知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：
一、枚举法
例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？ （北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）
分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法
例2x3=84A（x、A均为自然数）。A的最小值是______。（1997年南通市数学通讯赛试题）
分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
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即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法
例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b的最大值是多少？
（广州市五年级数学竞赛试题）
分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得
43a＋b=一个三位数
因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）
当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
四、公式法
例4两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少？（广州市小学数学竞赛试题）
我们经常说的一句话就是"和一定，差小积大，差大积小"那么到底应该如何准确理解并应用它解决实际问题呢？
A＋B＝C
和一定，指的是A与B的和是不变的，为C。
差小积大，'差'指的是A和B的差距，A和B差距越小，乘积越大；
差大积小，理解方法同上，A和B差距越大，乘积越小。
所以，当a=b=9时，这两个自然数的积最大。为91。
五、图表法
例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个？ 粉碎机锤头
（北京市“迎春杯”数学竞赛试题）
分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：
从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为
（10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人）
水元石 所以这辆汽车至少应有座位30个。
最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法。
巩固练习:
1．a、b是1、2、3、…、99、100中的两个不同的数，求（a+b）÷（a-b）的最大值．
2．有40枚棋子分别放入8个盒子里，要使每个盒子里都有棋子，那么其中的一个盒子里，最多能有多少棋子？
3．一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最多要试验多少次就能配好全部的钥匙和锁？
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4．将5、6、7、8、9、0这6个数字填入下面算式中，使乘积最大．□□□×□□□ 5．把12分解为两个自然数的和，使它们的积最大，求这个最大值．
6．100名村民代表选举村委会主任，有三位候选人甲、乙、丙，每人只能选他们中的一个人不能弃权，前80票中，甲得到38票，乙得到32票，丙得到10票，规定谁的票最多谁当选，甲若要当选，最少还需要多少张票？
7．数字和等于23的最小偶数是多少？
8．从十位数7677782980中划去5个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不改变）组成的五位数最小．这个最小的五位数是
9．下面是一个乘法等式．问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？
□□×5=□□
10．现有10对钥匙和锁混放在一起，不知道哪把钥匙配哪把锁．至多要试开多少次，可把它们全部配成对．
11．一个五位数与9的和是没有重复数字的最小五位数，则原来五位数的个位数字是什么？
12．如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么该整数中1的个数最少有多少个？
13．将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字填入下面算式的八个“□”内（每个数字只能用一次），使得数最小，其最小得数是_________.
夏桑菊对新型冠状病毒有效吗□□．□□-□□．□□
14．有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有一颗比这8颗略轻，用一架天平最少称几次，可以到那颗较轻的钢珠？
15．用2、3、4、5、6、7这6个数字组成两个不同的三位数，要使这两个三位数的乘积最
大，则这两个三位数是多少？
16．现有一批树苗，如果每排20棵，最后余下5棵；如果每排7棵，最后剩下2棵，这批树苗最少有多少棵？
17．袋子里装18个大小相同的彩木球，其中红球3个，黄球5个，绿球10个，现在一次从中任意取出N个，使这N个彩球中，保证至少有5个同，请问：N的最小值是多少？
18．在多位数464748495051中划去6个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成的六位数最大．这个最大的六位数是多少？
19．一个自然数N各位数字之和是300，要使N最小，N应当是几位数？它的首位数应当是几？
20．四年级有学生若干名，若7人一行最后余3人；若11人一行最后余5人．四年级最少有学生多少人？
21．有A、B、C共3人，从地点P到地点Q的距离为3千米，每个人可以每小时3千米的速度步行．在地点P有两辆自行车，如果使用自行车，速度可达到每小时15千米，但每辆自行车只能一个人骑．问怎样才能在最短的时间内使三人都到达地点Q？ 22、用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝，问这个鸡窝的面积最大是多少？
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