益多项式⽅程
采集重构在之前的滤波器教程中，我们研究了简单的⼀阶型低通和⾼通滤波器，它们的RC滤波器电路设计中只包含⼀个电阻器和⼀个⽆功元件(电容器)。
在使⽤滤波器对信号的频谱进⾏整形的应⽤中，例如在通信或控制系统中，滚降的形状或宽度也称为“过渡带”，对于简单的⼀阶滤波器，可能是太长或太宽，因此需要设计有多个“订单”的有源滤波器。这些类型的过滤器通常称为“⾼阶”或“n th -order”过滤器。
复杂性或过滤器类型由过滤器“order”定义，这取决于其设计中的电容器或电感器等⽆功元件的数量。我们还知道，滚降率和过渡带的宽度取决于滤波器的阶数和简单的⼀阶滤波器，它具有20dB / decade或6dB的标准滚降率。 /octave.
然后，对于具有n th 数字顺序的滤波器，它将具有20n dB / decade或6n dB / octave的后续滚降率。因此，⼀阶滤波器的滚降率为
20dB / decade(6dB /倍频程)，⼆阶滤波器的滚降率为40dB / decade(12dB /倍频程)，四阶滤波器具有滚降率为80dB /
decade(24dB / octave)等等。
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⾼阶滤波器，例如三阶，四阶和五阶通常是通过单个级联在⼀起形成的 -
例如，两个⼆阶低通滤波器可以级联在⼀起，产⽣⼀个四阶低通滤波器，依此类推。尽管可以形成的滤波器的顺序没有限制，但随着顺序的增加，其尺⼨和成本也会增加，其精度也会下降。
⼗年和⼋度
⼀个关于⼗年和 Octaves 的最终评论。在频率范围内，⼗年是⼗倍增加(乘以10)或⼗倍减少(除以10)。例如，2到20Hz代表⼗年，⽽50到5000Hz代表⼆⼗年(50到500Hz，然后是500到5000Hz)。
Octave是倍增(乘以2)或将频率刻度减半(除以2)。例如，10到20Hz代表⼀个倍频程，⽽2到16Hz是三个倍频程(2到4,4到8，最后是8到16Hz)，每次倍频。⽆论哪种⽅式，对数标度在频域中⼴泛⽤于表⽰使⽤放⼤器和滤波器时的频率值，因此了解它们⾮常重要。
对数频率标度
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由于频率确定电阻器全部相等，并且频率确定电容器，截⽌或⾓落也是如此第⼀，第⼆，第三或甚⾄四阶滤波器的频率(ƒ C )也必须相等，并使⽤我们现在熟悉的等式到： / p> 与⼀阶和⼆阶滤波器⼀样，三阶和四阶⾼通滤波器由简单地在等效低通滤波器中交换频率确定部件(电阻器和电容器)的位置。可以按照我们之前在低通滤波器和⾼通滤波器教程中看到的步骤设计⾼阶滤波器。但是，⾼阶滤波器的总增益是固定的因为所有频率确定分量都相等。
滤波器近似值
到⽬前为⽌，我们已经看过了低通和⾼通⼀阶滤波器电路，它们产⽣的频率和相位响应。⼀个理想的滤波器将为我们提供最⼤通带增益和平坦度的规范，最⼩阻带衰减以及阻⽌频带滚降(转换频带)的⾮常陡峭的通带，因此显然会有⼤量的⽹络响应满⾜这些要求。
毫不奇怪，线性模拟滤波器设计中有许多“近似函数”，它们使⽤数学⽅法来最好地逼近滤波器设计所需的传递函数。
这种设计被称为Elliptical，Butterworth，Chebyshev，Bessel，Cauer以及许多其他⼈。在这五个“经典”线性模拟滤波器近似函数中，只有Butterworth滤波器，尤其是低通巴特沃斯滤波器设计在这⾥被认为是最常⽤的函数。 / p>
低通巴特沃斯滤波器设计
巴特沃斯滤波器近似函数的频率响应通常也被称为“最⼤平坦”(⽆波纹)响应，因为通带设计为具有频率响应，该频率响应在数学上可以从0Hz(DC)变为平坦，直到-3dB的截⽌频率没有纹波。超过截⽌点的较⾼频率在阻带中以20dB / decade或6dB /倍频程下降⾄零。这是因为它具有“质量因⼦”，“Q”仅为0.707。 然⽽，Butterworth滤波器的⼀个主要缺点是它以宽带过渡带为代价实现了这种通带平坦度。当滤波器从通带变为阻带时。它的相位特性也很差。对于不同的滤波器阶数，理想的频率响应(称为“砖墙”滤波器)和标准巴特沃斯近似值如下所⽰。
巴特沃斯滤波器的理想频率响应
请注意，巴特沃斯滤波器阶数越⾼，滤波器设计中的级联级数越⾼，滤波器越接近理想的“砖墙”然⽽，在实践中，Butterworth的理想频率响应是⽆法实现的，因为它会产⽣过多的通带纹波。
其中⼴义⽅程表⽰“nth”订购Butterworth滤波器，频率响应如下：
其中： n 表⽰滤波器顺序，Omega ω等于2πƒ，Epsilon ε是最⼤通带增益(A max )。如果A max 的定义频率等于截⽌-3dB⾓点(ƒc)，则ε将等于1，因此ε 2 也将是⼀个。但是，如果您现在希望将A max 定
义为不同的电压增益值，例如1dB或1.1220(1dB = 20 * logA max )则新值epsilon，ε可通过以下⽅式到：
转换等式给出：
过滤器的频率响应可以通过传递函数标准电压传递函数 H(jω)写为：
注意：(jω)也可以写成(s)来表⽰S域。和结果传递函数⼀秒钟 - 阶低通滤波器如下：办公桌隔断
归⼀化低通巴特沃斯滤波器多项式
帮助他的设计低通滤波器，Butterworth⽣成归⼀化⼆阶低通多项式的标准表，给出系数值对应于1弧度/秒的截⽌转⾓频率。
(1个+ S)(1 + 0.618s + S 2 )(1 + 1.618s + S 2 )
滤波器设计 - 巴特沃斯低通
查有源低通巴特沃斯滤波器的顺序其规格如下： A max = 0.5dB ，通带频率(ωp)为200弧度/秒(31.8Hz)，在800弧度/秒的阻带频率(ωs)处， A min = -20dB 。还要设计合适的巴特沃斯滤波器电路以满⾜这些要求。
⾸先，最⼤通带增益 A max = 0.5dB 等于增益1.0593，记住：0.5dB = 20 * log(A)，频率(ωp)为200 rads / s，因此epsilon ε的值可通过以下⽅式到：
其次，最⼩阻带增益A min = -20dB，等于增益(-20dB = 20 * log(A))在800 rads / s或127.3Hz的阻带频率(ωs)。
代替值为Butterworth滤波器频率响应的⼀般⽅程给出了以下内容：
⾃ n 必须始终为整数(整数)，然后下⼀个最⾼值为2.42 n = 3 ，因此需要“三阶滤波器”并且要产⽣三阶巴特沃兹滤波器，需要与⼀阶滤波器级级联的⼆阶滤波器级。
带通滤波器
从归⼀化低通Butte上⾯的rworth多项式表，三阶滤波器的系数给出为(1 + s)(1 + s + s 2 )，这给了我们⼀个增益 3-A = 1 ，或 A = 2。当 A = 1 +(Rf / R1)时，为反馈电阻 Rf 和电阻 R1 选择⼀个值会得到1kΩ和1kΩ分别为：(1kΩ/1kΩ)+ 1 = 2 。
我们知道截⽌⾓频率，-3dB点(ω o )可以使⽤公式 1 / CR 到，但我们需要到ω o 来⾃通带频率ω p 然后，
因此，截⽌转⾓频率为284 rads / s或45.2Hz，(284 /2π)并使⽤熟悉的公式 1 / CR 我们可以到三阶电路的电阻和电容值。
注意最接近的⾸选值为0.352 uF为0.36uF，或 360nF 。压水堆核电厂的运行
三阶巴特沃斯低通滤波器
最后我们的三阶低通电路巴特沃斯滤波器带有截⽌⾓啁啾为284 rads / s或45.2Hz，最⼤通带增益为0.5dB，最⼩阻带增益为20dB，构造如下：
因此我们的三阶巴特沃斯低通滤波器的转折频率为45.2Hz，C = 360nF且R =10kΩ
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