4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：。当系统作用有下列输入信号时：，试求系统的稳态输出。 解：
系统的闭环传递函数为：
这是一个一阶系统。系统增益为：，时间常数为：
其幅频特性为：
其相频特性汽车空气干燥器为：
当输入为，即信号幅值为：，信号频率为：，初始相角为：。代入幅频特性和相频特性，有： 所以，系统的稳态输出为：
4-2 已知系统的单位阶跃响应为：。试求系统的幅频特性和相频特性。
解：
对输出表达式两边拉氏变换：
由于，且有（单位阶跃）。所以系统的闭环传递函数为：
可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为： 系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：
4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。所谓“概略”，即计算与判断奈氏曲线的起点、终点、曲线与坐标轴的交点、相角变化范围等，这就可以绘制出奈氏曲线的大致形状。对一些不太复杂的系统，已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了。 除做到上述要求外，若再多取若干点（如6-8点），并将各点光滑连线。这就一定程度上弥补了要求A的精度不足的弱点。但因为要进行函数计算，例如求出实虚频率特性表格，工作量要大些。
在本题解答中，作如下处理：
小题（1）：简单的一阶惯性系统，教材中已经研究得比较详细了。解题中只是简单套用。
小题（2）：示范绘制奈氏图的完整过程。
小题（3）、小题（4）：示范概略绘制奈氏图方法。
4-3（1）
这是一个一阶惯性（环节）系统，例4-3中已详细示范过（当T=0.5时），奈氏曲线是一个半圆。而表4-2给出了任意时间常数T下的实虚频率特性数据。可以套用至本题。
①系统参数：0型，一阶，时间常数
②起终点
奈氏曲线的起点：（1,0），正实轴
奈氏曲线的终点：（0,0），原点
奈氏曲线的相角变化范围：（0,－90°），第IV象限
③求频率特性。据式（4-29）已知：
实频特性：
虚频特性：
④可以得出如下实频特性和虚频特性数值：
| 0 | 10 | 12.5 | 25 | 50 | 80 | 100 | 125 | 200 | 400 | 800 | 1000 | |
| 1.00 | 0.99 | 0.98 | 0.94 | 0.80 | 0.61 | 0.50 | 0.39 | 0.20 | 0.06 | 0.02 | 0.01 | 0.00 |
| 0.00 | -0.10 | -0.12 | -0.24 | -0.40 | -0.49 | -0.50 | -0.49 | -0.40 | -0.24 | -0.12 | -0.10 | 0.00 |
| | | | | | | | | | | | | |
⑤绘图：
4-3（2）
示范绘制奈氏图的完整过程。
这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统。
①系统参数：1型系统，n=2, m=0
②起终点
奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处；
奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；
奈氏曲线的相角变化范围：（-90°，-180°），第III象限
③求频率特性：
实频特性：
虚频特性：
当时，实频曲线有渐近线为-0.1。
④可以得出如下实频特性和虚频特性数值：
| 0 | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.6 | 1 | 2 | 5 | 8 | 脉动测速9 | 10 | 20 | |
| -0.10 | -0.10 | -0.10 | -0.10 | -0.10 433m天线 | -0.10 | -0.10 | -0.08 | -0.06 | -0.06 | -0.05 | -0.02 | 0.00 |
| | 塑料拖把头 -10.00 | -5.00 | -2.00 | -1.66 | -0.99 | -0.48 | -0.16 | -0.08 | -0.06 | -0.05 | -0.01 | 0.00 |
| | | | | | | | | | | | | |
⑤绘图：
4-3（3）
示范概略绘制奈氏图方法。
①系统参数：1型系统，n=3, m=1
②起终点
奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处；
奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；
奈氏曲线的相角变化范围：（-90°，-180°）；
③绘图：
4-3（4）
示范概略绘制奈氏图方法。
①系统参数：2型系统，n=3, m=1
②起终点
奈氏曲线的起点：查表4-7，127刀网2型系统起点为负实轴无穷远处；
奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；
奈氏曲线的相角变化范围：（-180°，-180°）；由于惯性环节的时间常数大于一阶微分环节的时间常数，二者相频叠加总是小于零，故图形在第2象限。
③绘图：
如要详绘，则先求频率特性：
即有实频特性：
虚频特性：
制表：
| 0 | 0.05 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.8 | 1 | 2 | 5 | 6 | 8 | ∞ |
| -∞ | -19346 | -4414 | -835.4 | -276.9 | -121.5 | -64 | -38.3 | -17.63 | -10 | -2.038 | -0.304 | -0.21 | -0.118 | 0 |
| 0 | 3269 | 1466 | 518.3 | 232.2 | 119.4 | 68 | 41.91 | 18.91 | 10 | 1.308 | 0.085 | 0.049 | 0.021 | 0 |
| | | | | | | | | | | | | | | |
4-4 试画出下列传递函数的波德图。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：
绘制波德图要按照教材P134-135中的10步，既规范也不易出错。
4-4（1）
（1）开环传递函数已如式(4-41)标准化；
（2）计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率； 开环增益K＝2,
0型系统，低频段斜率为0；
（3）求各转折频率，并从小到大按顺序标为，同时还要在转折频率旁注明对应的斜率；
①，惯性环节，斜率-20；
②，惯性环节，斜率-20；
（4）绘制波德图坐标。横坐标从0.1到10二个十倍频程。见图；
（5）绘制低频段幅频渐近线，为水平线；
（6）在，斜率变为-20；在，斜率变为-40；标注斜率见图；
（7）幅频渐近线的修正。在处修正-3dB，在处修正-1dB；在处修正-3dB，在处修正-1dB；注意在处有两个-1dB修正量，共修正-２dB；
（8）绘制两个惯性环节的相频曲线；
（9）环节相频曲线叠加，形成系统相频曲线；
（10）检查幅频渐近线、转折频率、相频起终点的正确性。
（11）
4-4（2）
（1）开环传递函数已如式(4-41)标准化；
（2）计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；
开环增益K＝200,
2型系统，低频段斜率为-40；
（3）求各转折频率：
①，惯性环节，斜率-20；
②，惯性环节，斜率-20；
（4）以下文字略，见绘图；
（5）
4-4（3）
（1）开环传递函数标准化：
（2）计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；
开环增益K＝50,
2型系统，低频段斜率为-40；
（3）求各转折频率：
①，惯性环节，斜率-20；
②，二阶振荡环节，阻尼比，斜率-40；
（4）其它：二阶振荡环节在转折频率处要按实际阻尼比按图4-17修正。见绘图；
4-4（4）
（1）开环传递函数标准化：
（2）计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；
开环增益K＝20,
2型系统，低频段斜率为-40；
（3）求各转折频率：
①，惯性环节，斜率-20；
②，一阶微分环节，斜率+20；
（4）其它见绘图；
4-4（5）
（1）开环传递函数标准化：
（2）计算开环增益K，计算；得系统型别，确定低频段斜率；
开环增益K＝0.032,
1型系统，低频段斜率为-20；
（3）求各转折频率：
①，一阶微分环节，斜率+20；
②，二阶振荡环节，阻尼比，斜率-40；
③，二阶振荡环节，阻尼比，斜率-40；
（4）其它见绘图；
4-5 根据下列给定的最小相位系统对数幅频特性曲线图写出相应的传递函数。
解：4-5(a)
（1）求结构
从图中看出，低频段斜率为0，是0型系统，由渐近线的斜率变化：
第1个转折频率处斜率变化，是一阶惯性环节；
第2个转折频率处斜率变化也是，也是一阶惯性环节；
因此传递函数结构为
（2）求参数
从图中看出，低频段与零分贝线水平重合，因此
对第1个一阶惯性环节，转折频率，则：
对第2个一阶惯性环节，转折频率，则：
综合得：
解：4-5(b)
（1）求结构
从图中看出，低频段斜率为，是1型系统，由渐近线的斜率变化：
第1个转折频率处斜率变化，是一阶惯性环节；
第2个转折频率处斜率变化也是，也是一阶惯性环节；
因此传递函数结构为
（2）求参数
从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：，因为是1型系统，由式(4-67)
对第1个一阶惯性环节，转折频率，则：
对第2个一阶惯性环节，转折频率，则：
综合得：
解：4-5(c)
（1）求结构
从图中看出，低频段斜率为0，是0型系统，由渐近线的斜率变化：
第1个转折频率处斜率变化，是一阶惯性环节；
第2个转折频率处斜率变化也是，也是一阶惯性环节；
第3个转折频率处斜率变化也是，也是一阶惯性环节；
因此传递函数结构为
（2）求参数
从图中看出，低频段为水平线，幅值为。由式(4-64)：
对第1个一阶惯性环节，转折频率，则：
对第2个一阶惯性环节，转折频率，则：
对第3个一阶惯性环节，转折频率，则：
综合得：
解：4-5(d)
（1）求结构
从图中看出，低频段斜率为，是1型系统，由渐近线的斜率变化：
第1个转折频率处斜率变化，是二阶振荡环节；
因此传递函数结构为
（2）求参数
从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：，因为是1型系统，由式(4-67)
对二阶振荡环节，从图中看出，谐振峰值为，峰值频率。
可以由式（4-37）求出阻尼比：
当时，阻尼比为。
（也可简单地查表4-5，得）。
由式（4-36）：
综合得：
4-6 试由下述幅值和相角计算公式确定最小相位系统的开环传递函数。
（1），；
（2），；
（3），；
（4），。
解：
（1），；
直接可以得到：
且有幅频特性：
即
所以
（2），；
直接可以得到：
且有幅频特性：
即
所以
（3），；
直接可以得到：
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比较二阶振荡环节的相频特性式（4-32）：
由，得
二阶微分环节的参数求法与上面二阶振荡环节基本相同，差别仅是式（4-32）是正值。所以：
由，得
一阶微分环节：
一阶惯性环节：
所以：
且有幅频特性：
即
所以：
（4），。
直接可以得到：
且有幅频特性：
即
所以：
4-7 画出下列各给定传递函数的奈氏图。试问这些曲线是否穿越实轴。若穿越，则求与实轴交点的频率及相应的幅值。
（1）； （2）；
（3）； （4）。
解：
4-7（1）
①系统参数：0型系统，n=2, m=0
②起终点
奈氏曲线的起点：查表4-7，0型系统起点为正实轴无穷远处；
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