2020-2021石家庄市一中实验学校高一数学下期末第一次模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
{}2
|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件
A C
B ⊆⊆的集合
C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
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D ．4
3．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r
，
()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若3
站台信息2
BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）
A ．
12
B C D 4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1
B ．y = x+1
C ．y =88+
12
x D ．y = 176
6．要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
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7．若||1OA =u u u v ，||OB u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v
，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则m
n
的值为（ ）
A ．
13
B ．3
C D
8．设正项等差数列的前n 项和为，若
，则的最小值为 A ．1
B ．
C ．
D ．
9．已知()20191
1,0
2log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩
，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得
()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)
B ．[-2,0)
C ．(]2,0-
D ．（0,1）
10．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝
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⎭⎝
⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，其图象关于直线4
x π
=
对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，其图象关于直线2
x π
=
对称
C ．()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递减，其图象关于直线4
x π
=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，其图象关于直线2x π=对称
11．1
()x
f x e x
=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2
B ．1(,1)2
幼猪C ．3(1,)2
D ．3(,2)2
12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10
D ．1或11
二、填空题
13．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面
SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．
14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．已知函数())
2ln
11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．
16．直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．
17．已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且
0578
a b c GA GB GC ++=u u u
r u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 18．设
，则
________
19．若两个向量a v 与b v 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯v v
”为向量的“外积”，其长度为
sin a b a b θ⨯=v v v v .若已知1a =v ，5b =v ，4a b ⋅=-v v ，则a b ⨯=v v .
20．已知函数2
()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m
的取值范围为 .
三、解答题
21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
22．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，
2CA CB CD BD ====.
（1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．
23．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 24．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若
1
cos cos sin sin 2
B C B C -=．
（1）求角A 的大小；
（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．
25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完
全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，
c .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.
26．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东
12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .
（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则1
21282
l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41l
r
α==或， 故选C ．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
求解一元二次方程，得
{}
()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .
因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 3．A
解析：A 【解析】 【分析】
运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r
，再根据向量的数
量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】
∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r
，
∴()()
BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()232441212222
λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1
2λ=.
故选：A. 4．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断 C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断
D . 【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】回馈单元
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图
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