时频分析在电子与通信中的应用

1. 引言

信号分析与处理是信息与信息工程的基本问题之一.近十几年来,非平稳信号时频分析的理论、方法取得了迅速的发展，已在实际信号的处理中获得了十分广泛的应用.本文将对非平稳信号分析即时频分析的基本问题、方法及在电子与通信中的应用做简单的介绍.

在现代通信、雷达等领域中，复杂的信号都有很多种时-频域变化方式.常规的基于傅里叶分析的处理方法(如相关法或频域表示法)已无法对这些信号进行分析.这对信号处理提出了更高的要求：不仅要了解信号的整个频率组成，还要了解信号的频率分量在时间上的变化情况，从而准确的了解信号的全部特征.近些年，时-频二维分析的方法受到信号处理领域的专家学者的普遍关注.时频分析的基本思想是：设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，时间和频率的这种联合函数简称时频分布[1-3]飞行棋棋盘.

1.2 电子通信的重要作用

电子与通信工程是电子技术与信息技术相结合的构建现代信息社会的工程领域，电子技术是利用物理电子与光电子学、微电子学与固体电子学的基础理论解决电子元器件、集成电路、仪器仪表及计算机设计和制造等工程技术问题[4]；信息技术研究信息传输、信息交换、信息处理、信号检测等理论与技术.其工程硕士学位授权单位培养从事信号与信息处理、通讯与信息系统、电路与系统、电磁场与微波技术、电子元器件、集成电路等工程技术的高级工程技术人才.

1.3 时频分析与电子通信的联系

地铁人员定位时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号.因此,时频分析在电子与通信中的应用被越来越多的人开始投入研究.

2. 信号时频分析的主要方法

2.1 短时傅里叶变换STFT

为了表示信号随时间变化的频谱，可采用加窗技术将信号在时间上分成许多段，然后对每个小段求Fourier变换，从而得到对应于不同时间段中的信号频谱，这就是短时Fourier变换.信号的短时Fourier变换[5-8]定义为

式中，为分析窗函数，* 表示取复共轭 .

信号的频谱定义为短时傅里叶变换模的平方，即

它大致度量了信号在时频域中的能量分布.谱图法又称为短时傅里叶变换法，它在长时间内是非平稳信号分析与处理的一种标准化的工具.

短时傅里叶变换有下列性质[5-8]：

(1) 时移性

设则

(2) 频移性

设，则

短时傅里叶变换具有频移不变性，不具有时移不变性.但是，它在某一调制范围内即相差一相位因子的范围内保持时移不变性.

(3) 若综合窗函数满足“完全重构条件”：

则可由逆变换完全重构，即

热气球燃烧器2.2 HiIbert-Huang变换

Hilbert-Huang变换[9]是美国学者N．E．Huang于1996年提出的一种分析非平稳信号的新方法.EMD方法和与之相应的Hilbert谱统称为Hilbert-Huang变换(Hilbert-Huang Transform, HHT).HHT是由两部分组成，一个是经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)，另一个Hilbert变换.通过将信号按一定的时间尺度进行EMD分解，可以将一个复杂信号分成多个内禀模态函(Intrinsic Mode Function，IMF)的组合，分解得到的IMF分量更能体现信号的局部特征，这一步也使得瞬时频率有了物理意义.然后将分解得到的IMF分量进行Hilbert变换，得到每个IMF分量的瞬时幅值和瞬时频率，得到信号的Hilbert谱，该谱图反映了信号的特征变化，很好地揭示了非平稳信号完整的时频分布.

2.3 Wigner-Ville 分布

1948年，Ville将Wigner在1932年提出的Wigner分布引入信号处理领域，提出另一类不同类型的非平稳信号的时频表示方法，即Wigner-Ville 分布模板的制作(简记为WVD)[5-8]，其基本思想是，设计一个时间和频率的联合函数，用它表示在时频平面上信号的能量密度分布.

信号的WVD是一种最基本也是应用最多的时频分析，定义为

根据Parseval恒等式，WVD可写成如下频域表示形式

两个信号和的互WVD定义为

同理有

2.4 小波变换

2.4.1 连续小波变换

小波分析[10-11]是一种新的线性时频分析法，不同于短时傅里叶变换，小波变换在时频的

不同位置具有不同的分辨率，是一种多分辨的信号分析方法，它为极其广泛的一大类信号提供了时频局部化的紧凑表示.

设，如果

则称为一个小波.也常称为母小波或基本小波.通常希望小波具有单位能量，即

此约束化条件也称为归一化条件.

对小波进行伸缩和平移，可得到一族小波函数

，

式中，s称为尺度参数，u称为平移参数.

的连续小波变换定义为

通常将连续小波变换模的平方称为二维小波谱图，即

连续小波变换反变换存在的容许条件，即

连续小波变换性质：

1)时移性

2)尺度转换性质

电磁感应采暖炉3)微分性

4)卷积性

5)线性

2.4.2 多分辨分析

多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有一个统一的形式，而所有空间的闭包则逼近.在每个空间中，所有的函数都构成该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成的标准化正交基，那么，如果对信号在这类空间上进行分解，就可以得到相互正交的时频特性.而且由于空间数目是无限可数的，可以很方便地分析我们所关心的信号的某些特性.

下面我们简要介绍一下多分辨分析[7]结晶器铜管的数学理论.

定义：空间中的多分辨分析是指满足如下性质的一个空间序列：

(1)单调性：，对任意

(2)逼近性：

(3)伸缩性：

(4)平移不变性：

(5)Riesz基存在性：存在，使得构成的Risez基.

2.4.3 几种常用的小波[10-11]

1)Haar小波

A.Haar于1990年提出一种正交函数系,定义如下：

这是一种最简单的正交小波，即

…

2)Daubechies（dbN）小波系

该小波是Daubechies从两尺度方程系数出发设计出来的离散正交小波.一般简写为dbN，N是小波的阶数.小波和尺度函数吁中的支撑区为2N-1.的消失矩为N.除N＝1外(Haar小波)，dbN不具对称性〔即非线性相位〕；dbN没有显式表达式(除N＝1外).但的传递函数的模的平方有显式表达式.假设，其中，为二项式的系数，则有

其中

3)Biorthogonal（biorNr.Nd）小波系

Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中.通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构.Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd的形式：

Nr=1 Nd=1，3，5

Nr=2 Nd=2，4，6，8

Nr=3 Nd=1，3，5，7，9

Nr=4 Nd=4

Nr=5 Nd=5

Nr=6 Nd=8

其中，r表示重构，d表示分解.

4)Coiflet（coifN）小波系

coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN（N=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet具有比dbN更好的对称性.从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩数目.

5)SymletsA（symN）小波系