康明昌
▪ 1.前言
▪ 2.几何三大问题简介
▪ 3.为什么这些问题无解？
▪ 4.超越数简介
▪ 5.ca1521航班几何三大问题不是几何学研究的主流
古希腊人在几何学的研究开创了一个辉煌的时代。Euclid（欧基里德，约纪元前300年）的《几何原本》(Elements) 总结了当时希腊数学发展的成果。由于几千年经验的累积，人类已经能够掌握许多几何知识。如何有效的运用、正确的认识、以及更进一步的发展这些知识，
促使希腊人有系统的去整理它们。这个工作的结果，就是《几何原本》的纂成。《几何原本》是希腊文明结晶品之一。
《几何原本》把纷杂的知识变成一个演绎系统，推演出来有条不紊的定理；而这个系统所根据的（也就是没有加以证明的）只是少数几个看来相当明显并且合乎人类经验的现象。这几个「不证自明」的现象叫做「公理」(axioms 或 postulates)；由这些公理出发，Euclid 可以推演出当时人类已经获得的几何知识。 几何作图是几何学研究的一个课题。正如希腊人整理《几何原本》秉持的一贯精神，他们把几何作图的「竞赛规则」定得清清楚楚。希腊人的几何作图只准用（没有刻划的）直尺和圆规。据说，在纪元前351年的 Menaechmus 曾经建议把拋物线的制图仪也列入合法的作图工具，结果（根据 Plutarch 的说法）被Plato（柏拉图）痛斥一顿，Plato 认为使用陋俗工匠制造的仪器来作图，是在污辱几何学。 古希腊人在研究几何作图时，有三个问题无法解决，这就是通称的古希腊几何三大问题。这些问题直到十九世纪才证明是无解的。所谓无解并不是数学家不能答复这些问题，而是数学家能够证明这些作图问题是办不到的，就像一般人能够证明方程式 x2+1=0 没有实数
车载影院根的情况一样。
既然这些问题是无解的，那么几何学家岂不是没事干了？事实恰恰相反，从十八世纪末期以来，几何三大问题就已经不是几何学研究的主流；十九世纪几何学研究的主流是，射影几何、非欧几何、微分几何与代数几何。因此几何三大问题的无解并没有给几何学家任何冲击。
如果这么说的话，几何三大问题的解决岂不是毫无意义吗?这也不尽然。几何三大问题的解决，一方面结束了几个历史性悬而未决的问题，更重要的另一面是，它引发了新的问题──也就是超越数的研究。超越数的研究使数学家更熟练的驾驭复数系，更透澈的洞悉复数系的本质。超越数的研究就是数学家通称的「Diophantine analysis and transcendental number theory」，这是目前数学研究非常热门、非常重要的一部份。
本文的主题是介绍几何三大问题与超越数的基本概念，同时也介绍十九世纪几何学的几个主要方向。
古希腊几何三大问题是，在只准使用（没有刻划的）直尺与圆规的限制之下，求解以下的作图问题
1. （方圆问题）求作一个正方形，使其面积和半径为 1 的圆面积相等；
2. （倍立方问题）求作一个正立方体，使其体积为边长为 1 的正立方体的 2 倍；
在欧氏平面几何学中，我们知道古希腊人能够做出长度为任意有理数的线段；他们也能做出长度为 、、 的线段。他们能够做圆内接（或外切）正五边形、正六边形。但是他们始终做不出以上三个作图问题。因此他们认为这三个问题一定是非常困难的，以后的历史证明的确如此。
简单的分析一下，方圆问题其实是要做出长度为 的线段，倍立方问题是要做出长度为 的线段。三等分角问题也极为类似，因为如果给我们一个角度 θ， ，（假设已经选好单位长度）我们就可以求得 ，令其为 α。如果我们能够求出 ，我们就可以做出 的角度。但是，
因此，x 满足以下方程式：
其中 是已知线段长度。令
因
故知方程式 有三相异实根，x 是唯一的正根。
归根究底，所谓几何三大问题无非是，给定一个单位长度；
1. （方圆问题）求作一个长度为 的线段。
2. （倍立方问题）求作一个长度为 的线段。
3. （三等分角问题）先给长度为 α 的线段，求作一个长度为 x 的线段，而 x 满足 。
问题既然转化成这种形式，我们当然要问：到底有那些长度是作得出来的？那些长度是做不出来的？如果我们令
S = { r : r性引诱 是任意实数；在给定单位长度 1 时，我们利用直尺与圆规可以作出长度为 |r| 的线段 }。
那么，方圆问题与倍立问题变成 与和 是否在 S 之内。同样的，令
T = {r : r 是任意实数；在给定单位长度 1 与另一长度 α 时，我们利用直尺与圆规可以做出长度为 |r| 的线段 }。
很显然的，S 与 T 都包含有理数，并且 、、 、 都落在 S，也落在 T。
由比例定理可知，如果 ，则 。可知 S 是实数的子集合，并且 S 之内可做加、减、乘、除之后，仍然落在 S 之内。同理可讨论 T。
更重要的是，如果 ，取 1 与 a 的等比中项，则 （若 a>0）。如果 ，且 x2-ax+b=0，则 （若a2-4b>0）。因此，如果一个二次方程式的两根都是实数，且其系数都在 S，则此二根也在 S。
到底 S 与 T 是什么样的集合呢？在讨论这个问题之前，我们先给一个定义。
定义：若 U 是复数的一个至少含有两个元素的子集合，且 U 之内的任意两个元素做加、减、乘、除（0 不能做除数），其结果仍然落在 U 之内，则 U 称为一个体(field)。 2
定义：若 Q 表示所有有理数的集合，u 是任意实数，定义 其中 f(T)，g(T) 是 Q 上的多项式，且 }。同理，若 U 是一个体，可定义 U(u)。很容易检查 U(u) 仍然是一个体。利用归纳法，我们把 定义为 ，把 定义为 。
所谓的几何作图，无非是保证我们能够做出直线：aX+bY=c。与圆 (X-a1)2+(Y-b1)2=c12，其中 a，b，c，a1，b1，c1 都是已给定的线段的长度。我们当然可以让直线与直线相交，直线与圆相交，圆与圆相交。除此之外，我们是无能为力了。让直线 aX+bY=c 与圆 (X-a1)2+(Y-b1)2=c12 彼此相交，其交点坐标如果是 (x,y)，则 或 ，其中 。（为什么？）因此我们证明了以下的定理。
定理：
(1) 的充分必要条件是存在 r1,r2,…,rn=r，使得 ，i=0,1,2,…,n-1。
(2) 的充分必要条件是存在 r1, r2,…,rn=r，使得 ，i=0, 1, 2,…,n-1。
第一节的讨论把几何三大问题变成代数问题。要证明这三个作图问题只利用直尺与圆规是作不出来的，我们就要证明 , , ，其中 。 siro 1300
先给几个定义。
定义：
令 U 为一个体，n 个复数 x1,…,xn 叫做在 U 上线性独立(linearly independent over U) 的意思是说，以下的关系不可能成立， ，其中 ，某些 。如若不然， x1,…,xn 叫做在 U 上线性相依。
例如，1 与 在 Q 上线性独立，1 与 在Q () 上线性相依。同理，如果把线性独立的概念推广到二度空间的向量，那么两个向量 与 在实数 R 上，线性独立的充分条件是 OV1V2 是一个真正的三角形（没有退化成线段）。
定义：
若 U 与 V 都是体，且 U<V（U 是 V 的子体），我们要定义 V 相对 U 的维数，记为 [V:U]。定义： 的意思是说存在 n 个数 x1,…,xn ，且 x1,…,xn 在 U 上线性独立。如果 ，且 ，（其中 x1,…,xn 在 V 上线性独立， ：其中 ），则我们把 [V:U] 定为 n。
例如
因为 1,,, 在 Q 上线性独立，且 ，（何故？） 3
现在我们可以证明以下几件事：
(1) 若 u1,…,un 是 n 个数，且
则
(2) 若 ，则 [Q(u):Q]=2n；若 ，则 ，其中 n 与 m 是非负的整数。
(3) 大于任意正整数。事实上，对于任意正整数 n,1,π,,…, 在 Q 上线性独立。当然，1,π,,…, 。
(4)
(5) ，如果 油田水处理，且 是 上的不可约多项式。 4
第(1)的证明，利用数学归纳法，只要注意 1 与 ui+1，在 上线性独立，
当然还要证明一件事， ，如果 。
只要利用(1)与上一节的定理，就可得到第(2)。
第(3)是非常困难的，我们还会继续讨论。
第(4) 1,, 在 Q 上线性独立，且 。
第(5) 1，x,x2 在 上线性独立，且
综合(2)与(3)，可知 。
综合(2)与(5)，可知 的充要条件是多项式 是 上的不可约多项式。可以证明，当 ，，，或不为零的代数数（见下节）， 是 上的不可约多项式。
综合(2)与(4)，可知 。
因此，古希腊几何三大问题是无解的，得证。
以上的证明，读者如果还不十分清楚，请参考以下书籍：
F. Klein,《Famous problems of elementary geometry》。
N. Jacobson,《Basic Algebra I》。
Klein 的书写得明白晓畅，极适合初学者。这本书讨论几何三大问题比本文更详尽。余介石先生曾翻译本书，名为《几何三大问题》，收在商务印书馆人人文库之内。可惜这本书中译本字迹模糊，印刷粗陋，极伤目力。
如果读者具备一些基本的抽象代数的知识，Jacobson 的书也可以参考。
几何三大问题在十九世纪才获得解决。在十九世纪初期法国数学家 Evariste Galois（1811～1832年）发明 Galois theory 来解决五次或五次以上不可约方程式有没有根式解的问题。在 Galois theory 中，体的扩张 (extension) 是一个基本的概念。只要具备体的扩张的几个基本概念，如维数、有理化分母、维数的相乘性，就可以解决三等分角问题与倍立方问题。1837年，Pierre Laurent Wantzel（1814～1848）提出这两个问题的解法。几千年
来困扰人类的难题，一夜之间变成一个简单的习题。
至于方圆问题，因为要证明：对于任意正整数 n,1,π,…, 在 Q 上线性独立（也就是π是一个超越数，见下节），是一件比较麻烦的事。这件事，直到 1882年，才由德国数学家 Ferdinand Lindemann（1852～1937年）予以证明。
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