实验十五 用动态悬挂法测定杨氏模量
杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。测
量方法通常有两种，一是静态法，例如，静态拉伸法或压缩法，静态扭转和静态弯曲法；二是动态法，例如，共振法（分为横向共振法、纵向共振法、扭转共振法）和弹性波速测量法（分为连续波法、脉冲波法）。“静态测量法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量，也不能测材料不同温度时的杨氏模量。本实验用“动态悬挂法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。优点是设备简单，容易向高温延伸，适用范围大，结果稳定，温差较小。 【实验目的】
1．学习动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
3．掌握鉴别基频的方法。
4．培养学生综合应用物理仪器的能力。
【实验原理】
杨氏模量：反映材料应变(即单位长度变化量)与物体内部应力(即单位面积所受到的
力的大小)之间关系的物理量。在国际单位制中杨氏模量的单位为（2
m N -∙）。 公式表示为：L S FL L L S F Y ∆⋅=∆=// 动态悬挂法测杨氏模量的基本方法是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传
感器（一只激振，一只拾振）下面。在两端自由的条件下，使之作自由振动。测出试样的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。校正曲线
根据牛顿第二定律，当此棒做横向无阻尼自由振动，应满足以下动力学方程： 02244=∂∂∙∙∙+∂∂t y J Y s x y ρ (2-15-1)
用分离变量法解该方程，对圆形棒得：
2436067.1f d m L Y ∙∙⨯= (2-15-2)
上两式中，y 为棒振动的位移，Y 为杨氏模量，L 为棒长，d 为棒直径，S 为棒截面
积，ρ为棒的密度，m为棒的质量，f为棒横振动的固有频率，J为截面惯性矩（附录有说明），x为位置坐标，t为时间变量。
由式（2-15-2）可知，测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率 f 及各力学参数，即可计算出它在不同温度时的杨氏模量。
（解方程的具体过程不要求掌握，可参看附录。）
（2-15-2）式中需要的固有频率不能直接测出，只能测出系统的共振频率来判断金属棒的固有频率。固有频率是金属棒本身固有的属性，一旦金属棒做好之后，其固有频率也同时确定，不会因外部条件改变而改变。共振频率是指当驱动力振动频率非常接近系统的固有频率时，系统振动的振幅达到最大时的振动频率，振动阻尼越小两者越接近。当激振和拾振在节点处时，阻尼最小，无阻尼自由振动的共振频率就是测试棒的固有频率。 现实情况是，当激振点在节点处时，金属棒却无法继续激发测试棒振动，即使能振动亦无法接收到振动信号（即观察不到共振现象），最终也无法得到共振频率。所以我们采用近似法测量固有频率。近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小阻尼是可以的。因此只要实验中到节点位置，然后在节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。
本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可采用如图2-15-1所示装
置。
由信号发生器输出的等
幅正弦波信号，加在传感器I
（激振）上。通过传感器I
把电信号转变成机械振动，再
英麦曼机动
由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线把试样的振动传给传感器II
（拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。根据（2-15-2）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。
【实验仪器】
1．2YW -型动态悬挂法杨氏模量实验仪一套（含信号发生器）
2．通用双踪示波器一台
3．天平、游标卡尺、螺旋测微计等各一
【实验内容】
先按图2-15-3把实验仪器连接好，通电预热10分钟，再按下述步骤进行实验。
1．试样直径d 测5次。试样的长度L 用毫米刻度尺、质量m 用天平各测一次。
2．在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量参考值分别为：
211m N 102-∙⨯和211m N 102.1-∙⨯，实验前可先按公式（2-15-2）估算出共振频率f ，以便于寻共
振点。
3．把试样棒用细棉线挂在测试台上，悬挂点的位置放在L 776.0L 224.0和附近，共
测量5组数据。(具体位置在金属棒上第四条刻线位置)
4．把信号发生器的输出与测试台的输入相连，测试台的输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。
5．把示波器触发信号选择开关设为“内置”， Y 轴增益置于最小档（或左边第二
档），Y 轴极性置于“AC ”。
6．鉴频与测量：现将两悬线挂在金属棒两端，待试样稳定后，调节信号发生器频率
旋钮，寻试样棒的共振频率1f 。当示波器荧光屏上出现共振现象时，即正弦波幅度突然变大时，再微调信号发生器频率旋钮，使波形振辐达到极大值。鉴频就是对试样共振模式及振动级次的鉴别，所以它是准确测量操作中重要的一步。在进行频率扫描时，我们发现试棒不只在一个频率处发生共振现象，而我们使用的公式（2-15-2）只适用于基频共振的情况。所以我们要确定试样是在基频频率下产生的共振。我们用阻尼法来鉴别：如果用手沿试样棒的长度方向轻触棒的不同部位，同时观察示波器，
如果手指触到的是波节处，则示波器上的波形幅度不变，如果手指触到的是波腹处，则示波器上的波形幅度变小，当发现试棒上仅有两个波节时，那么这时的共振就是基频频率下的共振，记下这一频率1f 。
7．因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近
再生胶生产设备
调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器的显示屏上出现最大的信号。
跨栏架
8．本实验用铜棒和钢棒各做五次。
【注意事项】
1．试样棒不可随处乱放，保持清洁，拿放时应特别小心。
2．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置，再悬挂试样棒。
3．试样棒要水平，悬挂线要竖直
4．更换试样棒要细心，避免损坏激振，拾振传感器。
5．实验时，试样棒需稳定之后进行测量。
【思考题】
1．讨论测量时为何将支撑点放在测试棒的节点附近？
2. 在考虑误差传递时，主要考虑那些量的影响？为什么？
四氧化锰表2-15-1 几种固体材料的杨氏模量的参考值
铠装铂热电阻
)2注：因环境温度及试棒材质不尽相同等影响所提供的数据仅作参考。
【附录】
一、需要说明的二个问题：
1． 当测试样品不满足L d <<；时，公式（2-15-2）需要乘以一个修正系数1T ，有关内容可参考金属
材料的国家标准（912005 T /GB -中说明）。
2． 物体的固有频率固f 和共振频率共f 是两个不同的概念，他们之间的关系是：
2Q 411f f +∙=共固 式中，Q 为试样的机械品质因素。对于悬挂法测量，一般Q 的
最小值为50，把该值代入公式
，共共共固f 00005.150
411f Q 411f f 22≈⨯+∙=+∙=，可见，共振频率与固有频率相比只相差十万分之五（%005.0）。本实验中只能测量出试样的共振频率，由于相差很小，所以用共振频率代替固有频率是合理的。
二、公式推导
棒的振动方程为 ： 02244=∂∂∙∙∙+∂∂t y J Y s x
y ρ (1) 式中，ρ为棒的密度，s 为棒的截面积，Y 为棒材料的杨氏模量，J 为棒的截面惯性矩。
（截面惯性矩为各微元面积与各微元至截面某一指定轴线距离二次方的乘积，2r ds dJ ⨯=。我们在这里所取的截面是测试样品圆棒的截面，直径为d ，轴线为圆面的直径，如右图所示，通过极坐标可得θθθθd dr r r dr rd dJ cos )cos (32=⨯⨯= ，积分得.644d J π=
） 解以上方程的具体过程如下：
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