Җ㊀安徽㊀孙光元
如求解函数最值㊁解函数不等式㊁求函数中参数的范围等．因此，利用函数的单调性就成为解题的关键，我们要学会巧妙利用题干中的条件把原问题进行等价转换, 利用函数单调性顺利求解问题．
１㊀直接法
采用直接法构造函数要求考生掌握函数㊁不等式和方程之间的关系，熟悉不等式和方程所对应的函数的单调性，从而熟练构造函数，利用单调性顺利完成问题求解．直接法是构造函数最常用的一种方法，在解题时要学会灵活运用．
例１㊀已知１x ＋１＋１x ＋２＋ ＋１２x ȡ１
１２l o g a (
a －１)＋
２
３对于大于１的正整数x 恒成立，试确定a 的取值范围．
构造函数f (x )＝１x ＋１＋１x ＋２＋ ＋
１
２x
，因为
李德金后台f (
x ＋１)－f (x )＝１２x ＋１＋１２x ＋２－１
x ＋１
p612
＝１２x ＋１－１２x ＋２
＞０,
所以函数f (x )是增函数．又因为x 是
大于１的正整数，所以f (x )ȡf (
２)＝７
１２
．若要使目标不等式成立，那么１
１２
l
o g a (
地热供暖设备
a －１)＋２３ɤ７１２，即l o g a (
a －１)ɤ－１，解得１＜a ɤ１＋５
２
．２㊀作差或作商法
作差㊁作商法简单来说就是在解题过程中，可直
接利用作差f (x １)－f (x ２)或作商f (x １)
f (x ２
)(f (x ２)＞０
)来构造函数，这是比较直观和简单的一个方法．例２㊀已知x ＞－１，且x ʂ０,n ɪN ∗,
当n ȡ２时，求证:(１＋x )n
＞１＋n x ．
令f (n )＝
１＋n x
(１＋x )
n
，因为x ＞－１，且x ʂ０，所以
f (n ＋１)－f (n )＝１＋(n ＋１)x (１＋x )n ＋１－１＋n x (１＋x )n ＝－n x ２
电力驱动单人车(１＋x )
n ＋１＜０，故f (n )在N ∗上是减函数，则f (２)＜f (１)＝１＋x
１＋x
＝
１，所以当n ȡ２时,f (
n )＜１，即(１＋x )n
＞１＋n x ．３㊀分离参数法
题目中含有参数的情况比较复杂，会使解题的过程变得有些困难，而这个时候就需要把参数单独分离在等号或者不等号的一边，让另外一边的函数关系变得清晰明了，从而利用函数单调性进行求解．例３㊀已知x ＞０时,１＋l n (x ＋１)x ＞
锚杆测力计k x ＋１粘土稳定剂
恒成立，求正整数k 的最大值．当x ＞０时,１＋l n (x ＋１
)x ＞
k x ＋１
恒成立，即[１＋l n (x ＋１)](x ＋１
)x
＞k 恒成立．
设f (x )＝[１＋l n (x ＋１)](x ＋１
)x
(x ＞０)
，则要使f m i n (x )＞k ，易知f
ᶄ(x )＝x －１－l n (x ＋１
)x ２
．设g (x )＝x －１－l n (x ＋１)(x ＞０)
，
所以g
ᶄ(x )＝x
x ＋１
＞０，所以g (x )在区间(０,＋ɕ)上单调递增，且g (２)＝１－l n３＜０,g (３)＝２－２l n２＞０．所以存在唯一实数a ，使得g (x )＝０，且a ɪ(２,３)．
当x ＞a 时,g (x )＞０,f ᶄ(x )＞０，函数f (x )单调递增；当０＜x ＜a 时,g (x )＜０,f
ᶄ(x )＜０，函数f (x )单调递减．所以
f m
i n (x )＝f (a )＝(a ＋１)[１＋l n (a ＋１
)]a ＝
a ＋１ɪ(３,４)．
综上，正整数k 的最大值为３．直接法㊁作差或作商法㊁分离参数法等都是构造函数最常用的几种技巧和方法，除此之外，还有很多其他方法，如换元法㊁辅助法等，在解题的过程中要善于举一反三㊁灵活运用．
(作者单位：安徽省肥东第一中学)
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