2020中考数学 几何压轴题汇编：三角形与平行四边形（含答案） abs0821. 如图，设E、F分别为正方形ABCD边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，过E、F分别作AC的垂线，垂足分别为P、Q.
(1)试出图中相似三角形(至少3对，全等除外)；
(2)求证：AB2＝AP·AQ；
(3) 设正方形的边长为4，当P、Q重合时，求BE的长．
第1题图
(1)解：图中相似三角形有：△ABC∽△CQF，△EPC∽△ADC，△CPE∽△CQF，△CQF∽△ADC，△ABE∽△AQF，△APE∽△ADF等(写出任意3对，即可得分)．
(2)证明：∵∠BAE＋∠EAP＝∠EAP＋∠QAF＝45°，
∴∠BAE＝∠QAF.
在△ABE与△AQF中，
∴△ABE∽△AQF，
∴＝.
同理，在△AEP与△AFD中，
，
∴△AEP∽△AFD手机linux操作系统.
∴＝，
∴＝，
∵AB＝ADysn-264，
∴AB2＝AP·AQ.
∵∠EPC＝∠FQC＝90°，
∴E、P、F在同一直线上．
∴∠ECP＝∠FCQ＝45°，
∴EP＝FQ，
在△AEP和△AFP中，
，
∴△AEP≌△AFP(SAS)，
∴∠EAP＝×45°＝22.5°，
∴∠BAE自熟粉丝机＝45°－∠EAP＝22.5°，
∴△AEB≌△AEP(AAS)，
∴EB＝EP，AB＝AP＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB＝45°，AC＝4，
又∵EP＝PC，
∴BE＝PC＝AC－AP＝4－4.
第1题解图
2. 已知：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.
(1)如图①，当α＝60°时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系； (2)如图②，当α＝45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
(3)如图③，当α为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明．(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)
第2题图
解： (1)BD＝AE；
【解法提示】如解图①，连接EC，当α自锁螺栓＝60°时，△ABC、△DCE均为等边三角形，
∴EC＝DC，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝AE；
第2题解图①
(2)BD＝AE；
证明：如解图②，过点D作DF∥AC接线端子压接机，交BC于点F.
第2题解图②
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