习题三
A组
2.设3(%—00 + 2(%+勿)=5(% + a)，其中
% =(2,5,1,3)气％=(10,1,5,10)'% =(4,1, —1,1)七求向量a. 解：由已知一3。+ 2。一5。= —3%—2口2+5%,
即a = — (— 3% — 2a, + 5%) = — 6名 + 2a’ — 5%)，
6 - 6 〜'
‘6 + 20-20)(P
1 15 +
2 — 5 2 / 、T
所以a = —= = (1,2,3,4).
6 3 + 10 + 5 3 v 7
、9 + 20 — 5)屋
3.设向量组a”％,%线性无关，而向量组。]=%+%，" = %一%+%，”,3=。厂2%.试判断向量组岗，四，”3的线性相关性. 解：设数k{,k2,k3使得+ k+ = 0 成立，即
&+%) +幻(％—% +%) +知(。1 一2% ) = 0,
(灯 + k。+知)q + (k〔— k°)a。+ (k, — 2k 3)(X3 = 0.
*1 + *2 +*3= ° 1 1 1
得线性方程组<k-k2 =0，其系数行列式 1 1 0 = 1^0. k 厂21^3— 0 0 1 -2
线性方程组只有唯一解& =知=*3 = o，则向量组缶凡，A的线性无关.
5.已知向量组名= (1, 2, 3)T, % = (3, -1, 2)T,% = (2,3, c)T问c取何值时向量组a,,a2,a3线性无
关或向量组a x,a2,a3线性相关
解：设数,k2,k3使得k^+k2a2 + k3a3 =0成立，
灯 + 3k 2 + 2*3= 0 1 2 3 1
得线性方程组<2k f + 3幻=0 , 其系数行列式 3 -1 2 =-7。-5)
34] + 2k2+ck3 = 0 2 3 C
所以c —5 = 0 0 线性方程组有非零解o向量组％，如,%线性相关；
c — 5 N 0 o 线性方程组只有零解0向量组％,% ,%线性无关.
6.设向量组a{,a2,a3线性无关，证明向量组a, +a2,a2 +a3,a3+a l也线性无关.
解：设数 ,k 2 ,k 3 使得+%)+e (%+%)+ 知(％+%)= 0 成立，
& + *3 = 0
幻+*2=0， 其系数行列式 k 2+k 3 = 0
线性方程组只有唯一解k } = k 2 = kj =0 ，所以向量组％ +%,%+%,% +%线性无关.
7.设向量组a lf a 2,a 3线性无关，判断向量组a x +a 2, a 2+a 3, a 3 +a 4, a 4 + %线性相关性 并证明之.
解：设数 *I ，*2，*3，*4 使得
+*2(% +%) + *3(% +白4)+ *4(白4 +%) =° 成立
10 0 1
110 0 0 110
0 0 11
则线性方程组有非零解，所以向量组线性相关.
9.若向量组％, a 2,---a m 线性无关，而向量夕不能由％, a 2,---a m 线性表示，证明向量组 %, a 2,■■- a m , ”线性 无关.
证明：反证法.设％, a 2,---a m , ”线性相关，山定理3.1向量力可山㈤，％，•••％,，线性表示，这与已知条 件矛盾.假设不成立.所以向量组a 】，a 2, - a m ，少线性无关.
10.判断题(结论对的请在括号内打“ ，错的打“X”)
⑴若当数k { = k 2 = = k m =0时，有幻㈤+k 2a 2 + ■•• + k m a m =0则向量组％, a 2)• • • a m 线性无关.
(x ).
(2) 若有m 个不全为零的数k 1,k 2,---,k m , 使得k x a x + k 1a 1 + • • • + k m a m 0则向量组 a v a 2，■ - a m 线性无关
(x ).
(3) 若向量组a x , a 2，•- a m 线性相关，则％ 可由其余向量线性表示. (x ).
⑷ 设向量组(/) of, ,«2,•••,«,.；(//) % ,%,•••, a r ,a r+i ，…，?“.若向量组(/)%,%,•••,%■线性无关，则 向量组(//)
a r ,a r+i a m 也线性无关. (X ). (5)若向量组线性无关，则向量”不能山a x ,«2，线性表示.
(V ).
(6)若向量组a ,n 线性无关且向量«,…+1不能山a^a-, 线性表示，证明向量组
三板模得线性方程组 = 2N 0
得线性方程组
OCy , 0^2，，' °m+l 线性无关.
⑺若向量”不能由«] ,a2线性表示，则向量组线性无关. (X ).
讨论⑴一(4)，⑺，利用定理3.1和3.2讨论
(5),(6).
(1) % = (1,1, 0)了, a2 = (0, 2, 2)如3 = (1, 3, 3)r.
fl 0 1、fl 0 1、〔10 1]
解：取矩阵A = (a t,a2,a3)= 1 2 3 —*+吭0 2 2 ~r2+r30 2 2
<0 2 > <0 2 > X。o J
所以向量组的秩为3，极大无关组是
(2) %=(1,-1, 2,4)气％=(0,3,1, 2)如3= (3, 0, 7,14)「, ％=(1, T,2,0)「.
解：取矩阵A = (%,%,%,㈤)
1 0 3 1、fl 0 3 1 、1/ ，门0 3 1、fl 0 3 1 ]
r{ + r2-A. r2 + r3
-13 0-1 0 3 3 0 1 /0 110 0 110
2 17 2 _ 2* + % 0 110 -0 0 0 0 0 0 0 -4
4 2 14 0 ；—4* +「
X。2 2 -4；、0 0 0 -4；0 0 0 0 ?
所以向量组的秩为3，极大无关组是a,,«2,«4.
(3) % =(1, 2, 3, -l)T,a2 = (2, 5, 4, 1)',% = (T, 0,1, - 顶,a4 = (4, 3, 2, l)r
-lr x+r2
r i +r4<1
2
1
-1
2
4、
-5 2-2 +r3
<1
2
1
-1
2
4、
-5 「3 +
「4
<1
2
1
-1
2
4、
-5 0
<0红豆绒
-2
3
4
-2
-10
5 )
-3r2 +r30
<0
8
-8
-20
20)
<0
8
-20
0 /
所以向量组的秩为3，极大无关组是％,%,%.
14.求解线性方程组. (V ).
解：取矩阵A = 0],%，%，已4))= f 1 2 -1 4、
2 5 0 3
3 4 1 2 、T 1 -1 b
12.求下列向量组的秩，并求它的一个极大无关组.
3x 1 + x 2- 5X 3 = 0 a + 3%2—13沔=—6 2x 1 -x 2 + 3X 3 = 3 4x l -x 2 + x 3
由增广阵
*
所以
— 2
5
耳+ %2 +易=3 视 + 2X 2 - 3X 3 = 1
2尤]+3尤2 — 2易=—1
得
视 + 3X 2 -x 3 - 2X 4 = 1 2x l 一 尤2 + 2X 3+3X 4= 2 耳-4X 2+3X 3+5X 4 = 1 3邑 + 2X 2+X 3 + 明=3
1 -5 0]
'1 3 -13 -6、
<1 3 -13 -6] 1 3 -13 一6 * 5 3
1 -5 0 一3尸1+^ 0 -8 34 18
2 -1
3 3 —2弓
复合膜+必 2
-
1 3 3 -2* +匕 0 -7 29 15 〔4 -1 1 3 J
e 1 -5
一3)
<0 1 -5
-3
J
A = fl
Q 2 376r 3+r i ,10 0 1、 fl 0 0 1)
环氧树脂阻燃剂00-6-6 %+1
0 0 0 0
0 10 2 00-6-6 f +「2 0 0 11 0 0 11 〔0 1 -5 -3；
—
必 ^0 10 2；
^0 0 0 oj 阮 753 -3r 4+r] 解：由增广阵
解：由增广阵
A ==3
解:
解：由系数阵A= 2
2
-1 1
-1 -2、 -1 1 -2 -b -2r 1+r 2
—3”3
(1 0 〔0
2 -5
-5
得同解方程组＜
管理农场2x f + x 2 - x 3 + x 4 = 1
< 3xj — 2X 2+X 3 - 3X 4 = 4
X| + 4x, — 3.Y J +5》4 = —2
解：由增广阵
<2 1 -1 1 1、
<1
4 -3
5 -2、 -3r 1+r ? <1 4 -3 5
-2、
A- 3 -2 1 -3
4 r x ―
3 -2 1 -3 4
0 -14 10 -18
10
u
4 -3
5 一
2)
<2 1 -1 1 -2* +弓
mica martinezE -7 5 -9
得同解方程组
取尤3=7*1，
X
4 = 7
灯，
得通解
了2
£
=
‘％
、
/ + k[
5 7 + *2
< 1 ] -9 0
< 0 )
15.求下列齐次线性方程组的基础解系及全部解.
%, + 2X 2-X 3-2X 4 = 0
(.1) < 2X 1-X 2-X 3+X 4= 0
3X ,+X 2-2X 3 - x 4 = 0
得通解
/ \
工2
x 3 —
0 + k[ 4
7
+ *2
1 0
取 X 3=7^P X 4 =k 2,
X| =l-%x 3-x 4
-1 + .1 0
1 5 \-r
2 + r
3 0 1 1 5 J(-%)-2 0 0
7
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议