利用Matlab实现H∞控制
Prof. Dr.-Ing.F.Allgwer
Institute for Systems Theory and Automatic Control
www.ist.uni-stuttgart.de/education/courses/robust
1 引 言
H∞控制器设计原理容易理解，难点在于编程。这里简单介绍Matlab里面几个相关函数的用法，希望能帮助你设计第一个H∞控制器。中频炉炼钢
Matlab提供了很多H∞设计函数，与H∞设计相关的几个重要的工具箱有：Control System Toolbox，mu-Analysis and Synthesis Toolbox(mu-tools)，Robust Control Toolbox（RCT）和LMI Control Toolbox。Matlab7.0之后的版本中，LMI和mu-tools都包含在RCT v3.0.1中，Matlab 7.0之前的版本中这些工具箱是独立的。
本文中用到的函数都写在了一个m文件中（见附录），也可以从网站下载。
利用混合S/KS问题说明H∞相关函数的用法。首先回顾这个问题。
2 回路成形传递函数
混合S/KS问题可用图1来说明。
从w到z的闭环传递函数可以表示为
广义过程模型P(s)（见图2）可以表示为
假设上面几个状态空间变量具有如下的形式：
于是可以得到P(s)的一个可能的状态空间实现形式：
其中A<1为允许的最大稳态误差，为期望带宽，M为灵敏度峰值（一般情况下A=0.01，M=2）。从控制器设计的方面来说，的倒数为回路成形期望灵敏度的上限，管影响控制器的输出u。
有些情况下希望对补灵敏度函数进行回路成形设计（在图1中增加一个输出模拟训练系统）。一种选择方法为：
此函数与函数成轴对称，见图3所示。图中参数设置为A=0.01（=-40dB），M=2（=6dB），。
3 子系统的实现
在Matlab中有几种方式得到G，WS和WKS。例如Control System Toolbox提供的ss，tf和zpk等函数。Mu-tools也提供了诸如pck，nd2sys，zp2sys等函数，也可以用mksys和tree等方法。需要注意的是，Mu-tools提供了一种与Control System Toolbox不一样的表达方式：系统矩阵（system matrix）。Control System Toolbox里面可以写成，对mu-tools则不适用。Mu-tools：
4 广义系统P的实现
广义系统P也有多种产生方式。下面我列举了五种：
（1）直接写出传递函数矩阵，见2节。我倾向于利用mu-tools。如果后面需要转化为状态空间模型，需要利用minreal之类的函数得到最小化实现。重要的函数有：sbs（side-by-side），abv（above），mmult（multiply），minv（inverse）。
（2）写出状态空间系数矩阵A,B,C,D，然后利用3节中的指令：P=pck（A,B,C,D）。
（3）利用sysic函数（system interconnect）。先在一个m文件中利用mu-tools设置了子系统，然后利用该函数将子系统互连起来。
（4）利用sconnect函数，这是LMI-tools提供的函数。子系统、输入、输出以参数的形式传递，sconnect返回互连的系统。
（5）利用RCT v3.0.1提供的iconnect函数，该函数功能与sysic类似。
这些方法中，我倾向于sysic和iconnect函数，因为它们使用灵活，能够搭建方法1和方法2难于搭建的复杂系统。一般情况下，得到均衡实现形式以避免数值计算问题是一个很好的想法，均衡实现形式可以利用Control System Toolbox提供的balreal实现。
5 控制器设计
设计问题是寻一控制器K，使之稳定系统G，并使下列的H∞范数最小：
有很多种得到H∞控制器的方法，例如hinfsyn，hinfric，hinflmi，这些函数将P作为输入，并以系统矩阵（mu-tools）方式表达。RCT v3.0.1提供了mixsyn函数，将作为输入（为补灵敏度函数权重），并不需要事先得到广义系统模型P。这些方法的主要区别在于是否用到Riccati方程和γ迭代或者线性矩阵不等式来求解最优化问题。LMI方法不需要求解Riccati时设定的假设条件。
另外还有些指令：ncfsyn和loopsyn（对开环传递函数L=GK进行H∞回路成形设计），hinfmix和msfsyn（多目标）。具体请查阅手册。
6 结果分析
当控制器设计好后，需要对结果进行分析，这时可以利用Control System Toolbox提供的函数，例如利用lsim，step（阶跃响应），bode（伯德图），sigma（奇异值），freqresp（频域响应）等函数对传递函数S，KS，T，K，GK进行分析。Mu-tools提供的函数有：trsp（时域响应），frsp（频域响应），vsvd（奇异值），vplot。
7 结论
从前面可见，有很多种进行H∞控制器设计的方法。为了避免混淆，我建议尽可能使用mu-tools和RCT。如果你知道Control System Toolbox存在某个函数，那么mu-tools也很可能存在具有相同功能的函数，只不过名称稍有些不同。如果你清楚自己的目的，但不知道函数的名字，那么建议你浏览帮助手册中的函数索引。
希望此处简短的介绍能够帮助你进行H∞控制器的设计。好运！
附录
%下面的代码展示了如何在Matlab中进行H-infinity控制器的设计。此处举的例子与混合
%S/KS问题有些不同。此处用到的模型和权重函数见Skogestad和Postlethwaite，1996，
%ed.1,p.60.权重函数并不是“最优”的。
%
%大部分函数来自mu-tools，一些来自lmi-tools。mu-tools和lmi-tools均包含在RCT
%v3.0.1中。
%-Jorgen Johnsen 14.12.06
%-------------------------------------------------------------------------
%建立子系统
%-------------------------------------------------------------------------
%Plant:G=200/((10s+1)(0.05s+1)^2)
%方法1：直接方法，利用mu-tools
车门密封条异响
G=nd2sys(1,conv([10,1],conv([0.05,1],[0.05 1])),200);
%方法2：control system toolbox
s=tf('s');
Gcst=200/((10*s+1)*(0.05*s+1)^2);
[a,b,c,d]=ssdata(balreal(Gcst));
G=pck(a,b,c,d);
%权重：Ws=(s/M+w0)/(s+w0*A),Wks=1
M=1.5;w0=10;A=1.e-4;
Ws=nd2sys([1/M w0],[1 w0*A]);
Wks=1;
%-------------------------------------------------------------------------
%建立广义系统P
%-------------------------------------------------------------------------
%方法0：直接方法
%/z1\ /Ws -Ws*G\ /r\
%|z2| =|0 Wks | | |
%\ v/ \I -G / \u/ 混凝土泵送剂
虚拟现实系统
%传递函数表达方法
Z1=sbs(Ws,mmult(-1,Ws,G));
Z2=sbs(0,Wks);
V=sbs(1,mmult(-1,G));
P0=abv(Z1,Z2,V);
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