李珏璇;赵明
【摘 要】本文从序参量和复杂度2个角度考察网络的平均度和规模对网络的部分同步状态的影响.结果表明,无论对于度分布比较均匀的随机网络、小世界网络还是度分布异质性比较强的配置无标度网络,只有在网络处于部分同步状态时,平均度才对序参量有显著的影响:平均度的增加使得3种网络的部分同步状态变好,相应的序参量变大;在不同的耦合强度区域,复杂度表现出不同的变化规律.当耦合强度较小时,随着网络规模的增加,网络部分同步状态变差,相应的复杂度变小.而对于规则的近邻耦合网络,网络平均度的增加使得网络的同步状态变好、复杂度增加,而网络规模的增加则使得网络的同步状态变差、复杂度减小. 【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2019(037)001
【总页数】10页(P115-124)
【关键词】复杂网络;平均度;网络规模;部分同步
【作 者】李珏璇;赵明
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【作者单位】广西师范大学 物理科学与技术学院,广西 桂林 541004;广西科技师范学院 机械与电气工程学院,广西 来宾 545004;广西师范大学 物理科学与技术学院,广西 桂林 541004
【正文语种】中 文
【中图分类】N941.4
在过去，由于统计分析能力的限制，科学研究的对象主要局限于单个或少量个体。实际上，真实的系统往往包含多个甚至海量个体，不仅仅是单独个体的性质会对系统的整体行为带来影响，个体间的相互作用也起到不容小觑的作用。但经典统计物理认为个体间的相互作用主要局限在小的地理范围内，后来随着图论的发展，有科学家认为个体间的相互作用可能以一种拓扑上随机的形式存在[1-2]。随着计算机技术的进步，大量的真实数据得以被统计，人们发现在真实的复杂系统中，个体间的连接形式非常复杂，为了研究这些连接对系统动力学的影响，科学家将系统中的个体用节点而个体间的相互作用用边来进行抽象
简化，所获得的网络即为所谓的复杂网络[3-4]。复杂网络能够很好地用于分析网络结构与发生于其上的动力学行为之间的相互影响，经过十余年的发展，人们在整体上已经对两者间的相互作用关系有了比较深入的了解[5-7]。目前研究的焦点已经转移到这些动力学行为的发生过程、发生机制、更符合实际状态的探讨上来[8-9]。就复杂网络上动力系统同步现象来说，之前的研究主要考察了复杂网络作为整体的同步规律，而实际上，作为典型的同步例子，脑神经网络的整体同步意味着疾病的发生[10]，更常见的同步现象表现为部分同步，即网络中存在大大小小的同步簇的状态。最初对部分同步状态的研究工作基于对神经复杂度的刻画[11-12]，后来科学家提出了一个计算方法更为简单、适用范围更广的定量描述复杂网络部分同步状态的复杂度定义[13]，我们的工作就是在这个工作的基础上进一步展开的。
本课题组已分析了网络的平均度对复杂网络的整体同步能力、传播和博弈行为的影响[14]，作为这一论文的系列工作，本文讨论随机网络和配置无标度网络中平均度对描述网络部分同步状态的序参量和复杂度的影响，重点考察描述网络部分同步状态的复杂度的变化规律。研究发现，只有当网络处于部分同步状态时，平均度才会带来显著影响：平均度的增加会使得2类网络的部分同步状态变好，并且在随机网络中随着耦合强度的增加复杂度
增加速度加快、最大值减小，而对于配置无标度网络会使得复杂度出现在上升区非单调变化而在下降区减小的现象。我们还进一步讨论了网络的规模对序参量和复杂度的影响，对于随机网络，只有当耦合强度比较小时网络规模才起作用：网络规模的增加使得网络部分同步状态变差，相应的复杂度变小。对于配置无标度网络，网络规模的变化在耦合强度全空间带来影响：网络规模的增加使得网络的部分同步状态略微变差，这就使得复杂度曲线出现在上升区降低、在下降区升高的现象。
1 2个复杂网络模型、耦合系统和复杂度
描述复杂网络的参数有很多，包括网络规模(网络中的节点数量)、度(节点上所连接的边的数量)及度分布、网络的平均距离(从一个节点出发到达另外一个节点所要经过的最少的边数量为该节点对的距离，所有节点对距离的平均即为网络的平均距离)、集聚系数(一个节点的邻居间依然是邻居的概率)等。本文主要讨论网络规模N和节点度k的平均值〈k〉对网络的部分同步状态的影响。
为了准确地描述上述2个参量对网络部分同步状态的影响，本文采用随机网络模型[1-2]、配置无标度网络模型[15]、近邻耦合网络模型和小世界网络模型[16]。随机网络的生成是首先
确定网络的规模为N，然后以概率p随机地在所有节点对之间连边，那么网络的平均度〈k〉=pN(N-1)，所获得的网络即为随机网络。随机网络的度分布满足泊松分布，度的分布比较均匀。为获得配置无标度网络，我们首先要确定网络规模N，设定网络的度分布满足p(k)～k-3、最小度为k0，之后确定每个节点的度，将所有节点在满足所设定的度的条件下连接起来就获得了配置无标度网络。配置无标度网络的度满足幂率分布，度分布的异质性比较强。近邻耦合网络是将所有N个节点围成一圈，然后将每个节点与其左右各m个最近的邻居连接起来构成的，这样就形成了每个节点的度都为2×m的规则网络。而小世界网络是在近邻耦合网络的基础上将每一条边以概率p断开，保留其中的一个端点，将另一个端点连接在随机选择的一个节点上。在这个过程中避免节点的重连和自连。小世界网络的度分布也比较均匀。这样，就可以分别讨论在度分布均匀性和异质性比较强的规则、随机和复杂网络上平均度和网络规模对网络部分同步状态的影响。
在网络的每个节点上加一个动力系统，这个动力系统既可以是极限环也可以是混沌系统；让有边相连的2个节点的动力系统之间存在相互的耦合作用，边的方向即为耦合的方向，这就形成了一个动力学网络。之前的研究对象主要是网络系统的全局同步，也就是对于初始状态各不相同的节点，当其间存在相互作用时，经过一段时间后状态逐渐趋于全部相同的
状态。当网络中所有的节点的动力学性质完全相同时，通常用表达网络中所有节点之间的耦合状态的拉普拉斯矩阵的特征值来描述网络的同步能力[17]。在真实情况下，网络中每个节点上的动力系统不可能完全相同，耦合相振子——Kuramoto振子[18]就常用来分析网络上非全同振子的动力学行为。一种常用的被改进了的Kuramoto振子可以写成如下的形式：
(1)
其中，φi和ωi分别表示第i个节点的位相和固有频率，σ是耦合强度，ki是节点i的度，Λi表示节点i的邻居的集合。通常情况下，振子的固有频率在分布函数g(ω)内随机选择，g(ω)根据实际情形可以有各种形式，本文取g(ω)在0到1之间均匀但随机地分布。随着时间的演化，初始位相随机、固有频率不同的振子在耦合的作用下慢慢地实现频率和位相的同步，最终在相同的位相下以相同的频率振动。
在分析非全同的Kuramoto振子的同步规律时，常常用序参量R来描述网络的同步状态，序参量的定义如下：
极化片(2)
放血笔其中，〈·〉和[·]分别表示对时间和各种可能的固有频率的取值求平均，其值介于0到1之间，其值越接近于0表明网络的整体同步状态越差，越接近于1表明网络的整体同步状态越好，那么当其值介于两者之间时表示网络处于部分的同步状态。但是到底在序参量取何值时网络处于“最”部分同步的状态呢？为了对部分同步状态有一个定量的描述，在之前的工作中我们定义了复杂度S的概念[13]：所有节点各自振动互不影响的状态是一种简单状态，所有节点都同步、状态完全相同的状态也是一种简单状态，而网络中存在一些同步的团簇时网络的状态更复杂，通过计算所有节点对之间的长时间平均的位相差进而计算位相差分布的信息熵，归一化的信息熵就是我们所定义的复杂度：
这里将0到π/2之间的空间均匀划分m个，Pl指平均位相差落在第l个空间的节点对的概率，Sm是复杂度的最大可能取值，用于归一化，这时所有的平均位相差均匀地落在m个区间里，即Sm=ln m。在本工作中，我们取m=50。这个复杂度的取值介于0到1之间，当所有节点之间耦合强度为0，系统处于完全不同步状态时，由于每个节点的固有频率不同，任何2个节点的位相差随时间是变化的，并且位相差最小为0，最大为π，对这个位相差作足够长时间的统计平均，得到平均值为π/2，可知所有节点对的位相差长时间平均值都为π/2，位相差的分布曲线是一个δ函数，那么此时系统的复杂度就为0；当耦合强度足够大，系统
处于完全同步状态时，所有的节点对之间的位相差都为0，位相差的分布曲线也是一个δ函数，复杂度的值也为0；当网络处于部分同步状态时，有的节点间由于联系比较紧密同步状态比较接近，位相差就小了一些，而有些节点之间相互的影响小，状态差异比较大，位相差就大了一些，因此统计所有节点对之间的位相差分布就得到了一条比较宽的分布概率不均匀的曲线，这就造成系统的复杂度大于0并且整个系统的状态越复杂复杂度越接近于1。这样，网络的部分同步状态就被定量刻画出来了。
本文讨论度分布均匀的随机网络和度分布非常不均匀的配置无标度网络上的序参量尤其是复杂度的变化规律。
2 网络平均度与网络部分同步状态的关系
首先研究网络的平均度对网络部分同步状态的影响。在计算的过程中设定网络规模为1 000，在随机网络、近邻耦合网络和小世界网络中，采用网络的平均度分别为6、10、14、18；在配置无标度网络中采用的最小度分别为4、8、12、16，相应的平均度分别为6.39、12.15、16.81、20.58，小世界网络的重连概率p=0.1，数值模拟结果如图1所示。
耳机绕线器从图1可以看出，无论是对于随机网络、小世界网络还是配置无标度网络，当耦合强度比较小(网络完全没有同步)，或者耦合强度比较大(网络整体同步状态较好)时，不同平均度下的序参量差异不大；但是当耦合强度处于这2种状态之间，也就是网络处于部分同步状态时，表现出平均度越大同步状态越好的现象，并且同步状态变好的速度是越来越小的，即同步状态出现了度饱和现象。因此，当平均度比较小的时候，增加平均度有利于迅速提升网络的同步状态，但当平均度大到一定程度时平均度的作用则不明显。而对于近邻耦合网络来说，当耦合强度比较小(网络完全没有同步)时，不同平均度下的序参量差异不大；但是当耦合强度比较大时，平均度的增加能明显地提高网络的同步状态，并且耦合强度越大该效果越明显。这是由于近邻耦合网络不利于同步，网络一直处于部分同步状态，因此平均度的作用比较明显。
图1 在不同的平均度下，序参量R随耦合强度σ的变化规律Fig.1 Changes of order parameter with the coupling strength at different average degree
再来看平均度对复杂度的影响，如图2所示(图中所有曲线的平均度与图1标注相同)，平均度的改变给不同的网络带来了不同的影响，并且即使是同一种网络，在不同的耦合强度下
ca1214平均度对复杂度的影响也可能是截然不同的。我们将曲线族划分到几个空间，不同的空间内平均度对复杂度的影响满足不同的规律，比如在随机网络和小世界网络中我们划分出了3个空间：当耦合强度比较小(网络完全没有同步)时，平均度的影响几乎可以忽略(区域Ⅰ)；当耦合强度比较大(网络整体同步状态较好)时，随着平均度的增加，复杂度呈现下降的趋势(区域Ⅲ)，并且这个下降也会存在一个度饱和，表明对于大的耦合强度平均度的增加会使得系统的状态不那么复杂，这是因为在这种情况下平均度的增加使得网络整体的同步状态更好，网络的部分同步状态没有那么明显了；当耦合强度介于两者之间(网络处于部分同步状态)时，随着平均度的增加，复杂度曲线表现出左移的现象(区域Ⅱ)，并且复杂度的最大值降低。这是因为随着平均度的增加，网络在耦合强度比较小时就开始出现部分同步状态，造成了曲线左移，但同时造成部分同步状态不够复杂，因此最大复杂度呈现降低的现象。根据数值模拟可以估计出在随机网络中这3个区域的分界线约为σ=0.47和σ=0.78；在小世界网络中，这3个区域的分界线约为σ=0.45和σ=1.35。对于配置无标度网络来说，整体说来平均度的影响没有像在随机网络中那么明显，在复杂度最大值的左侧不同平均度下的复杂度差别不大，而在右侧耦合强度比较大的区域复杂度表现出与随机网络相似的变化规律：平均度增加复杂度变小。通过仔细观察也会发现3个平均度影响规律不同的区域，这
旋压皮带轮3个区域的分界线约为σ=0.45和σ=0.80。而在近邻耦合网络中，由于网络的同步状态比较差，因此复杂度曲线都是单调递增的，并且有比其他3种网络更大的复杂度极大值。这里也就不存在其他网格结构中出现的分割线。
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