第5章空间机构自由度分析的约束螺旋求解法对机构最基本的认识是要知道它的自由度，机构的自由度计算原本是一个简单的问题，用传统的Kutzbach-Grübler公式[1-3]就可以获得正确的结果，而且仅仅基于算术运算。这个最基本的问题几乎在所有的教科书上都有论述。 这里为什么还要论及呢？在机构学的发展历程中，发现了不少的机构不符合上述公式[4-5]。这种情况长期来倒还能容忍，到底当时该公式对于绝大多数机构还是适用的，特别是适用于众多的平面机构。但是在近十年来当空间机构研究迅速发展时，问题变得突出起来，传统的大家熟悉的这个公式常常算不出正确的结果，特别是在新世纪开始前后的这十年间，国际机构学界开展了少自由度并联机器人新机构的研究，这个不为人们重视的自由度计算却经常让人们迷惑，用公式常常不能够得到正确的结果。甚至到了新世纪的2002年，美国马里兰大学的Tsai教授在分析他发明一种3自由度并联机构时再次指出，如果用Kutzbach-Grübler公式计算该机构的自由度数将会得到错误的结果[6]。这样，人们不得不采取其它麻烦的分析方法[7-11]，多花费了很多的时间。究其原因，认识到这是由于在机构中存在过约束（overconstrained）的缘故，约束被重复计算了。许多人不断寻新的普遍适用的机构的自由度计算公式，仅举文献[12-13]。人们提出过许多新概念，包括公共约束、虚约束等等。文献[14,15]还建议自由度公式中应采用机构螺旋系的“阶”。在这方面国内也有许多学者进行了有意义的研究，文献[16]以闭合约束数定义公共约束以确定阶，文献[17]以非线性代数方程组的相关性来判定机构的“秩”，然而他却是一个十分困难的求解问题。考虑“过约束”去对Kutzbach-Grübler公式加以修正，关键是如何分析过约束，到这个
新世纪开始，这个问题在国际上一直未能解决。还有一些学者甚至还采取如李代数和论[18-20]等现代数学来探讨，也取得了一些进展。然而，李代数和论的应用本身到更加使人感到迷茫，难道处理这种机构学中最基本最常见的问题，非得用这些普通科技人员很难懂的高深的现代数学吗？如果真是那样，将来也是难以推广应用，也不利于科技的发展。确实，自由度分析首先应保证正确，还特别要求尽可能的简单。
本文应用螺旋理论来处理这个问题，表现的比较简单。当黄真在1991年出版的著作[21]中就提出以反螺旋重新定义公共约束，进行了四杆机构的自由度的计算。这样的定义使公共约束有了明确的物理概念，便于计算，而且还方便地确定机构的阶。在1997年出版的专著[22]中进一步集中讨论了机构的自由度计算问题。除了以反螺旋定义公共约束外，特别是研究了在构成并联机构时出现的冗余约束，并分析了许多不同阶的过约束机构。在后来的许多关于少自由度新机型的研究中都应用了这个自由度的判别方法。最后文献[23]又归纳形成完整的“基于约束螺旋的求解自由度的新方法”。这个方法的特点在于它仅仅基于螺旋理论中的最简单部分，具有线性代数基础的科技人员都不难掌握，分析过程又简单、快捷。本章就介绍这种基于约束螺旋求解自由度的新方法。在只需要一只铅笔、一张纸，绝大多数情况下花费几分钟就能得到正确的答案。这种方法对广大的机械工程师将非常适用。本章最后还介绍机构实现确定运动的条件，讨 论自由度与输入的关系。
关于自由度公式的发展，俄罗斯人有自己的看法。认为平面机构的自由度公式是切贝契夫(Чебышев)[24,25]于1869年首先提出的；空间机构的自由度公式是马雷舍夫（Ma лышев）提出的
[24,25]。1953年阿尔托波列夫斯基(Ap тоболевский)在他的书中就提出应考虑机构的过约束修正自由度公式 [26]。俄罗斯人的追求值得尊敬。
5-1 机构自由度的Kutzbach-Grübler 公式
空间机构是由一系列构件用运动副连接而成的，分开环机构和闭环机构。闭环机构又分单闭环机构和多闭环机构，以及既有开环又有闭环的混合式机构。多闭环机构还可分为并联机构和任意闭环机构。开环机构的自由度计算比较简单，这里仅讨论一般形式的闭链机构及多环并联空间机构的自由度计算问题。
若在三维空间中有n 个完全不受约束的物体，任选其中的一个为固定参照物，由于每个物体相对参照物都有 6 个自由度，则系统中的 n 个物体相对选
定的参照物共有 6(n-1) 个自由度。若所有的物体之间都用
运动副连接起来，设第 i 个运动副带来的约束为 u i ，由于
运动副的类型不同此约束可以是 1 和 5 之间的任何数，如
果运动副数目为 g ，则这时机构的自由度就是所有运动构
件总的自由度减去所有的约束数的总和，即
图5-1 空间3-RPS 机构 M n i g
=−−=∑611()u i
这里M 表示自由度。在一般情况下，式中的 u i 可以用（6-
f i ）代之，f i 为第 i 个运动副的相对自由度数。这就是
Kutzbach-Grübler 公式[1-3] ()M n g f i i g
=−−+∑=611 (5-1) 对于平面机构有
()∑=+−−=g
i i f g n M 113 (5-2)
微型立交桥可以看到，两者的差别仅是公式前面的系数。历史上许许多多的机构用这两个公式得出了正确的结果。而且这个公式计算仅仅用了最简单的算术，确实是十分方便。
例5-1 计算图5-1所示的空间多环3-RPS 机构[27]的自由度。在此机构的每个分支中都含有一个转动副R 、一个移动副P 和一个球副S 。由图可知该机构总的构件数n =8，运动副数g = 9。其中转动副和移动副自由度都为 1，球面副的自由度为 3。所以按Kutzbach-Grübler 公式得到了正确的结果
()3
15)198(6161=+−−×=+−−=∑=g i i
f g n M
对于多环空间机构，Hunt 于1978将式(5-1)写成[15]
(5-3) M f i i g
=∑−=16l 式中的 l 为独立的环路数目。式 (5-3) 和 式 (5-1) 的等同是显
而易见的。若在一个单闭环(该环的构件数等于运动副数 g =n )
运动链上，再连接上一条其两端都有运动副的开链，于是形
成了另一个闭环，这时所增加的运动副数目比所增加的构件
数多一个。那就是说每增加一个独立的环路，增加了′g 个运
动副，那么所增加的构件数目就是′−g 1，这样，若增加的独
立闭环数为1、2、3 … （l -1）, 则所增加的运动副数目比所
增加的构件数要多1、2、3 … （l -1)， 这样就有
图 5-2 平面6杆机构
l g n =−+1
上式即是著名的欧拉环路公式。将上式代入式 (5-3) 便是 式 (5-1)。 其中l 为独立的环路数目。
Hunt 曾将上式改写为更一般的形式
(5-4) ()∑=+
−−=g
i i f g n d M 11和
(5-5) M f i i g =∑−=1dl 式中的 d 被称为机构螺旋系的阶数(order)。
例5-2 计算图5-2所示的平面机构的自由度。
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若选下面的三角形构件为机架，该机构有两个独立的环路，即 l =2，并且所有的运动副都为单自由度的转动副；对于平面机构， d =3，由式 (5-5) 可得
M f dl i i g =−=−×==∑17321
Hunt 并没有具体地讨论如何运用此式。人们在实践中发现对于一般形式的空间机构，d =6，对于平面机构和球面机构，d =3。然而对于许多机构不论d 取为3或6都不能得到正确的结果。通常一个约束消去一个自由度，但是许多机构都存在这样的情况，那就是多个约束只消去一个自由度。最简单的例子就是门扇上的两个合页（转动副）。从运动学上说，一个合页就决定了门的转动运动，另一个合页则没有起到对运动的任何约束作用，这即是过约束。上述前3种自由度的计算公式共同存在一个问题是没有考虑过约束的情况，后两种企图考虑过约束，但人们也不
知道如何考虑。本书将在下节应用螺旋理论来考虑过约束情况，介绍普遍适用的自由度计算的方法。
不锈钢钝化5-2 修正的Kutzbach-Grübler 公式
在本节中首先要引出修正的Kutzbach-Grübler 公式，并重点介绍公共约束和冗余约束的定义和计算。然后以多个实例讨论公式的应用。
5-2-1 修正的Kutzbach-Grübler 公式
如前所说自由度计算不能得到正确的结果就是因为机构中存在相当数量的不起约束作用的过约束。因此在自由度的分析中就应该去掉所有这些过约束。如何处理过约束有两种思想。一种是从式（5-1）中减去全部的过约束
µ++−−=∑=g
i i f )g n (M 116
式中µ是过约束的总数。显然，这里是把所有机构都看成是空间机构，然后加上被过多减去的过约束。
另一种思想是将过约束分为两部分。一部分以公共约束的形式来处理，采取式(5-4)的形式，许多单环机构考虑了公共约束即能得出正确地结果。对于多环并联机构只考虑公共约束还不够，还要考虑当多环形成时再次出现并附加上的过约束，这部分约束我们称为多环并联机构附加的冗余约束，简称冗余约束，记以 ν。比较这两种思想，我们倾向后者，这样还遵从了已有的习惯，单环平面机构、球面机构仍对应简单方便的公式(5-2)，在式(5-4)中。这样，一般机构的自由度公式公式则为
3=d ν++−−=∑=g
间接照明i i f g n d M 1)1(
若再考虑局部自由度，则修正的Kutzbach-Grübler 自由度公式最后表达为[26, 23]
ς−++−−=∑=v f g n d M g
i i 1)1( (5-6)
这里 M 表示机构的自由度；d 表示机构的阶数，λ−=6d ；n 表示包括机架的构件数目；g 表示运动副的数目；f i 表示第i 个运动副的自由度；ν表示多环并联机构在去除公共约束的因素后的冗余约束的数目。式中 ζ 为机构中存在的局部自由度(passive degree of freedom)。局部自由度是一个多余的自由度，它并不影响机构输出件的自由度，比如一个杆件的两端用了两个球铰，这样夹在两端两个球铰中
间的杆件它还可以发生绕本身轴线旋转，这个转动不影响机构的输出，因此要将它减去，ζ 常由观察来确定。
考虑过约束要对Kutzbach-Grübler 公式加以修正的思想如前所述是早已提出过，关键是如何分析过约束，特别是希望有一种最简单的办法方便广大的机械工程师应用。这里就介绍这种基于约束螺旋的自由度分析方法。众多的实例已经证明这种方法是有效的，也是目前最简单的。
5-2-2 公共约束和机构的阶
在应用修正的Kutzbach-Grübler 公式时，一个很重要的因素就是如何确定机构的阶数d 。机构的阶数由公共约束数(common constraint)λ来决定
d=6-λ (5-7)
对于一般的没有公共约束的空间机构，λ=0，d=6。 在许多教科书中都是这样指出，平面机构及球面机构都有 3 个公共约束，λ=3，是三阶机构 d=3 。并解释说，由于平面机构中所有转动副轴线相互平行，所有构件都受到数量相等和性质相同的约束，都失去两个转动和一个移动运动，构件只能在与轴线垂直的平面内作三自由度的运动，即沿平面内相互垂直的两方向的移动和绕垂直于平面的轴线的转动。对于球面机构的解释是类似的。这种解释没有从约束的本质上来分析为什么，不能令人满意。还
有一些机构在经过长期研究虽明确了它们具有公共约束，但一直没有统一和简明的办法解释说明公共约束的由来，甚至连公共约束本身也没有合理的定义。
1991年我们在文献[21]中提出用反螺旋来定义机构的公共约束, 反螺旋是机械系统产生的约束力，在这样的定义下公共约束的概念十分清楚，而且方便地给出了公共约束数的判别方法。
这里将机构的转动副表示为螺旋()0;S S , S 是运动副轴线的单位矢量；S r 是该轴线
对原点的矢径与S 0=×S 的叉乘积，称为直线的线矩（参见第1章）。在三维空间线性无关的螺旋数目为 6。当所有螺旋构成的螺旋系的线性无关的螺旋数 r 小于 6 时，就存在与所有运动螺旋相逆的 6-r 个反螺旋。反螺旋与运动螺旋的互易积为零
成官宝
0=r $$ο (5-8)
若螺旋表示为Pl ücker 坐标(;)L M N PQ R ，计算时可以采用如下方便的齐次代数方程式
LP MQ NR PL QM RN r r r r r r +++++=0
单位螺旋$在几何上表示运动副轴线，在运动学上表示转动副元素间的相对转动或移动副的相对移动；对应的反螺旋可看为作用在构件上的力螺旋。依据其节距的不同，或者是约束力或者是约束力偶。rat组合
这样它们的互易积表示力螺旋对运动的功率。在满足式 (5-8) 的条件下却发生了对运动不作功的力螺旋，这里对运动不作功的力正相当于约束反力，或运动副反力。
r $螺旋理论的一个最大的优点就是，节距为零的螺旋能方便地表示空间的直线。机构的所有运动副均可以用螺旋表示。当运动副是转动副时，是节距为零的螺旋，h =0；移动副则对应节距为无穷大的螺旋；螺旋副则是具有有限节距的螺旋；圆柱副相当共轴的转动副和移动副；球面副则相当共点不共面的三个依次连接的转动副。所以一个机构就构成了一个螺旋系。
定义5-1：当机构所有的运动副均以运动螺旋表示，它们构成一个螺旋系A ，若存在一个与螺旋系A 中每一个螺旋m 均相逆的反螺旋r ，这个反螺旋就是该机构的一个公共约束。它反映了机械结构对运动部分的约束。螺旋系的反螺旋的数目就是公共约束数目。当螺旋的秩为 6 时，不存在反螺旋，当螺旋系的秩 r 少于6 时，机构就有 6-r 个反螺旋，即6-r 个公共约束。所
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