GPS整周模糊度求解算法
南京信息工程大学资源环境与城乡规划管理系，南京电子眼镜 210044
摘要：分析几种常用的整周模糊度求解算法，并归纳这几种方法的求解优缺点，在此基础之上提出一种新的快速求解整周模糊度的方法，即先对系数阵进行QR分解，然后通过矩阵变换使模糊度参数和位置参数分离，从而降低矩阵的维数，满足实时动态求解的要求，最后应用整数高斯变换和构造极值条件来提高整周模糊度的搜索速度。 关键词：GPS整周模糊度；求解方法；系数矩阵；整数高斯变换；构造极值条件
1 引言
整周模糊度的确定是载波相位测量中的关键问题。首先，因为模糊度参数一旦出错，将导致解算中的卫星到测站天线的距离出现系统性的误差，严重损害定位的精度和可靠性；而且，实践表明，载波相位定位所需的时间就是正确确定整周模糊度的时间，如何快速准确的整周模糊度，对提高定位解算的精确性、实时性有着极其重要的意义，对开拓GPS定位技术的应用领域，将其推广到低等级控制测量和一般的工程测量等领域也具有极其重要的作用。
2 整周模糊度的一般求解方法
在过去的十几年中，国内外的学者一直在研究如何提高整周模糊度的计算效率，使模糊度解算方法更加实用，为此，提出了各种不同的模糊度解算方法，有快速解算法 FARA，双频 P 码伪距法、最小二乘搜索法、模糊度函数法、卡尔曼滤波法、最小二乘降相关平差法(LAMBDA)等。除卡尔曼滤波法外，其它方法均基于搜索的原理。其基本思想是首先采用某种近似方法求得模糊度的初值，再以此初值为中心建立一个适当的搜索区域；该区域可定义为模糊度数学空间，也可定义于模糊度物理空间；然后根据某一算法在该空间逐组地船用防爆离心风机(或逐点地)进行搜索，直到某组的待检定的模糊度(或某待定的点)满足预先设定的检验阀值和约束条件，即可将该组模糊度(或该点所对应的那组模糊度)确定下来。
各种模糊度解算法所采用的搜索算法、选用的检验阀值类型、数值的大小、收敛的准则以及所加的约束各不一样；另外，确定初值的方法以及搜索区域的建立方法也各有区别，这些都直接影响到模糊度的解算速度、所需的观测时间以及解的可靠性。由于 P 码的保密性，双频 P 码伪距法的应用受到了限制，目前较广泛的快速解算方法主要有 FARA、AFM、刷毛辊LSAST、OTF和 LAMBDA法，下面针对这几种算法做简单介绍。
2.1 快速静态模糊度解算法(FARA-Fast Ambiguity Resolution Approach)
该法于1990 年 由Frei 和 Beutler 提出，与确定整周模糊度常规方法相比，这种方法所需的观测时间大大缩短。当两站相距 10km 以内，则仅需几分钟的观测数据，就可求得整周模糊度，且定位精度与常规静态相对定位精度大致相当。
FARA 方法的基本思想是以数理统计理论的假设检验为基础，利用初次平差(双差浮点解)提供的基线向量、协因数阵、单位权方差等信息，确定在某一置信区间内整周模糊度一切可能的整数解的组合，并依次将整周模糊度的组合作为已知值代入方程通过平差进行搜索，寻平差后方差(或方差和)最小的一组整周模糊度作为最佳估计值。 在双差平差模型中，整周模糊度的可能组合数，在置信水平确定的情况下，其数量主要取决于初始平差后所得整周模糊度方差的大小和所观测卫星的数量。当同步观测的时间较短，经初始平差后所得整周模糊度的方差较大时，计算工作量将会很大。因此，如何减少计算工作量、缩短搜索整周模糊度最佳估值的时间、提高其可靠性便是当前研究快速静态相对定位技术的一个具有重要现实意义的问题。
FARA 算法的出现对 GPS 静态定位产生了重大的影响，实践经验表明，在基线较短时(如<l5km)，根据数分钟的双频观测结果，就可精确地确定整周模糊度的最佳估值，并使相对定位结果的精度达到厘米级或更好的水平。这一方法，目前已经广泛应用于快速静态定位。
2.2 模糊度函数法（AFM）
模糊度函数法最早由 Counselman(1981)提出，其后又由 Remondi 引入静态定位的数据处理。Remondi (1991)和 Mader (1992)最早将这种方法用于在航模糊度解算，这是一种基于位置坐标域的搜索方法。
模糊度函数定义为：
（2-1）
式中： k 为观测历元数；
j 为每个历元同步观测卫星数；
l 为观测时所使用的频率个数；
——动态接收机正确位置(,,)处的载波相位测量双差观测值；
——有某一检测点防刺手套 ( X , Y , Z )计算出来的载波相位观测量的双差计算值。
对于单个频率、单个双差及单个观测历元-为零或整周数时，模糊度函数具有最大值 1。这一最大值出现在检测点( X,Y,Z) =(,,)(假设卫星轨道误差及其它传播延迟误差、测量误差均为零)及所有为整周数的检测点处。很显然，对于单历元、单频率的单个双差观测值对应的模糊度函数最大值为 1 的检测点不是唯一的。为了克服这一现象，对于每个检测点都应利用来自所有观测的卫星，不同的观测频率以及不同的观测历元的双差载波相位观测值联合起来计算该点的模糊度函数值。当有足够的、来源不同的观测量结合起来计算，则除了在正确的运动站位置(,,)处，模糊度函数值仍始终保持最大值外，在其它的检测点上出现最大值的现象将逐个消失。
模糊度函数法确定整周模糊度的搜索方法分三步进行：
1. 确定未知点的初始坐标，建立搜索空间
未知点的初始坐标可以用伪距或相位平滑伪距的差分定位方法来确定。搜索空间是以初始点位为中心的一个三维搜索区域，其边长可选择为固定边长(如 2m)或以初始点定位解的精度为指标(例如 3 倍标准误差)确定。
2. 逐点搜索
为了提高搜索速度，搜索一般以分级的方式进行。
第一步先将搜索空间划分为较粗的网格，为了不至于因网格较粗而丢失正确点，网格边长一般选为 0.1λ 量级(即波长的 0.1 倍量级)[28]海星吸盘。然后对于每个网格点分别计算模糊度函数值，计算可采用式(2-1)进行。实际应用中一般仅计算式中的实数值部分。更为常用的则是采用标准化模糊度函数： （2-2） 标准化模糊度函数值在[0,1]区间内。若在搜索过程中某一网格点处的标准化模糊度函数的数值大于某一阀值，即NA( X , Y , Z )> S(S 一般选择为 0.85~0.95 之间)，则该网格点将被保存记录下来，以便在后续处理检测中进一步的搜索。
第二步，搜索以第一步中NA( X , Y , Z )> S的网格点为中心重新建立较小的搜索空间，其边长选为第一步搜索中网格的边长，然后再划分为较小的网格，小网格的边长选为 0.01λ 量级，对网格点按式(5-11)计算标准化模糊度函数值，并保存NA( X , Y ,Z)>S(S一般选择为 0.95~0.99 之间)的网格点及其 NA值。在该步中对于每一个小搜索区域只需保存一个 NA 值最大的网格点。
3. 固定整周模糊度
若从上一步得到的NA( X , Y , Z )>S的检测点唯一，则以该点的坐标反向求各双差模糊度，并取整为整数值即可。若NA( X , Y , Z )> S的检测点有多个，则说明数据量不够，不足以将正确的整周模糊度区分出来，所以必须增加参与计算的历元数，直到NA( X , Y , Z )> S的检测点只有一个为止。值得注意的是，当某一历元数据不足以确定出最大模糊度函数值的点，而需要下一历元的观测数据时，应精确地考虑到历元间天线的移动量，以便将搜索区域相应地移动。
Mader(1992)的研究表明，利用单历元的观测量，必须同步观测七到八颗卫星，并且是双频观测，即可求得模糊度，单频则至少需要两个历元的观测数据。这一成果有些过于理想
化，在实际的动态定位中，由于各种误差源的影响，所需历元数往往要更多些，因此难于应用在实时动态定位中。
2.3 最小二乘搜索法（LSAST)
该法是由 Hatch(1989)最早提出的。其基本思想是，由于载波相位的观测噪声远小于载波波长，在双差模糊度和三维空间位置存在线性关系的情况下，在所有的双差载波相位整周模糊度中，只有 3 个是独立的，即，只要确定 3 个双差载波相位整周模糊度，其它双差载波相位模糊度就可以唯一的确定。在这种情况下，即可以建立模糊度域的搜索空间，以载波波长为单位，进行搜索和验证，进而确定整周模糊度，最小二乘搜索法是目前使用较多的一种模糊求解方法。
最小二乘搜索法可分为三个步骤：
1. 确定未知点的坐标并建立模糊度搜索空间：
未知点的初始坐标可采用伪距双差观测量，采用最小二乘法计算得到。在求得未知点的初始坐标后，以初始解的精度作为指标(一般取各坐标分量的三倍标准差)建立一个三维坐标搜索空间，用该空间的 8 个顶点坐标和选择的 3 个基本双差观测量分别解算出相应的模糊度初值。然后根据每个顶点上计算得到的模糊度初值，确定这三个双差模糊度参数各自的最大整数值和最小整数值。在这一搜索空间中需要检测的模糊度组合总数为： (2-3)
2. 最小二乘搜索：
(1) 从模糊度搜索空间中选取一组待检测的模糊度(称为基本模糊度组)，利用相应的 3 个双差载波相位观测量计算出动态点坐标。
空调外机隔音板
(2) 利用求得的动态点坐标计算其它双差载波相位的整周模糊度(称为剩余模糊度组)。
(3) 根据(1)，(2)中得到的双差载波相位整周模糊度，利用该历元所有的双差载波相位观测值再次进行最小二乘解算，得到动态点的坐标及相应的残差向量 V。
(4) 计算方差因子
= （2-4）
式中：V 为双差观测值的残差向量，C 为双差观测值的协因数阵，n 为双差载波相位观测值的方程的个数，u 为模糊度的个数，n-u 为自由度。
若小于某一限值，则将该组整周模糊度参数和存入结果文件。否则将该组整周模糊度参数剔除。
(5) 重复(1) ～ (4)，直到检测完所有的整周模糊度组合。
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