张宜兴（江苏省沛县初级中学 221600）
摘要：几何课本里有全等三角形、相似三角形，而没有共边直角三角形，但共边直角三角形在几何图形中出现的频率却很多，几乎随处可见，并且还有着广泛的应用。特别是近几年中考中，利用共边直角三角形的特点去解应用题和证明几何题频频出现，它及其贴近生活，充分调动了同学们“用数学”的意识。本文将对共边直角三角形的三种情形的特点及应用做一剖析。 关键词：共边直角三角形；构造与应用；用数学
伟大的教育家陶行知先生的生活教育理论告诫我们：教育必须基于生活，源于生活，为了生活。现代教育理念也要求我们“教育不仅要使学生懂得知识，更要使他们学会应用”。翻阅近几年的各地中考试题，就会发现很多试题的背景和现实生活密切联系，如上海世博，哈尔滨冬奥会，校园安全等，充分体现了数学源于生活，服务于生活这一全新理念。特别
是解直角三角形这一部分更是每年中考的必考知识点之一，它常以现实生活为背景，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，但是却能考查出考生应用知识解决问题的能力，尤其在构造具有公共边的直角三角形解应用题和证明方面，更能体现学生“用数学”的能力和意识。
数学家苏步青认为：要学好数学，方法不外就是打好基础、多做习题、多加思索和分析。从一般性的知识中出共性，是一件事半功倍的事情。共边直角三角形就是一类在解三角形和几何证明题中经常应用的共性问题。
一、 共边直角三角形的特点
1、定义：如果两个直角三角形有公共边，称为共边直角三角形对，简称共边直角三角形。
2、特点：共边直角三角形因是在两个直角三角形中，并且有一条公共边，因而我们常把这个公共边作为“桥梁”，应用勾股定理和三角函数等数学知识建立两个三角形中的边的关系，从而赢得问题的求解。
3、常见类型：公共直角边和公共斜边。
二、共边直角三角形的构造与应用
（一）公共边是直角边的情形
1、两三角形在公共直角边同侧
如图，此时的两共边直角三角形有一个公共直角边重合，另一条直角边在同一条直线上，满足BD-AD=BA。
例1、如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（眉山市2010年中考试题）
分析：求旗杆高度、教学楼高度等是新课程要求同学们在综合实践课上要掌握的内容。本次考试就相当于一次作业检查。本题中要求教学楼AB的高度，实际上只要求出AG的长度就可，而AG是共边直角三角形AFG和ACG的公共边，则由三角函数容易求得。
解：在Rt△AFG中， ∴
在Rt△ACG中，
∴ 又
即 ∴
∴（米）
答：这幢教学楼的高度AB为米．
巩固练习:
《中华人民共和国道路交通管理条理》规定：“小汽车在城市街道上的
行驶速度不得超过千米/时．”如图所示，已知测速站到公路的距离
为30米，一辆小汽车在公路上由东向西行驶，测得此车从点行驶
到点所用的时间为2秒，并测得，．计算此车从到的平均速度为每秒多少米（结果保留两个有效数字），并判断此车是否超过限速．（参考数据：，）
2、两三角形在公共边两侧
如图，此时的两共边直角三角形有一个公共直角边重合，另一条直角边也在同一条直线上，但满足BD+AD=BA。
例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.
问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？（2010年衡阳市中考试题）
分析：本题联系生活密切，趣味性强.在应用题中设计是否安全、合适等问题是十分常见的题型，比一般题目多了判断的过程，千万不要紧张。题目中要判断保护物是否在危险区实际上就转化为求树高AB的长度，稍作分析可知，过C作AB的垂线，构造共边直角三角形，通过简单的三角形关系容易求得。
解：过C作CE⊥AB，垂足为点E．∴CE∥DB ∠CBD任一农=∠ECB=30°
∴四边形BECD是矩形,BE=CD,CE=BD在Rt△BDC中，∵BD=3，∠CBD=30°．
∴CD=BD tan∠30°= =BE 在Rt△ACE中，∵BD=CE=3
∴AE= CE tan∠60°=3储血冰箱 ∴AB=AE+BE= 3+ = 4摩托车雨棚 ≈6.928 ＜8
∴ 保护物在危险区外
答：距离B点8米远的保护物不在危险区内。
巩固练习:
2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府
广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米
的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角
是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？
（结果精确到0.1米）
（参考数据： ）
（二）公共边是斜边的情形
如图，此时的两共边直角三角形有一个公共斜边重合，另两条直角边可在公共斜边同侧，也可在公共斜边异侧，均满足AB+BD=AC+CD=AD。
例3、如图改性沥青稳定剂9，P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．求证：（1）；（2）点P在∠BAC的角平分线上．
（2009年怀化市中考试题）
分析：本题是一道几何证明题，初看并没有思路，但是稍作分析便会发现：欲证PE=PF,只需证PE、PF所在的三角形全等，但题目中没有三角形，因此可连结AP构造两个共边直角三角形AEP和△AFP，证它们全等即可。这里AP作为桥梁，问题迎刃而解。（1）证之后，（2）则顺手可得。
证明：（1）如图1，连结AP，
∴∠AEP=∠AFP= 又AE=AF，AP=AP，
∴Rt△AEP≌Rt△喷嘴清洗AFP，∴PE=PF
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上
例4、如图，已知：△ABC中，∠C=,D是BC的中点，DE⊥AB于E.
求证：AE-BE=AC
分析：AE、BE、AC不在同一个三角形中，勾股定理不好使用，如果连结AD，则构成共斜边的两个直角三角形，可用勾股定理连续证得。
证明: 连结AD,则 AD是Rt△ACD≌Rt△AED的公共边，
由勾股定理可得：
AE+ DE=AC+DC ∴AE-( DC- DE)= AC
在Rt△BED中，EB=BD-ED 又CD=BD ∴EB=BD-ED=CD-ED
∴AE-EB=AC
巩固练习:
如图，四边形ABDC中，∠ABD=∠ACD=，AB=BD=3，AC=4，求四边形ABDC的面积。
（三）公共边是直角边且两个锐角互余的情形
如图，此时的两共边直角三角形除有一个公共直角边重合外，且另一条直角边也在同一条直线上，还有∠ACD+∠BCD=，这时图形中有三对相似三角形，并且还有相应的边角之间的关系。如图，三角形之间有Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，边长之间有：AC=AD·AB，BC=BD·AB，CD=AD·BD，角与角之间有：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，它们常用于计算和证明。
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于水塔水位控制器D，若AD=1，BD=4，求CD的长。
分析：图中共有6条线段，任知其二，我们可以顺求其四。
简解：易知，Rt△ACD∽Rt△CBD，∴CD=AD·BD
∴CD=1×4=4 ∴CD=2.
例6、如图所示，AD是Rt△ABC斜边上的高，DE⊥DF, 且DE和DF分别交AB、AC于E、F. 求证： =（2010年合肥市中考试题）
分析：所证比利式中四条线段为△AFD与△BED的边，只需证△AFD与△BED相似即可。
简证：由题易知，∠B=∠DAC，∠C=∠BAD.又因为∠ADF与∠BDE都是∠ADE的余角，∴∠ADF=∠BDE，∴△AFD∽△BED，∴ =
巩固练习:
如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD＝4,cosB＝,求
AC的长。
公共边是共边三角形的桥梁和纽带，它起着搭桥和牵线的作用。共边直角三角形则是解决测旗杆、楼房、高山的高度、测量楼间距、判断轮船是否触礁，修建公路时判断道路是否通过某一保护区、判断噪音源能否影响某一地方等诸多问题和一类共斜边直角三角形的证明问题的一个好抓手，基础，典型；很容易引起同学们的研究兴趣，不失为一类师生共赏的好题。
参考文献：
[1] 朱文芳.研究数学学习时应注意的问题[J].中国数学教育（初中），2010（5）
[2] 周德藩.缤纷行知路[M].南京：南京师范大学出版社，2007
[3] 胡秀芝.共边三角形的一个性质及应用[J].中学数学研究，2006（8）
[4] 张景中、彭翕成.共边定理【J】中学生数理化2007（11）
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议