学术研究\ China Science & Technology Overview
谢清晨
(上海市进才中学，上海200135)
摘要：铅球是广受民众喜爱的一项田径运动，铅球运动成绩的好坏除受运动员自身身体条件限制以外，背后还隐藏着非常丰富 的物理学原理。本文应用抛体运动基本知识，对铅球出手角度与落地距离之间的函数关系进行了研究，在此基础上推导了最佳出手角 度，使得铅球在该出手角度下能够抛出最远距离。结果表明，铅球落地距离与其出手初速度以及出手角度有关，且存在一个与运动员 身高以及铅球出手初速度相关的最佳出手角度。最后，在计算机中利用Matlab对铅球最佳出手角度进行了数值检验，验证了理论分析 的正确性。 关键词：抛体运动；空气阻力；最佳出手角；数值模拟
中图分类号：G824.1 文献标识码：A 文章编号：1671-2064(2020)23-0156-03道生液
0.引言
影响铅球运动成绩的好坏不仅受于运动员自身力量、身高、体重等身体条件的限制，还与其背后的物理学原理 和客观影响因素有关。
目前对于抛体运动的相关研究已有多篇文献论及，高 彩云对抛射体的运动轨迹进行了理论分析和Matlab数值 模拟[1]。郑智健对空气阻力作用下的抛体运动方程进行了 研究[2]，研究结果表明，在抛射体质量较轻时，空气阻力 对抛射体运动轨迹的影响是不可忽略的。苏安对抛体运动 与单摆运动进行了 Matlab数值模拟131，通过建立上述两 类运动的基本方程，借助Matlab这一数值模拟软件，将 抛体运动与单摆运动的动态过程展现出来，生动而直观。
2v〇sina
x=v0cosa* t =v0c o s a------v0zsin2a
9⑷可见，对于抛出点位于地面上的物体而言，其射程与 初速度的平方成正比，同时与物体抛出时初速度方向有 关。当a=45°时，式(4)取得最大值，即当抛出角为45° 时，可获得最大射程： Xmax=—⑶
然而，对于铅球运动而言，其抛出点具有一定的高度 (通常位于运动员头部位置），因此上式最大射程不能直接 用于铅球落地距离的计算，对于铅球运动需要建立新的运 动学模型。
本文将铅球运动简化为离地具有一定高度的斜抛运
李雨青对抛体运动中抛射角度与抛射距离之间的关系进行 了实验研究[41，得到了不同抛射角度下抛体运动的抛射距 离。刘尚昊对斜抛运动抛射角度与距离之间的关系进行了 理论探究151。沈卫对抛体运动的分解方法进行了研究[61，在传统正交分解方法的基础上，研究了斜交分解方法，为 斜抛运动的分析提供了新的技巧。
1.铅球运动的轨迹方程
1.1铅球运动的基本方程
对于斜抛运动而言，物体只受竖直方向下的重力作 用，可得物体在空中运动的水平位移和竖直位移如下：x=v〇cosa*t(1)
7=v〇sin a* t-^g t2(2)
对于抛出点位于地面上的物体而言，其最大射程可以 表示为物体水平方向的分速度与运动时间的乘积，令式(2)中y=0，可得斜抛运动落地时间表示如下：
2v0sin a
t = _V⑶
车载硬盘根据式（3)可得，对于抛出点位于地面上的物体而言，其落地点与抛出点之间的距离（射程）关系可以表示为：动，如图1所示。图中h为铅球抛出点高度，％为铅球 抛出时的初速度，a为铅球抛出时初速度方向与水平方向 的夹角。
由图1可知，铅球在水平方向上匀速直线运动位移与 竖直方向上的自由落体位移可表示如下：
x=v〇cosa*t(6)
氮气冷却系统v=v〇sin a *t-^g t2(7)以竖直向上为正方向，当铅球落地时，其竖直方向上 的位移为-h。因而由式可得铅球在空中的运动时间。
收稿日期：2020-11-05
作者简介：谢清晨，男，上海人，研究方向：物理。156 2020年12月上第23期总第
347期
China Science & Technology Overview /学术研究^g t2 -v0sina * t-A=0(8)
解上述二次方程并略去t<0的解，可得铅球落地时间：
v〇sina+^Jv0sina2+2g^ (9)
9
萝卜切条机由于铅球在水平方向上做匀速直线运动，将式(9)代
入式(6)可得铅球落地点与其抛出点之间的水平距离（射
程）为：
v0sina+l(v0sina)2+2g/f/-,
x=v0cosa * t=v0cosa *------：L-^--------
由式（10)可知，铅球的射程与其抛出时的初速度的大
小和方向以及抛出点距地面的高度有关。然而，相较式(4)
抛出点位于地面上的物体射程函数而言，对式（10)函数
求取最大值（即铅球的最大射程）是一项比较复杂的工作。
1.2铅球最大射程求取
通常，对抛体运动的分解方法主要是将抛体运动分解
为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运
动，由此可得式（10)射程函数。然而，对式（10)函数难
以求取最大值。因而本文采用独特的分解方法，即建立图1
所示的“斜坐标系”。本文通过转换坐标系的方法，可以
很方便的求解铅球的最大射程，从而避免对式（10)复杂
函数求最大值的难点。
在图1由抛体竖直位移，射程以及沿初速度方向的位
移为边所构成的三角形中，利用勾股定理可以得到水平位
移，即铅球在抛射角为a时的射程。
x2 = 〇0t)2-〇2-》）=->2t4 +
(v〇2 +g/i)t2 -h(11)
整理可得，铅球射程的平方是关于其落地时间的函
数，在对此函数进行换元，令t2=t，函数变为二次方程，铁桶包装
如下式所示：
x2^-^g2t2+[y02 +g/i)t-h(12)
由式（12)可方便的求出铅球射程取得最大值时铅球的
运动时间，即铅球运动时间满足下式时，可获得最大射程：
t=J2(v°2+祕(13)
9
此时，铅球竖直方向的位移y=l/2gt2。由图1中的三
角形关系可得，当铅球获得最大射程时抛射角满足：
sin a l3t2~A
V〇t
」2〇02切々)
1.3空气阻力的一般规律
(14)
具有一定体积的物体在空气中运动时，由于要排开前 方空气，因而不可避免的受到空气阻力的影响，且该阻力 与运动物体的形状、体积、表面光滑程度以及物体的运动速度均相关。根据斯托克斯定律可知，半径为R的球体在 空气中所受的粘滞阻力为：
f=6nr|uR(15)
由式（15)可知，当铅球抛出后其沿运动方向的阻力与 其运动速度成正比，从而在空气阻力的作用下，铅球向前 的水平速度将被削弱，使其运动轨迹偏离理想状态下不受 空气阻力的抛物线，呈现一条“弹道”轨迹。
1.4空气阻力作用下铅球的运动方程
如式（14)所示，以铅球抛出点为原点建立直角坐标 系，把式（15)的空气阻力分别分解在水平方向和竖直方 向上，如图2所示。
图2铅球所受空气阻力示意图
根据牛顿第二定律F=m a=m A v/At，即速度变化量除 以时间变化量Av/At与质量m的乘积等于物体所受的合 外力，因而可分别在水平和竖直两个方向上列写牛顿第二 定律方程，构成如下方程组：
{
kvsind+m g=kv v+m g=-m—
,a^A t(16)
kvcosd=kvx=
其中，vx、v y分别为铅球速度在水平和竖直两个方向 上的分量，0为铅球速度与水平方向的夹角，k为空气阻 力的比例系数。随着铅球的运动，铅球速度的大小，方 向都是变化的，因而当受到空气阻力时，铅球在空气中做 变加速曲线运动，即上式铅球速度的两个分量均为时间的 函数。
通过查阅文献资料，形如式（15)的方程描述了物体速 度变化率与力之间的关系，称为微分方程，由于方程中各 项系数，如比例系数k以及铅球的质量均为常数，因此上 述微分方程为常系数微分方程，可直接利用常系数微分方 程公式进行求解，从而得出铅球两个分速度随时间的变化 关系，如式（17)所示：
(_±
I vx =v0cosde m
冷冲模ly；c=(l f+v〇s i n d) e~^ ~()
其中，vx、v y分别为铅球速度在水平和竖直两个方向 上的分量，0为铅球抛出时的初速度与水平方向的夹角，k为空气阻力的比例系数。
由式（17)可知，当铅球受到空气阻力作用时，其水平 速度与时间呈负指数规律衰减，从而使铅球水平速度逐渐 减小，若铅球在空中运动的时间足够长，其水平速度将衰 减为0，而仅剩下竖直方向速度做落体运动。
2.计算机数值分析
2.1运动参数与初始条件
设运动员出手时铅球的速度通常在30k m/h左右，且
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此初速度越大铅球的射程越远。本文在Matlab 软件中设 置铅球抛出速度为10m /s ，取重力加速度为9.8m /s 2，认 为铅球运动员掷铅球时的出手高度为1.75m
2.2铅球最佳出手角度理论验证
将2.1节所设置的铅球初始运动参数输入Matlab 中， 利用Matlab 软件对0°〜180°范围内的抛掷角度进行射程 计算，从而绘制“出手角度一射程”曲线如图3所示，并 在图中标出极值点的位置如下。
图3铅球“出手角度一射程”曲线
由图3可见，在铅球初速度为10m /s ，出手高度为 1.75m 时，随着铅球出手角度的增大，其射程先增大后减 小，存在极值。当出手角度为41°左右时，铅球可获得最 大抛射距离。当出手角度增大为90°左右时，其射程降为 0，即此时相当于竖直上抛，无水平位移。对比式（13)理
论计算结果，可见竖直仿真与理论计算高度吻合，从而验 证了本文理论计算的合理性。
3.结论
铅球作为一种广受民众喜爱的田径运动，其背后还隐 藏着非常丰富的物理学原理。本文应用抛体运动基本知 识，对铅球出手角度与落地距离之间的函数关系进行了研 究，在此基础上推导了最佳出手角度。理论计算结果表 明，铅球投掷距离还与其出手角度有关，在铅球出手初速 度以及出手高度一定的条件下，铅球射程与出手角度曲 线存在某一极值，运动员可通控制铅球出手角度（通常为 41°〜43°)以获得最佳比赛成绩。参考文献
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[6] 沈卫.投影不怕坐标“斜”分解就要“速”不变：论斜抛运动 问题中斜交分解法的应用[J ].物理教学,2020,42(8):50-52.
Calculation and Numerical Simulation o f the Best Angle o f Shot Put
XIE Qingchen
(Shanghai Jincai Middle School, Shanghai 200135)
Abstract:Shot put is a track and field sport that is widely loved by the public. However, the performance of shot put is
not only limited by the athlete's physical condition, but also has a very rich physics behind it. This arti
cle uses the basic knowledge of projectile motion to study the functional relationship between the shot angle and landing distance. On this basis, the best shot angle is deduced so that the shot can be thrown at the farthest distance. The results show that the landing distance of the shot put is related to the initial speed and angle of the shot, and there is an optimal angle of shot that is related to the athlete's height and the initial speed of the shot. Finally a numerical test was carried out on the best angle of shot put using Matlab in the computer, which verified the correctness of the theoretical analysis.
Key words'.projectile motion;air resistance;optimal angle of shot;numerical simulation
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