏，颗粒脱离接触。因此，块体（岩石、陶瓷等）的断裂破坏的过程可以简化为颗粒之间连接键断裂的过程（如图3所示）。
bbi-142
图2 平行键模型图3 连接键的断裂
4.陶瓷材料力学性能的离散元模型
采用离散元法模拟陶瓷材料的精密加工过程，需先获得陶瓷材料主要力学性质（如弹性模量、泊松比、抗压强度、弯曲强度、断裂韧性等）所对应的离散元模型中的参数值，建立与实际材料相匹配的
离散元模型。本文的离散元计算采用PFC2D V3.1软件。
4.1 BPM模型的建立
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1）初始颗粒集合的紧密化：颗粒（particle）在一个由四个无摩擦的墙（wall）所围成的矩形区域中随机生成再重排避免重叠，颗粒的大小服从正态分布，为保证墙的变形及颗粒—墙重叠区域尽量小，墙的法向刚度设置成比颗粒的刚度大。可以通过设置空隙率（porosity ratio）来达到不同的紧密程度。
2）产生各向同性应力：通过均匀的改变球的半径达到指定的应力值（通常应比材料的强度小很多），来减少内应力（locked-in stress）。
3）减少“浮动”颗粒数目：减少接触数小于3的球的个数，以获得更紧密的连接键模型。
4）加入平行键：在所有颗粒与颗粒接触处，加入平行键。
5）静态平衡：删除墙，并松弛至静态平衡。
图4描述了整个模型的建立过程。由图可以发现，BPM模型与陶瓷材料的微观结构十分相似，BPM模
型的颗粒和间隙对应于陶瓷微观结构中的晶粒及气孔。由于陶瓷材料加工过程中产生的裂纹有沿晶裂纹和穿晶裂纹两种，但在BPM模型中，颗粒是刚性的、不可破裂的，裂纹只能在颗粒与颗粒接触处产生。因此，BPM模型只能描述沿晶裂纹的扩展情况。
（a）（b）
（c）(d)
图4 BPM生成过程图：(a)颗粒随机生成；(b)颗粒重排并产生各向同性应力后，颗粒之间的接触力分布；
(c)“浮动”颗粒（以黑实心表示）；(d) 加入平行键，并删除墙
4.2 BPM模型的校准
对于连续理论模型，其所需输入参数可直接从实验中获得。而对于BPM模型，其力学
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电热丝打火机
行为通过微观的离散颗粒之间的相互作用及平行键来实现，这些微观的参数通常是未知的。因此，BPM 模型建立的关键在于将模型中的微观参数与实验所得到的力学参数相联系起来，针对不同的材料，确定不同的微观参数。由于模型中颗粒是随机生成的，颗粒的大小有时是任意的，因此需通过不同的试验对所建立的模型不断进行校准，如断裂韧性理论模型、单轴或双轴压缩试验、巴西劈裂试验、三点弯曲试验等，当离散元试验的结果与实际实验结果相近时，模型才是合理的。对于陶瓷材料，其主要的力学性能有弹性模量、泊松比、断裂韧性、抗压强度、拉伸强度、弯曲强度等。
4.2.1断裂韧性
由于陶瓷材料的拉伸强度比剪切强度低，加工过程中拉伸破坏往往导致在工件表面残留I 型微裂纹，一般可分为径向裂纹和侧向裂纹。因此材料的断裂韧性K IC 直接影响到加工过程后材料的表面质量。D.O.Potyondy与P.A.Cundall
[14]将离散元模型中的参数与线弹性断裂力学联系起来：
'Ic t K βσ= （3）
其中，α、β为无量纲系数，'t σ为平行键单位拉伸强度，R为颗粒的平均半径。
方程(3)指出模型的K IC 与模型中颗粒的大小及平行键的拉伸强度有关。陶瓷材料的断裂表面能与晶粒大小有关从一定程度也映证了该方程的合理性。't σ可以通过压缩试验来得到，但为了得到匹配的K IC ，颗粒的半径不能随意确定，所以须将压缩试验与式（3）结合起来。由于BPM模型的断裂韧性与颗粒的大小有关，颗粒尺寸不能随意选定。计算经验表明，陶瓷材料离散元颗粒的大小在数微米左右，与陶瓷材料的晶粒大小相当。
4.2.2线弹性力学参数
如图5为单轴压缩试验模型，试件在上、下墙的缓慢加载下发生破坏，得到模型的弹性模量E、泊松比ν、单轴压缩强度UCS（unconfined compressive strength）、断裂平面位置及压缩应力-应变曲线；通过巴西劈裂试验可获得陶瓷材料离散元模型的巴西式拉伸强度，图6为巴西圆盘劈裂试验的离散元模型，圆盘在左、右墙的作用下直至破坏；应用三点弯曲试验获得陶瓷材料离散元模型的抗弯强度，如图7所示，通过给一个圆型的墙一恒定的速度来加载，记录墙所受到的垂直方向的力，当试件断裂的完全断裂时，墙所受到的最大的力F，根据下式(4)得到模型的弯曲强度。表1为SiC 陶瓷的离散元模拟所得力学参数与实验参数对照表。硅胶表面电晕处理
32
32b FL bh σ=
(4) - 5 -
图5 单轴压缩试验 图6 巴西劈裂试验
图7 三点弯曲试验 图8 切削模型图
表1 SiC陶瓷材料宏观力学特性参数与离散元模型参数的比较
力学参数 SiC陶瓷（常压烧结，气孔率2%） 校准后离散元模型参数
弹性模量E(GPa) 430 429
泊松比 υ 0.14 0.14
抗压强度 σc(MPa) 2000 1996
抗弯强度 σb3(MPa) 589 656
叶轮设计
断裂韧性 K IC(MPa) 3.5 3.5
巴西式拉伸强度 σt(MPa) 214 387
4.3 陶瓷材料的加工过程的离散元模拟
陶瓷材料的断裂过程基本上是一个脆性的过程。在陶瓷材料加工过程中，往往会由于刀具的作用而在加工后的表面产生凹凸及裂纹等表面缺陷，给材料施加应力，裂纹尖端发生应力集中，使材料的破坏强度大幅度降低。即使在材料的去除单位很小，材料发生塑性变形的情况下，加工表面会产生塑性变形层，并有残余应力作用在其中，从而使陶瓷材料特性降低。因此，研究陶瓷材料加工时裂纹的扩展，有助于揭示加工机理，从而提高陶瓷材料的加工质量，满足应用的需要。
焊锡线建立了陶瓷材料的BPM模型之后，就可以对其进行加工过程的模拟。陶瓷材料在加工过程中，表面所产生的裂纹可分为径向裂纹和侧向裂纹两大类。本文采用的计算软件[15]只能描述二维的平面问题，因此只能模拟径向裂纹的扩展情况。如图8为一陶瓷材料切削过程的离散元模型。试件模型被放在一个由三个固定的墙所围成的槽内，试件与墙之间无摩擦力。刀具简化为一个可移动的墙，其刚度远大于颗粒的刚度，以避免刀具的变形；通过改变刀具的前角、切削速度、切削深度可以观测到模型中切削力的变化、裂纹的扩展情况及加工后表面状态如图9~10。
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