一类行列式的求导计算法

石定琴江新河

(九江学院理学院江西九江332005)

摘要：行列式的计算是线性代数中非常重要的问题，利用行列式的定义、性质和展开定理可以对行列式进行化简，从而算出它的值。还有一些行列式可用数学归纳法来计算，比如范德蒙行列式。范德蒙行列式在某些行列式的计算中起着非常重要的作用，缺了一行的范德蒙行列式可利用加边法来计算。该文给出了一类行列式，在范德蒙行列式的性质基础上，利用求导法和加边法，计算这类行列式。

关键词：行列式范德蒙行列式求导法加边法

中图分类号：O151.22文献标识码：A文章编号：1672-3791(2022)03(a)-0185-04 A Kind of Derivation Calculation Method of a Certain Determinant

SHI Dingqin JIANG Xinhe

(College of Science,Jiujiang University,Jiujiang,Jiangxi Province,332005China)

Abstract:Determinant calculation is a very important problem in linear algebra.By using the definition,properties and expansion theorem of determinant,the determinant can be simplified and calculated.There are some determi‐nants that can be calculated by mathematical induction,such as Vandermonde determinants.Vandermonde deter‐minant plays a very important role in the calculation of some determinants.The Vandermonde determinant without one line can be calculated by the edge method.This paper gives a kind of determinant.Based on the properties of Vandermonde determinant,this kind of determinant is calculated by using derivation method and bordered method. Key Words:Determinant;Vandermonde determinant;Derivation method;Bordered method

1预备知识

在数学与应用数学课程体系中，高等代数课程安排在大学的第一学期，学生学习了一学期的高等代数和数学分析之后，理论上学习高等代数应该不存在太大的问题，但从教学实践看，学生从一开始接触高等代数时，就感到比较困难，甚至比数学分析更难理解、掌握。

为什么学生认为高等代数比数学分析更困难？首先，数学分析涉及的极限、导数等知识学生在高中阶段已有一定的基础。而高等代数研讨线性方程组及高斯消元法等学生虽很熟悉，但高等代数中引入了一些较抽象的数学概念、数学符号，尤其是行列式、矩阵、向量等抽象概念都是中学阶段没有接触过

的，而且其中运算方式也与之前学过的运算很不相同；其次，学生在中学的数学学习中只重视解题能力，对数学概念及其相关背景基本不太理解。如何让学生适应高等代数课程的学习是很值得思考的问题。高等代数是建立在很多抽象概念基础之上的，这些抽象概念看似远离实际生

DOI：10.16661/jki.1672-3791.2109-5042-8441

基金项目：九江学院教学改革研究项目2020年课题（项目编号：XJJGYB-19-23）。

作者简介：石定琴（1980—），女，硕士，讲师，研究方向为半环。

185

活，但本质上是数学家将数学问题或实际问题抽象出来，经过思辨、逻辑演绎推理得到的自然产物。因此，在给出一个概念之前，应详细理清其问题背景、数学研究过程、数学思想方法及其实现的数学途径。比如：行列式的引入源于解方程组，数学家在研究二元线性方程组时发现，如果引入二阶行列式的概念，那么二元线性方程组就可以用二阶行列式给出公式解，此公式解可以避免用消元法，结论非常有意义。进一步，就会思考三元线性方程组是不是也可以用三元线性方程组来解，经过研究发现答案是肯定的。那么n元线性方程组呢？为了解决n元方程组的公式解问题，引入了n阶行列式的概念，

进一步给出了行列式的性质定理及计算方法，形成了一套完整的知识体系。这就是数学的思维方法的一个很好的展示。当然，行列式概念引入后，它的作用不只是解线性方程组，行列式理论在矩阵论、坐标变换、多重积分的变量替换、微分方程组、二次型等都有重要应用，现已是非常有用的数学工具。

行列式的计算[1]是线性代数中非常重要的问题，也是高等代数教学中的重点内容，一开始学生对于行列式的计算会感到害怕，主要是由于计算量很大容易出错，还有就是抽象行列式的计算如果方法不对就算不出来。根据多年的教学经验，在课堂上笔者会有意识地对行列式的类型进行分类，并针对不同类型行列式的主要计算技巧进行反复强调。也让学生课后进行整理，比如：对具体的数字矩阵通常利用行列式的定义和性质对行列式进行化简，化成上三角形行列式，从而算出它的值；或者利用行列式的按行（列）展开定理对行列式进行降阶，降到2阶行列式就可以算出它的值。对于抽象的行列式，往往根据不同类型的行列式，运算时采用相应的方法，会使计算相对简洁[2]。再比如：零元素很多的行列式可以直接用行列式的定义进行计算；对于行和相等的行列式可以采取各列加到第一列，再用第一行的相应倍数加到其余各行，把它化成上三角形，对列和相等的行列式完全可采用类似做法[3]。而三线形行列式则利用行列式的性质化成上三角形行列式；关于主对角线对称的行列式可利用逐行相加化成三线形行列式，再利用三线形行列式的计算方法算出其值[4]，还有一些行列式可用数学归纳法来计算，比如：范德蒙行列式，就是用数学归纳法得出它的值。而范德蒙行列式本身也是非常重要的行

列式，范德蒙行列式在某些行列式的计算中起着非常重要的作用[5]。对行列式的计算方法有意识地进行整理后，学生的收获就会不一样，同时针对一些存在的问题引导学上进行思考，就可以进一步锻炼学生的数学思维能力。比如：在讲范德蒙行列式时，对于缺了一行的范德蒙行列式，采用了加边法可以很方便地求出其值。可以进一步提出问题：如果是缺了两行的范德蒙行列式，又如何求其值呢？接下来将利用范德蒙行列式的性质结合求导法计算缺两行的范德蒙行列式。

定义1.1：行列式

|111

x n-1

则称为n阶范德蒙行列式，并且：

=∏1≤i<j≤n(x j-x i)

当且仅当x j=x i(1≤i<j≤n)时V n=0。

定义1.2：设有行列式函数

系泊系统

F(x)=

(x)f

(x)

(x)f

(x)

(x)f

(x)

|α1(x)

(x)

其中：

i(x

)=(f i1(x) f i2(x) f in(x)) i=1 2 n 则行列式函数的导数为：

F(x)=

|α'1(x)

(x)

|α1(x)

α'2(x)

(x)

+ +

应力传感器|

|α1(x)

(x)

α'n(x)

其中：

α'i(x)=(f'i1(x) f'i2(x) f'in(x)) i=1 2 n[6]

2行列式的求导计算法

利用范德蒙行列式的性质，对缺了一行的范德蒙行列式可以采用加边法，把它变成范德蒙行列式，从而算出其值。

例1：

186

D =||

||||||||||11a 2b 211c 2d 2a 3

b 3a

4b 4

c 3

d 3c 4

d 4解：将行列式D 加上一行一列，变成范德蒙行列式，记：

V =|

|||||||||||||||||||||||||1

11a b c a

2b 2c 211d x d 2x 2a 3b 3c 3a 4

b 4

c 4

d 3x 3d 4

x 4由范德蒙行列式的定义有：

V =(x -a )(x -b )(x -c )(x -d )(d -a )(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

而行列式D 就等于上式中x 的系数的相反数，其中x 的系数为：

-(abc +abd +acd +bcd )(d -a )(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

所以有：D =||

||||||||||1

1a 2b 211c 2d 2a 3

b 3a

4b 4

c 3

d 3c 4

d 4=(abc +abd +acd +bcd )(d -a )(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

文献[7]中给出了求导法计算缺了一行的范德蒙行列式，下面结合上述加边法和求导法，计算缺两行的范德蒙行列式，举例如下：

例2：求D =||

||||||||||1

3b 311c 3d 3a 4

b 4a

5b 5

c 4

d 4c 5

d 5解：令S (x )=||||||

|||

|||||e x

a 2e

x b 2

x a 2be x b 2e

x c 2

x d 2

ce x c 2de x d 2

a 2e x a 2

b 2e x b 2a 3e x a

2b 3e x b 2c 2e x c 2d 2e

x d 2

c 3e x c 2

d 3

e x d 2

=e x a 2

e x b 2

e x c 2e x

d 2

||||||||||11a b 11c d a 2b 2a 3b 3c 2d 2c 3d 3=e x a 2e x b 2e x c 2e x d 2

(d -a )(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

求导得：

S '(x )=(1a 2+1b 2+1c 2+1

2)e x a 2

e x b 2

e x c 2

e x

d 2

(d -a )

(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

又由行列式的求导法则有：S '(x )=|

||||||||||||||

|||||1a 2e x a 2

电泳整流器1b 2e x

x a

2be x b 21c 2e x

1d 2

e x d 2ce

x c 2

de x d 2a 2e x a 2

b 2e x b 2a 3e x a

b 3e x b 2

c 2e x c 2

d 2e

x d 2c 3e x c 2

d 3

e x d 2

+||||||||||||||||

||||||||||||||||||||||e x a 2

x b 2

1a e x a 2有起子

1b e x

b 2

x c 2e

x d 2

1c e x

c 2

1d e x d 2a 2e x a 2

b 2

e x b 2a 3e x a

b 3e x b 2

c 2

e x c 2d 2e x d 2c 3e x c 2

d 3

e x d 2

+||||||||||||||||||

||e x a 2e

x b 2ae x a 2

be x b 2e

c 2e x

d 2

ce x c 2

de x d 2e x a 2e

x b 2a 3e x a 2

b 3

e x b 2

x c 2

e x d 2c 3e x c 2

d 3

e x d 2+||

|||||||||||

网络大容量存储空间||||||

e x a 2e

x b 2

ae x a 2

x b 2e

x c 2e x d 2ce x c 2de x d 2a 2e x a 2

b 2

e x b 2

x a 2

x b 2c 2

e x c 2

d 2e

x d 2ce

x c 2

de x d 2

=1a 21b 21c 21d 2e x a 2

e x b 2

e x c 2

e x d 2

||||||||||11a 3

b 311

c 3

d 3a 4

b 4a

b 5

c 4

d 4c 5

d 5+1a 1b 1c 1d

e x a 2

e x b 2

e x c 2

x d 2|

|||||||||

|a b

11c d 11a 3b 3a 4

b 4

c 3

d 3c 4d 4=1a 21b 21c 21

2e x a 2

e x b 2

e x c 2

e x

d 2

D -1a 1b 1c 1d

e x a 2

e x b 2

e x c 2

x d 2

|||||||||

1a b 11c d a 3b 3a

4b 4

c 3

d 3c 4d 4187

=e x

a 2e x仿真海枣树

b 2e x

c 2e

x d 2

(

1a 21b 21c 21d

2D -1a 1b 1c 1

d D 1。其中D 1=|

|||

||||||

|11a b

11c d a 3b 3

a 4b

4c 3d 3c 4d 4是缺一行的范德蒙行

列式。

下面用加边法求D 1的值：给D 1加上一行一列使其成为一个范德蒙行列式，记为：

T =||

||||||||||||||||||||||||1

11a b c a 2

b 2

c 211

d x d 2x 2a 3b 3c 3a 4

b 4

c 4

d 3x 3d 4

x 4利用范德蒙行列式的定义可得：

T =(x -a )(x -b )(x -c )(x -d )(d -a )(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

而行列式D 1就等于上式中x 2的系数，其中x 2的系数为：

(ab +ac +ad +bc +bd +cd )(d -a )(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

所以有：D 1=|

|||||||||

|11

a b 11c d a 3b 3

a 4b

4c 3d 3c 4d 4=(ab +ac +ad +bc +bd +cd )(d -a )(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

从而有：

S '(x )=(1a 2+1b 2+1c 2+1

2)e x

a 2

e x

b 2

e x

c 2

e x

d 2

(d -a )

(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )=e x a 2

e x b 2

e x c 2

e x d 2

(

1a 21b 21c 21d

2D -1a 1b 1c 1

d D 1)

(1a 2+1b 2+1c 2+1

d 2

)(

d -a )(d -b )

(

d -c )

(c -a )(c -b )(b -a )

1a 21b 21c 21d

2D -1a 1b 1c 1d D

ÞD =abcdD 1+(abcd )2

1a 2+1b 2+1c 2+1d

2(d -a )(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )，

故：D =|

|||||||||||11a 3b 311c 3d 3a 4

b 4a

5b 5

c 4

d 4c 5

d 5=[abcd (ab +ac +ad +bc +bd +cd )+(abcd

)

(

1a 2+1b 2+1c 2+1

d 2

)](

d -a )

(d -b )(d -c )(c -a )(c -b )(b -a )

整个教学过程不仅体现和展示了数学研究的艰辛复杂，也能让学生体验了解决问题的乐趣。在解决实际问题过程中引入的新的数学工具、数学思想方法、数学理论、数学概念等，常常会成为数学研究新的研究领域的源头，开启新的数学研究。而且可提高学生的学习兴趣和探索热情，唯有如此学生才能对抽象的数学概念有较深刻的理解，形成较好的数学思维能力。

参考文献

[1]王建红.行列式的计算方法研究[J].黄山学院学报,2021,23(3):11-14.

[2]过美林.几类特殊矩阵的奇异值，行列式和广义逆[D].赣州：江西理工大学,2020.

[3]刘俊同，李龙.2类重要行列式的推广[J].高师理科学刊,2021,41(5):5-8.

[4]姜小夏，王海扬，田应信，等.浅析高阶行列式的几种计算方法[J].科技资讯,2021,19(1):225-227.

[5]刘海霞.广义Cauchy 行列式的计算与应用[D].大连：大连交通大学,2016.

[6]HUCHT A.The Square Lattice Ising Model on the Rectangle Ⅲ:Hankel and Toeplitz Determinants[J].Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical,2021,54(37):1-29.

[7]于荣娟，陈红红，杨海波.浅谈某类行列式的计算方法[J].内蒙古农业大学学报：自然科学版,2013,34(2):161-164.

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