2021-2022高考数学模拟试卷含解析
裹尸袋注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆2
2
2
x y n +=上两个动点，且满足()2
*2
n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()310x y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S m <；恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B ．3
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294
C ．882
D ．1764
3．记集合(){}
2
2,16A x y x
y =
+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω，若在区
域1Ω内任取一点，则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．
1
4π
B ．
1π
C ．空调控制板
12πuvlo电路
D ．
2
4ππ
- 4．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}
120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
5．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线2
2(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ） A ．22
B ．32
C ．42
D ．
32
2
7．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．
1
4
B ．
13
C ．
532
D ．
316
8．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A ．43π
B ．4π
C ．42π
D ．3π
9．为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
10．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5}
B ．{1,2,3,4}
C ．{2,3,4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
11．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
氮气冷却系统D ．既不充分也不必要条件
12．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ==，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） A ．
3
2
B ．
33
C ．
155
D ．
105
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列{}n a 满足公比1q ≠，n S 为其前n 项和，2S ，4S ，6S 构成等差数列，则2020S =_______． 14．圆2
2
:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.
15．已知函数211
,0
()62
ln ,0
a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.
16．已知集合{1,2,4}A =，{
}
2
|20B x x x =-<，则A
B =__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表： 假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.
（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率； （2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“1k ξ=”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“0k ξ=”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（1,2,3,4,5,6k =）.写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系. 18．（12分）如图，焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点()0,1M ，中心都在坐标原点，且椭圆1C 与2C （Ⅰ）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；
（Ⅱ）过点M 的互相垂直的两直线分别与1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当MAB ∆的面积取最大值时，求两直线MA ，MB 斜率的比值.
19．（12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos 3)cos 0(C A A B += （1）求内角B 的大小
（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值. 20．（12分）已知函数2
()ln ()f x x x ax a =-+∈R . （1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；
（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点.
21．（12分）已知函数()1f x x =-． （1）求不等式()1f x x x ++＜的解集；
（2）若函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 22．（10分）已知函数f （x ）2
12
x =
-ax ﹣lnx （a ∈R ）. （1）若a ＝2时，求函数f （x ）的单调区间； （2）设g （x ）＝f （x ）232x +
+1，若函数g （x ）在1e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上有两个零点，求实数a 的取值范围. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
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1．B 【解析】
金玻璃由于,n n A B
到直线()10x n n ++=的距离和等于,n n A B 中点到此直线距离的二倍，所以只需求,n n A B 中点到此直线距离的最大值即可。再得到,n n A B 中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和,n n A B 中点到此直线
距离的最大值的关系可以求出n a 。再通过裂项的方法求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，即可通过不等式来求解m 的取值范围.
【详解】
由22n n n OA OB ⋅=-，得2
cos 2
n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，120n n A OB ∴∠=.设线段n n A B 的中点n C ，则2n n OC =，n
C ∴在圆2
2
2
4
n x y +=上，n n A B
到直线()10x n n ++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍，点n C 到直
线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2
2
2
4
n x y +=的圆心(0,0)
到直线()10
x n n ++=的距离为
()12n n d +=
=，()212222n n n n a n n +⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎣⎦
，211111222n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，1231111n n S a a a a ∴=
+++⋅⋅⋅+=1111111112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. 3
4
m ∴≥
. 故选：B 【点睛】
本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题. 2．A 【解析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：
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