赵青;冶继民;常芳丽
【摘 要】针对具有时间结构的盲分离问题,提出了一种基于两正定矩阵精确联合对角化的盲分离算法.利用多个不同时延统计量构造了两个正定矩阵,以提取出数据的时间结构;再利用所提算法联合对角化构造的两个正定矩阵,得到分离矩阵,进而估计出源信号.所提算法克服了已有算法因采用多个矩阵联合对角化导致的计算量大和采用单个矩阵导致的分离精度低的缺点.计算机仿真结果表明了在有或无噪声情况下,所提算法性能均优于其他对比算法.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2019(055)007
【总页数】6页(P214-219)
【关键词】盲源分离;联合对角化;奇异值分解
【作 者】赵青;冶继民;常芳丽
【作者单位】西安电子科技大学 数学与统计学院,西安 710126;西安电子科技大学 数学与统计学院,西安 710126;西安电子科技大学 数学与统计学院,西安 710126
【正文语种】中 文
【中图分类】TN911.7
1 引言
盲分离（BSS）是20世纪90年代在信号处理领域中出现的一个热点课题，且已在雷达信号处理、数据分析、生物医学图像处理和神经网络[1]等多个领域得到了广泛应用。BSS是指在源信号和混合过程未知的情况下，仅从观测到的混合信号中恢复出源信号的过程。由于在许多实际应用领域中，大部分具有概率特征的各种随机信号的发生均与时间有关。因此，基于源信号时间结构的盲分离问题就备受学者瞩目。近年来，矩阵的联合对角化算法[2-13]逐渐成为了基于时间结构盲信号分离的重要方法。例如有基于高阶累积量的JADE[9]算法、基于二阶统计量的SOBI算法[10]，以及文献[11]算法等等。前文述及的JADE和SOBI算法，它们都利用大量预白化数据时滞协方差矩阵的联合近似对角化来实现源信号的估计。
算法性能受矩阵数量的影响较大，且矩阵数量越多，运算越复杂。基于文献[11]的二阶盲辨识方法虽计算简便，但其采用预白化数据固定时延的协方差矩阵均衡化，不能很好地反应数据矩阵特征，因而分离精度不高。
为了克服JADE、SOBI算法中计算量大和文献[11]中算法分离精度低的问题，本文提出了基于多个不同时延统计量构造的两个正定矩阵的精确联合对角化算法。将本文所提算法与JADE、SOBI算法及文献[11]算法进行对比分析可知，所提联合对角化算法具有结构简单，计算量小和分离精度高的优点。仿真实验结果表明了所提算法的有效性。
2 盲分离模型
BSS问题的线性瞬时混合模型为：
其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T为m维观测信号向量，s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T为 n维源信号向量，Am·n为未知的混合矩阵且m≥n，n(t)为高斯白噪声向量。BSS是无先验信息条件下的信号源分离，因此BSS问题没有唯一解，但在允许尺度和排序的不确定性的条件下，可以在一定程度上恢复出源信号的波形。
在BSS问题中，通常对混合矩阵和源信号有相应假设。不失一般性，给出以下假设[9-10]：
（1）A是列满秩的。煤气化炉
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（2）源信号s(t)的各个分量是在空间上不相关但在时间上相关且具有不同的自相关函数的零均值随机信号，从而其自相关函数 Rs(0)=E(s(t)s(t)T)和 Rs(τ)=E(s(t)s(t-τ)T)为两个对角线元素不同的对角矩阵。
（3）噪声与源信号相互独立且Rn(0)=E(n(t)n(t))=σ2Im，σ2为噪声方差。
盲分离的目的是寻分离矩阵W，使得
其中，P与D分别为置换矩阵和对角矩阵，G为广义交换矩阵。
3 基于两正定矩阵精确联合对角化盲分离算法
从统计学角度来看，观测数据的多个不同时延统计量，能够提取观测数据矩阵的平均特性结构，因而能够更加精确的估计源信号。业已证明，基于预白化数据的多个不同时延协方差阵的联合对角化可以估计出分离矩阵。但是，多个矩阵的近似联合对角化算法计算量大，
算法收敛速度慢。为解决这一问题，本文根据多个不同时延统计量，构造了两个正定矩阵，以提取观测数据的时间结构，并用它们的联合对角化矩阵近似多个时延的协方差阵的联合对角化阵，也就是分离矩阵。设计算法精确联合对角化两个正定矩阵，得到分离矩阵，进而估计出源信号。
3.1 预白化数据的情况
观测数据 x(t)的自相关协方差矩阵为：Rx=E(x(t)x(t)T)，计算矩阵Rx的奇异值分解（SVD）为：
其中，Λs=diag(λ1,λ2,…,λn)是 n 个按降序排列的主特征值构成的对角矩阵，Vs∈Rm×n是与Λs中特征值相对应的特征向量组成的矩阵。同理Λn=diag(λn+1,…,λm)为噪声特征值矩阵，Vn∈Rm×(m-n)是与 Λn中噪声特征值相对应的特征向量组成的矩阵，且有λn＞λn+1，使用阵列处理的方法估计噪声方差。白化矩阵，其中：预白化数据为：
上面源信号n的个数可以采用文献[14]中的方法来确定。如下所示：
其中：
式中，λi-λi+1，i=1,2,…,m-1，λ1,λ2,…,λm 为观测信号协方差矩阵的特征值。
3.2 基于预白化数据的协方差矩阵
防粘贴预白化数据z(t)的自相关协方差矩阵为Rz(0)=E(z(t)z(t)T)=I，预白化数据z(t)带有延迟的自相关协方差矩阵为：
其中τ表示延迟且为整数。
3.3 两个正定矩阵的构造
本文利用多个不同时延统计量构造了两个正定矩阵，然后实施联合对角化。由于预白化数据带有延迟的自相关协方差矩阵不满足对称性，因此采用其变形形式，具体做法为：
其中。α是一个足够大的使得矩阵 C 是正定矩阵的正数。令由文献[15]中定理3和实对称矩阵的特征值为实数可知，α取值范围为
矩阵B与C的联合对角化与矩阵B与的联合对角化之间的关系由下面定理给出。
定理 矩阵B与C的联合对角化等价于矩阵B与的联合对角化。
证明 充分性：假设存在矩阵D能联合对角化矩阵B与C，即有DTBD=D1，DTCD=D2，其中矩阵 D1、D2均为实对角矩阵（预白化数据情况下，矩阵D为正交矩阵）。
记，②=I，则矩阵D分别能联合对角化①和②，即①也为实对角矩阵记为D3，即：因④为③的转置，所以矩阵D可联合对角化
必要性：假设矩阵 D能联合对角化矩阵B与，即，其中D1、D2为实对角矩阵，对前式进行转置，可以得，则
也为实对角矩阵，即可证矩阵D能联合对角化矩阵B与C。
定理结果表明，构造的正定矩阵的联合对角化矩阵就是预白化数据多个不同时延的协方差阵的和的联合对角化矩阵。从而两个正定矩阵的精确联合对角化得到的就是分离矩阵。
3.4 基于观测数据的情况
玻璃杯设备观测数据自相关协方差矩阵为Rx(0)=E(x(t)x(t)T)，观测数据带有延迟的自相关协方差矩阵为 Rx(τ)=E(x(t)x(t-τ)T)，其中τ≠0表示延迟且τ为整数。两个正定矩阵的构造如下：
b2y其中 Mx(τi)=[Rx(τi)+Rx(τi)T]/2 ，β 为足够大的使得矩阵 C 是正定矩阵的正数。令B=(bij)m×m=Rx(0)，类似于3.3节中预白化的情形可得β的取值范围为：
注：矩阵B与C的联合对角化等价于矩阵B与的联合对角化（证明类似参见白化情况）。
文献[11]算法只是针对预白化数据构造的联合对角化算法，它不适用于观测数据的情形。下面给出一种对于白化与非白化情况都适用的基于两正定矩阵的联合对角化算法。
3.5 分离矩阵的获取
分离矩阵W，即联合对角化矩阵D的计算如下所示。
（1）计算矩阵B的特征值分解为：
其中，矩阵U1为正交矩阵，Σ为实对角矩阵；
（2）计算矩阵
（3）计算矩阵C1的特征值分解为：
其中，矩阵V为正交矩阵，Σ1为实对角矩阵。
（4）矩阵 D=U1Σ-1V 。
矩阵D是唯一联合对角化矩阵B和C的矩阵，事实上：
此时，非负函数P(D)=off(DTBD+DTCD)将取得全局最小值0。 off(·)定义为：
3.6 算法流程概要
（1）对观测数据x(t)进行中心化，使其均值为0。
（2）对x(t)进行白化，得到z(t)（非白化情况直接使用式（10）和（11）构造正定矩阵 B和C ，转步骤（4））。
（3）计算 z(t)的自相关协方差矩阵，用式（8）和（9）构造两个正定矩阵B和C。
（4）对矩阵B进行特征值分解为B=U1Σ2U1T，其中矩阵U1为正交矩阵，Σ为实对角矩阵。
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