学 习 任 务 | 核 心 素 养 |
1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点) | 1.通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养. |
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已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
知识点1 双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质
标准方程 | －＝1(a>0，b>0) | －＝1(a>0，b>0) |
图形 | | |
性质 | 范围 | x≥a或x≤－a | y≤－a或y≥a |
对称性 | 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 |
顶点 | 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) | 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) |
轴长 | 实轴长：2a 虚轴长：2b |
渐近线 | y＝±x | y＝±x |
离心率 | e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ | 刮奖卡制作
a，b，c的关系 | c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) |
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(2)双曲线的中心和等轴双曲线
①双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
②等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.
1.双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
[提示] 以双曲线－＝1(a>0，b>0)为例．
e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以内网审计e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同． ( )
(2)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．热轧板 ( )
(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． ( )
(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线． ( )
[提示] (1)√ 双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的位置不一样，但是形状相同．
(2)× 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
(3)× 等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
(4)√ 等轴双曲线的离心率是.
2.双曲线－＝1的顶点坐标是( )
A．(±5,0) B．(±5,0)或(0，±3)
C．(±4,0) D．(±4,0)或(0，±3)
A [双曲线顶点在x轴上，且a＝5，故选A．]
知识点2 直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
Δ的取值 | 位置关系 | 交点个数 |
k＝±时(此时m≠0) | 相交 | 只有一个交点无骨花灯 |
k≠±且Δ＞0 | 有两个交点 |
k≠±且Δ＝0 | 相切 | 只有一个交点 |
k≠±且Δ＜0 | 相离 | 没有公共点 |
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2.直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？
[提示] 不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交．
3.过点(0，b)的直线和双曲线－＝1(a>0，b>0)只有一个公共点，这样的直线有几条？
[提示] 4条，其中两条切线，两条与渐近线平行的直线．
类型1 根据双曲线方程研究其几何性质
【例1】 (对接教材P124例题)(1)双曲线－＝1的左顶点到其渐近线的距离为( )
A．2 B． C． D．3
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(3)已知双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线为y＝x，则实数a＝________.
(1)C (2)C (3)1 [(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则a＝3，b＝4，c＝5，
从而双曲线左顶点A1(－3,0)，一条渐近线方程为y＝x，即4x－3y＝0，
则左顶点到渐近线的距离d＝＝，故选C．
(2)由e2＝1＋得＝1＋三相混合步进电机，
∴＝，即＝，
又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程为y＝±x，故选C．水位显示器
(3)由双曲线方程知，双曲线的焦点在x轴，则＝2，
即a2＝1，∴a＝±1，又a>0，∴a＝1.]
由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键．
(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线－＝1的左焦点F1(－c,0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝.
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