创新论坛DOI：10.ki.1674-098X.2018.20.248
钟承勇 陈希明 潘宇
(重庆邮电大学理学院 重庆 400065)
摘 要：以对称双弹簧振子系统为物理模型，在不同系统参数和初始条件下，利用Mathematica数学软件对线性对称双弹簧振子系统振动的非线性微分方程进行数值求解，得到了不同系统参数和初始条件下振动图像，并从数值解中获得了相应的振动周期的变化规律。此外，我们还较为详细地研究了在系统参数不变下，当初始条件改变时系统周期与初始速度及振幅的拟合关系，研究表明周期的数值解与周期拟合公式得到的结果非常吻合，且具有较高的精度。这种数值求解方法扩展了配重复摆的研究途径与方法，具有一定的应用价值。 关键词：Mathematica 对称双弹性振子 周期
中图分类号：O322 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2018)07(b)-0248-05
近年来，在理论和数值方面研究线性对称弹簧振子的振动出现了不少的报道[1-4]，在这类非线性弹簧振动模型中，文献[3]对微振动情形下给出了在自然释放下振子的运动方程的椭圆函数表示的解析解。文献[4]从振子的运动微分方程出发，给出了线性对称弹簧振子在自然释放下以椭圆函数表示的普适的振子运动方程以及周期公式的近似表达式和精确表达式，讨论了横向方向的微振动和简谐振动的条件，并通过数值解比较了近似解与精确解，得到了较好的结果。但在该文中周期的求解没有考虑有初始速度的情形，特别是初始速度变化下，如何才能得到系统的振动周期呢？在本文中我们采用Mathematica软件[5]的寻函数全域最大值的方法，在不同系统参数和初始条件下，对振动的非线性微分方程进行数值求解，得到了相应的振动周期。我们还研究了在系统参数不变下，当初始速度改变时系统周期与初始速度拟合关系。此外，我们也研究了在振幅变化的情形下系统的数值周期、拟合周期和公式周期且对三种周期进行比较，得到了较好的结果。目前，数值研究[6-15]已经成为在物理学和工程问题中普遍采用的方法。本文寻函数全域最大值的数值求解周期的方法克服了文献[4]给出的周期公式的限制条件，拓展了研究这类振动系统周期的途径，对揭示振动系统运动性质及相关信息提供了较好的手段。
1 模型及运动方程
如图1所示为对称双弹簧振子系统的物理模型[3-4]，该模型可以用一个在光滑水平面上运动的质量为m与两个劲度系数均为k、原长均为a的弹簧相连构成。在平衡时这两个弹簧处于原长，设质点所在该点为平衡位置并以该点为坐标原点O，质点的运动被约束在与弹簧垂直的y轴方向。
该振动系统的势能为：
2
2
2)
(
)(a
y
a
k
y
V−
+
= (1)由（1）式可得该系统的恢复力：
)
1(
2
)(
)(
2
2y
a
a
ky
dy
y
dV
y
f
+
−
−
=
−
= (2)从（2）式可见，对称双弹簧振子的恢复力已不具有线性弹簧振子恢复力的性质，它与位移的关系如图2所示。如图2取，劲度系数如图2中所标示，从图2中我们发现，当弹簧原长和劲度系数保持一定时，恢复力与位移在远离平衡位置时呈现线性关系，反之则非线性关系较为明显，且当1
0<<
a
y
时，其恢复力在O点为中心的邻域内逐渐趋近于零；从图2中还可见，恢复力在一、三象限表现出较好的对称性，这与文献[16]中所讨论的恢复力的性质有很大的不同。
由牛顿第二定律2
2
)(
dt
y
d
m
y
f=，系统的运动微分方程表示为：
)
1(
2
2
2
2
2
y
a
a
y
m
k
dt
y
d
+
−
−
= (3)该式在初始位移y(0)=y0和初始速度v(0)=v0=0时，其横向振动的椭圆函数近似解为[4]：
),
2
(
λ
βt
m
k
cn
y
y= (4)式中2/12/12
2
]
)
/
(
1[−
−
=a
同步相量测量装置y
β,2
/
)
/
1(6/1
2
2
−
+
=a
y
λ。假设系统振动总是从y0开始运动，且初始速度v0=0。则通过对方程(4)的求解可得系统的周期[4]：
∫
+
−
+
+
粉体输送阀−
=0
02
2
2
2
2
2
2
2
2
4y
y
a
a
y
a
a
y
y
dy
k
m
T(5)尽管文献[4]讨论了初始条件y(0)=y0和初始速度0
)0(
=
=v
v时，且在1
0<<
a
y和
100
0>>
a
y时得到了振动的近似解及周期公式。我们注意到当振子在不同系统参数和初始条件
1
线性对称双弹簧振子横向振动模型
图1 线性对称双弹簧振子横向振动模型
下的振动图像却还是不够清晰地展现，簧振子的恢复力与位移的关系双向dcdc变换器
kk
0.4
0.2
0.4
0.2
f y
图2 对称双弹簧振子的恢复力与位移的关系
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（6）、（7）和（8）式可用来计算对应初始速度范围内的振动周期。由（6）式，当v 0=0时，系统的周期值为4.21464s，它与前面数值和用周期公式计算的周期的结果相同。为了验证拟合公式的正确性，我们在表4分别列出了利用数值计算与拟合公式（6）、（7）和（8）得到的周期值。其中第二列表示由式（3）数值计算的周期；第三列则是由（6）、（7）和（8）式拟合的周期。通过对比，我们得出如下结论：（1）系统的周期随着初始速度的增大而减小，增大的幅度从数值上能定量地看出来，比图6更为直观和明显；（2）数值周期与拟合周期十分吻合，仅极少拟合周期与数值周期有十万分之一的误差，说明根据拟合公式计算的系统周期具
有非常高的精度。
3.2 周期与振幅的拟合
在上述系统参数不变和初速度为零的情况下，在初始位移（即振幅）从0.05～0.8m改变时，我们便可以得到不同振幅对应的数值周期，利用线性拟合函数Fit[]对分段周期拟合公式（由于进行了8段分段拟
合，给出的周期拟合公式太多，在这里就不一一列举出这些公式）进行拟合。由于不同的振幅对周期的影响较大，经过多次反复的数值试验尝试，我们发现周期与振幅的拟合的最佳方式仍是采用分段拟合，图7是8个分段拟合后在同一个图形中显示出来的周期随振幅的关系曲线。图7显示了系统的振动周期与
t s
0.6
0.40.2t s
0.3
0.20.1
(a)a =0.6m
(a)a =0.4kg
(a)v 0=0.08m/s
(b)m =1.0kg
(b)v 0=0.15m/s
图3 弹簧原长a变化下位移、速度和加速度曲线
图4 振子质量v变化下位移、速度和加速度曲线
图5 振子质量v 0变化下位移、速度和加速度曲线
t s
0.40.2
t s
0.2
0.1 t s
0.40.2 t s
0.60.4
0.2
注：当a =0.8m，k =200N/m，y 0=0.10m，v 0=0时。
申智惠
注：当m =1.0kg，a =0.8m，k =200N/m和y 0=0.10m时。注：当=1.0kg，=200N/m，=0.10m，=0时。
振幅之间的关系，其中粗点表示不同初始速度下周期的计
算值，曲线表示相应的拟合曲线。从图7中可见，两者十分吻合，图7表明振动系统的周期随振幅的增加而减小。文献[17]曾讨论了在31
≤a y 的情况下，给出的振动系统的周期与振幅成反比这一结论在这里得到了验证，如图7中黑实线所示。但当31
0>
a
y ，拟合曲线与红实线的偏离越来越大。事实上，这种周期与振幅成反比的关系，可以用T =C /y 0来表
示，当C 取不同值时，可以符合31
0≤
a y 或310>a y 各范围的周
期，使误差进一步减小。进一步数值实验研究发现，无论
怎么取C 值，由T =C /y 0得到的周期与数值周期、拟合周期及公式周期相比却存在较大的误差。
表5给出了从式（3）数值计算得到了数值周期、拟合周期及由周期公式（5）计算的周期且进行了比较。从表5中我们发现：（1）系统的周期随着振幅的增大而减小，增大的幅度从数值上能定量地看出来, 比起图7中给出的结果更为直观和明显；（2）在每个振幅下三种方法所得到的周期在6位有效数字下完全一样，说明根据拟合公式计算的
振动系统的周期具有很高的可靠性。这表明我们所采用的方法具有较高的有效性和可行性，另一方面也验证了公式周期（5）的正确性。
4 结语
以对称双弹簧振子系统为物理模型，采用Mathematica
数学软件对振动运动的非线性微分方程在不同系统参数和初始条件下进行数值求解，并做图显示了振子的运动图像，同时利用该软件寻函数全域最大值的方法，通过数值计算得到了相应的振动周期的变化规律；其次，我们还研究了在系统参数不变下，当初始速度改变时系统周期与初始速度拟合关系，得到了分段的周期拟合公式。为了验证该周期公式的正确性，我们利用拟合公式计算了在不同初速度下系统的周期，并与数值计算的结果进行了比较，发现根据拟合公式计算的系统周期具有很高的可靠性，这种数值求解周期的方法克服了周期公式（5）的适用条件，拓展了研究这类系统周期的途径；最后，我们也研究了在
弹簧原长(m)数值周期(s) 公式周期(s) 0.6 3.17220 3.172200.8 4.21464 4.21464 1.0
5.25962
5.25962
表1 弹簧原长与周期的关系
表3 初速度与周期的关系
表4 数值周期与拟合周期的比较
图6 振动周期与初始速度的关系与拟合
图7 振动周期与振幅的关系与拟合表2 振子质量与周期的关系
超导电机
振子质量(kg)数值周期(s)公式周期(s)0.2 1.88485 1.884850.6 3.26465 2.30846 0.8
3.76969
3.76969
初速度（m/s）数值周期（s）0 4.214640. 2 3.071260.30
2.62061
初速度v 0数值周期T 拟合周期T 0.0 4.21464 4.214640.10 3.72431 3.724320.20 3.07126 3.071270.30 2.62061 2.620610.40
2.31212
2.31212
0m sec
4.5T sec y 0m
8
T sec (下转253页)
注：m =1.0kg，a =0.8m，k =200N/m，y 0=0.00m。
注：初速度逐渐增大下。
注：m =1.0kg，a =0.8m，k =200N/m，v 0=0.00m。
表5 数值周期、拟合周期和公式周期的比较
振幅0
y 数值周期T 拟合周期T 公式周期T 0.1 4.21464 4.21464 4.214640.2 2.13591 2.13591 2.135910.3 1.45481 1.45481 1.454810.4 1.12223 1.12223 1.122230.50.9282610.9282610.9282610.6
0.802917
0.802917
0.802917
注：振幅逐渐增大下。
度同样可以满足老年人的最佳高度，不必弯腰拾取其中食物(见图1)。
油烟机的设计同样对于老年人的使用十分重要，当前智能化的油烟机设计主要理念应当是便于清洗，且可以智能检测油烟情况，从而依据油烟的弥漫浓度智能调整功率。而对于老年人来说，控制版面上只需一键启动按钮即可，这样操作起来十分简单。由于考虑到部分老年人可能存在感官障碍，所以有效的语音播报系统作用重大，可以在橱柜操作面板和油烟机侧面板上安装语音播放器，及时发出警告或提示，并主动播报关于油烟机的工作状态，这样不仅可以使老年人及时获取有用的信息，还大大提升了使用的便捷性和安全性(见图2)。3.2 卫浴产品通用设计应用
卫浴产品中使用频率最高的就是马桶了，针对马桶的设计，不仅要考虑到运动能力较差的老年人使用，更要考虑到该类人使用前后的安全性能及舒适性能。由于传统的马桶占据空间较大，因而通用设计下的马桶应当要求充分利用三维空间，做到多层次化利用。同时，
设计时可以
图3 智能马桶通用设计效果图
通过抓握、依靠等辅助性功能提升其可操作性；舒适性方
面，可以引入智能化设计，为老年患者提供更加舒适的体验，而彩搭配方面则可以依据老年人的审美情趣进行设计。设计主体可分为不同模块，其中旋转模块连接洗漱、浴椅和坐便器，利用遥控器控制使用；马桶上方装有辅助设施，对于行动不便的老人可以辅助利用，顶部有灯光及空调出风口，即使在冬季和夏季，都可以进行温度调节，大大提升了其使用的舒适度(见图3)。
4 结语
我国当前已进入老龄化社会时期，我国社会养老体系难以满足不断增加的老年人相关需求，多数家庭依然为居家养老。然而居家养老最为显著的缺陷就是适老化产品的缺乏，因而如何让更多的老年人使用更加舒适、安全的产品显得十分迫切，尤其是厨卫用品这类关系到老年人生命健康的基础用品，本文通过针对老年人体的家庭厨卫产品通用化设计，无疑对提升老年人养老生活舒适度、减轻家庭及社会压力有巨大的帮助。
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振幅变化的情形下数值周期、拟合周期和公式周期并进行了比较，得到了较好的结果。本文的研究表明数值求解方法扩展了振动系统的研究途径与方法，对揭示振动系统运动信息具有重要的意义。
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