收稿日期:２０２１－０４－１９
基金项目：国家自然科学基金资助项目(Ｕ１８０８２１７ꎬ５１９０５０７７)ꎻ辽宁省 兴辽英才 计划项目(ＸＬＹＣ１８０７０８６ꎬＸＬＹＣ１８０１００８)ꎻ大
连市高层次人才创新支持计划项目(２０１７ＲＪ０４ꎬ２０１９ＣＴ０１).
作者简介：程习康(１９９３－)ꎬ男ꎬ河南新乡人ꎬ大连理工大学博士研究生ꎻ刘㊀巍(１９７９－)ꎬ男ꎬ内蒙古赤峰人ꎬ大连理工大学教授ꎬ
博士生导师.
第４２卷第１２期２０２１年１２月
东北大学学报(自然科学版)ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ)
Ｖｏｌ.４２ꎬＮｏ.１２Ｄｅｃ.２０２１
㊀
ｄｏｉ:１０.１２０６８/ｊ.ｉｓｓｎ.１００５－３０２６.２０２１.１２.０１０
程习康ꎬ刘㊀巍ꎬ孙明浩ꎬ罗唯奇
(大连理工大学机械工程学院ꎬ辽宁大连㊀１１６０２４)
摘㊀㊀㊀要：永磁涡流耦合器作为一种传动装置ꎬ传递转矩的有效计算是评价其传动性能的重要指标.针对一台６磁极对数㊁额定输入转速１４５０ｒ/ｍｉｎ的永磁涡流耦合器ꎬ首先ꎬ根据耦合器几何结构ꎬ采用有限元方法对磁力线走向进行了仿真分析ꎬ获得永磁涡流耦合器的磁路分布ꎬ进而通过分析漏磁边界条件得到了泄漏磁阻和有效磁动势ꎻ其次ꎬ建立导体盘涡流的坐标系ꎬ根据趋肤深度和安培环路定律ꎬ考虑磁场分布的连续性和对称性ꎬ构建了耦合器的磁感应强度方程ꎻ然后ꎬ根据导体盘涡电流密度和电导率的数学关系ꎬ同时考虑三维端部效应ꎬ得到了传递转矩的解析结果ꎻ最后ꎬ建立样机试验平台和三维有限元模型对该方法进行验证.结果表明ꎬ在一定的转速差范围内ꎬ所提计算方法具有较好的精度ꎬ相对误差在６％以内.采用该方法对永磁涡流耦合器的设计优化提出了一些合理化建议. 关㊀键㊀词：永磁涡流耦合器ꎻ磁路ꎻ泄漏磁阻ꎻ传递转矩ꎻ试验
中图分类号:ＴＨ１３３ ４㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００５－３０２６(２０２１)１２
－１７３９－０８
ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＴｒａｎｓｍｉｔｔｅｄＴｏｒｑｕｅＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｏｆＰｅｒｍａｎｅｎｔＭａｇｎｅｔＥｄｄｙ￣ＣｕｒｒｅｎｔＣｏｕｐｌｅｒｓ
ＣＨＥＮＧＸｉ￣ｋａｎｇꎬＬＩＵＷｅｉꎬＳＵＮＭｉｎｇ￣ｈａｏꎬＬＵＯＷｅｉ￣ｑｉ
(ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＤａｌｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＤａｌｉａｎ１１６０２４ꎬＣｈｉｎａ.Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ:ＬＩＵＷｅｉꎬＥ￣ｍａｉｌ:ｌｗ２００７＠ｄｌｕｔ.ｅｄｕ.ｃｎ)
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ａｓａｋｉｎｄｏｆｄｒｉｖｉｎｇｄｅｖｉｃｅꎬｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｒａｎｓｍｉｔｔｅｄｔｏｒｑｕｅｆｏｒｐｅｒｍａｎｅｎｔｍａｇｎｅｔｅｄｄｙ￣ｃｕｒｒｅｎｔｃｏｕｐｌｅｒｓｉｓａｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｉｎｄｅｘｔｏｅｖａｌｕａｔｅｔｈｅｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ.Ｆｏｒａｐｅｒｍａｎｅｎｔｍａｇｎｅｔｅｄｄｙｃｕｒｒｅｎｔｃｏｕｐｌｅｒｗｉｔｈ６ｐｏｌｅｐａｉｒｓａｎｄ１４５０ｒ/ｍｉｎｒａｔｅｄｉｎｐｕｔｓｐｅｅｄꎬｆｉｒｓｔｌｙꎬａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｙꎬｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｌｉｎｅｓａｎｄｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｍａｇｎｅｔｉ
ｃｐａｔｈｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ.Ａｌｓｏꎬｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｌｅａｋａｇｅｆｌｕｘｅｓｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎꎬｔｈｅｌｅａｋａｇｅｍａｇｎｅｔｉｃｒｅｓｉｓｔａｎｃｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍａｇｎｅｔｏｍｏｔｉｖｅｆｏｒｃｅａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ.Ｓｅｃｏｎｄｌｙꎬｔｈｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｏｆｅｄｄｙｃｕｒｒｅｎｔｏｎｔｈｅｃｏｎｄｕｃｔｏｒｄｉｓｋｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ.Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｌａｗｏｆｓｋｉｎｄｅｐｔｈａｎｄａｍｐｅｒｅｌｏｏｐꎬｔｈｅｍａｇｎｅｔｉｃｉｎｄｕｃｔｉｏｎｉｎｔｅｎｓｉｔｙｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｗｈｉｃｈｃｏｎｓｉｄｅｒｓｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｎｄｓｙｍｍｅｔｒｙｏｆｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ.Ｔｈｅｎꎬｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｅｄｄｙ￣ｃｕｒｒｅｎｔｄｅｎｓｉｔｙａｎｄｃｏｎｄｕｃｔｉｖｉｔｙｏｆｔｈｅｃｏｎｄｕｃｔｏｒｄｉｓｋꎬｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｏｆｔｒａｎｓｍｉｔｔｅｄｔｏｒｑｕｅｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｃｃｏｕｎｔｉｎｇｆｏｒｔｈｅｔｈｒｅｅ￣ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅｎｄｅｆｆｅｃｔ.Ｆｉｎａｌｌｙꎬａｐｒｏｔｏｔｙｐｅｔｅｓｔｐｌａｔｆｏｒｍａｎｄａｔｈｒｅｅ￣ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｔｉｃａｌｍｏｄｅｌａｒｅｂｕｉｌｔｔｏｖｅｒｉｆｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄ.Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｈａｓｇｏｏｄａｃｃｕｒａｃｙｗｉｔｈｉｎｔｈｅｒａｎｇｅｏｆｓｐｅｅｄｓｌｉｐｉｎａｃｅｒｔａ
ｉｎｏｐｅｒａｔｉｏｎｗｈｅｒｅｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒｉｓｗｉｔｈｉｎ６％.Ｍｏｒｅｏｖｅｒꎬｓｏｍｅｒｅａｓｏｎａｂｌｅｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎｓａｒｅｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｆｏｒｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｐｅｒｍａｎｅｎｔｍａｇｎｅｔｅｄｄｙ￣ｃｕｒｒｅｎｔｃｏｕｐｌｅｒｓ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｐｅｒｍａｎｅｎｔｍａｇｎｅｔｅｄｄｙ￣ｃｕｒｒｅｎｔｃｏｕｐｌｅｒꎻｍａｇｎｅｔｉｃｐａｔｈꎻｌｅａｋａｇｅｍａｇｎｅｔｉｃｒｅｓｉｓｔａｎｃｅꎻｔｒａｎｓｍｉｔｔｅｄｔｏｒｑｕｅꎻｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ
㊀㊀随着全球经济的高速发展ꎬ目前人类面临着日益严重的环境破坏㊁资源匮乏㊁生态污染等问题ꎬ发展以节能㊁高效㊁环保为理念的清洁绿产品对人类可持续发展具有重要意义ꎬ永磁涡流耦合器在这种产品理念驱动下产生[１].永磁涡流耦合器作为一种新型的非接触传动装置ꎬ具有结构简单㊁节能高效㊁传动平稳㊁无污染㊁允许主从动轴不对中等特点ꎬ而且具有良好的环境适应性[２－４].与液力耦合器和变频器相比ꎬ液力耦合器可控性差且存在喷油污染ꎬ低速时无法平滑加速ꎻ变频器故障率高㊁环境适应性差ꎬ产生谐波污染进而影响电网ꎬ而永磁涡流耦合器在实现转矩调节和传递的同时ꎬ可有效地规避上述问题ꎬ因此一定程度上可以替代液力耦合器和变频器ꎬ在汽轮机㊁冷却泵㊁皮带运输机㊁大型刮板机㊁破碎机㊁球磨机等重大工程装备中具有较好应用前景[５－７].
永磁涡流耦合器最早由美国ＭａｇｎａＤｒｉｖｅ公司应用在尼米兹号和斯坦尼斯号航空母舰的海水泵上ꎬ后来扩展到民用行业ꎬ并于２００８年引进到中国.近年来ꎬ国内外学者针对永磁涡流耦合器的传递转矩进行了大量的研究.Ｃａｎｏｖａ等[８]基于分离变量法将永磁涡流耦合器从三维问题简化为二维ꎬ得到了转矩－转速关系的纯解析模型ꎻ文献[９－１１]考虑了材料的磁饱和及永磁体本身特性ꎬ同时考虑了三维结构参数ꎬ建立了一种可处理复杂结构的永磁涡流耦合器传递转矩预测模型ꎬ并将该模型与有限元结果对比ꎬ得到了一致性较好的评价ꎻ文献[１２－１４]在平均半径处进行线性化假设ꎬ求解了三维麦克斯韦方程ꎬ研究了磁极对数㊁气隙长度等几何参数的影响ꎬ建立了一种新的永磁涡流耦合器传动性能二维解析模型ꎬ并将计算的转矩与有限元和实验结果进行了比较ꎻＥｒａｓｍｕｓ等[１５]提出了一种求解径向磁通永磁涡流耦合器转矩的半解析计算方法ꎬ考虑了磁通密度谐波的影响ꎬ采用罗素系数顾及了三维端部效应ꎬ通过实验验证了半解析转矩计算方法的正确性. 国内针对永磁涡流耦合器的研究起步较晚.杨超君等[１６]以层理论为指导ꎬ分析并得到了永磁涡流耦合器的转矩计算方法ꎬ然后通过有限元方法分析三维瞬态磁场的分布ꎬ并得到了关键参数如气隙长度㊁永磁体厚度㊁磁极数㊁从动盘的槽数㊁槽深以及主动转速等对转矩计算结果的影响ꎻ文献[１７－１８]基于等效磁路法建立了永磁涡流耦合器的解析模型ꎬ分析了永磁涡流耦合器各区域磁导和漏磁ꎬ求解出气隙中的磁感应强度ꎬ进而推导出转矩计算公式ꎻ何富君等[１９]利用ＡｎｓｏｆｔＭａｘｗｅｌｌ仿真软件建立了永磁涡流耦合器三维有限元模型ꎬ对耦合器的传动特性进行仿真研究ꎬ得到传递转矩与间隙
㊁转速差之间的对应关系ꎻ李德永等[２０]以电磁感应原理为基础ꎬ提出了简化的永磁体阵列三维模型ꎬ基于洛伦兹定律建立了转矩的解析模型ꎬ并和有限元结果进行了对比ꎬ分析了永磁涡流耦合器动态特性的影响因素.
与上述研究不同ꎬ本文以一台６磁极对数㊁额定输入转速１４５０ｒ/ｍｉｎ的永磁涡流耦合器为例ꎬ首先以永磁涡流耦合器的三维复杂结构为导向ꎬ提出了一种更加简单且有效的等效磁路模型ꎬ然后基于安培环路定律ꎬ对样机的传递转矩进行解析计算ꎬ最后建立三维有限元模型和实验平台对转矩进行了验证ꎬ与实验结果对比ꎬ计算方法具有较好的精度.
１㊀永磁涡流耦合器几何结构及磁路１ １㊀永磁涡流耦合器几何结构
永磁涡流耦合器主要由两部分组成：其中一部分是导体转子ꎬ包含导体轭铁和导体盘ꎻ另一部分是磁体转子ꎬ包含磁体盘㊁永磁体和磁体轭铁.电机端连接导体转子并进行旋转ꎬ导体转子切割磁体转子的Ｎ/Ｓ交替磁场ꎬ根据法拉第电磁感应定律ꎬ导体转子内将产生变化的涡流磁场ꎬ在永磁体本身磁场和涡流磁场的交互下ꎬ实现了电机端到负载端的转矩传递.永磁涡流耦合器几何结构如图１所示ꎬ导体转子和磁体转子之间存在着气隙ꎬ通过改变气隙厚度可以实现转矩大小的调节.此外ꎬ导体轭铁和磁体轭铁的作用是保证磁力线的收敛
.
图１㊀永磁涡流耦合器几何结构
Ｆｉｇ １㊀Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｐｅｒｍａｎｅｎｔｍａｇｎｅｔ
ｅｄｄｙ￣ｃｕｒｒｅｎｔｃｏｕｐｌｅｒｓ
图１中ꎬｌｉ１为导体轭铁厚度ꎬｌｃｓ为导体盘厚度ꎬｌａ为气隙厚度ꎬｌｐ为磁体盘厚度ꎬｌｐｍ为永磁体
０４７１东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４２卷
㊀㊀
㊀㊀
厚度ꎬｌｉ２为磁体轭铁厚度ꎬｒ２为导体盘外径ꎬｒ１为导体盘内径ꎬｒｐ２为永磁体外径ꎬｒｐ１为永磁体内径ꎬｒａｖ为永磁体平均半径ꎬｗｐｍ为永磁体径向宽度ꎬτｍ为相邻永磁体之间的距离ꎬτｐ为相邻永磁体中心
之间的距离.
１ ２㊀永磁涡流耦合器磁路
永磁涡流耦合器磁路可以有效地表示其磁力线走向ꎬ这是分析并计算传递转矩的重要前提.为了得到这一磁路ꎬ采用有限元方法对永磁涡流耦合器进行了分析.如图２所示ꎬ由于永磁涡流耦合器属于对称结构ꎬ这里只建立了包含一对永磁体的永磁涡流耦合器磁路.①表示永磁涡流耦合器的主磁路ꎬ其磁力线
走线为：永磁体ң磁体盘ң导体盘ң导体轭铁ң导体盘ң磁体盘ң永磁体ң磁体轭铁ң永磁体ꎻ②表示永磁涡流耦合器的第一泄漏磁路ꎬ其磁力线走向为：永磁体ң磁体盘ң导体盘ң磁体盘ң永磁体ң磁体轭铁ң永磁体ꎻ③表示永磁涡流耦合器的第二泄漏磁路ꎬ其磁力线走向为：永磁体ң磁体盘ң磁体轭铁ң永磁体
.
图２㊀永磁涡流耦合器磁路
Ｆｉｇ ２㊀Ｍａｇｎｅｔｉｃｃｉｒｃｕｉｔｏｆｐｅｒｍａｎｅｎｔｍａｇｎｅｔ
ｅｄｄｙ￣ｃｕｒｒｅｎｔｃｏｕｐｌｅｒｓ
２㊀有效磁通量求解
２ １㊀泄漏磁阻求解
根据图２的第一泄漏磁路②和第二泄漏磁路
③ꎬ可以分别计算出第一泄漏磁阻和第二泄漏磁阻.第一泄漏磁阻主要存在于气隙和导体盘处ꎬ存在如下关系:Ｒｌ１＝１/(
ʏ
ｘａ
０
μ０μａｗｐｍｄｘ
πｘ＋τｍ
)ꎬ
ｘａ＝ｍｉｎ[ｌｐ－ｌｐｍ＋ｌａ＋ｌｃｓꎬ(τｐ－τｍ)/２].
}
(１)
式中:Ｒｌ１为第一泄漏磁阻ꎻμ０为真空磁导率ꎻμａ空气磁导率ꎻｘａ为第一漏磁积分边界条件.第二泄漏磁阻主要存在于永磁体本身之间ꎬ
存在如下关系:Ｒｌ２＝１/(
ʏ
ｘｂ
０
μ０μａｗｐｍｄｘ
２πｘ＋ｌｐｍ
)ꎬ
ｘｂ＝ｍｉｎ[τｍ/２ꎬ(τｐ－τｍ)/２].
}
(２)
式中:Ｒｌ２为第二泄漏磁阻ꎻｘｂ为第二漏磁积分边界条件.
根据第一泄漏磁阻和第二泄漏磁阻ꎬ获得总泄漏磁阻和总泄漏磁导的表达式为
Ｒｌ＝１/(Ｒｌ１//Ｒｌ２)ꎬΛｌ＝１/Ｒｌ.
}
(３)
式中:Ｒｌ为总泄漏磁阻ꎻΛｌ为总泄漏磁导.２ ２㊀有效磁动势求解
在永磁涡流耦合器结构中ꎬ永磁体是可靠的磁源ꎬ负责提供稳定有效的磁场.根据永磁体本身的属性ꎬ可以得到原有磁动势为Ｆ０＝Ｈｐｍｌｐｍ.
(４)
式中ꎬＨｐｍ为永磁体矫顽力.
类似于电路中电源的内阻ꎬ永磁体本身也存在磁阻ꎬ这个永磁体磁阻的表达式为
Ｒｐｍ＝
２ｌｐｍ
μ０μｐｍｗｐｍ(τｐ－τｍ)
.
(５)
式中:Ｒｐｍ为永磁体磁阻ꎻμｐｍ为永磁体相对磁感应
强度.
根据磁导与磁阻的关系ꎬ进一步获得永磁体磁导为
Λｐｍ＝１/Ｒｐｍ.
(６)
本质上来说ꎬ由式(３)获得的总泄漏磁导相对于永磁体磁导是一种磁损耗.因此ꎬ根据式(１)~(６)可以获得有效磁动势为
Ｆｅ＝ｋｒＦ０
Λｌ＋Λｐｍ
Λｐｍ
.(７)
式中ꎬｋｒ为有效磁阻修正系数ꎬ其数值按经验获取ꎬ不同的应用场合数值略有不同.２ ３㊀有效磁通量求解
永磁涡流耦合器各部分都存在磁阻ꎬ导体盘磁阻的表达式为
Ｒｃｓ＝
２ｌｃｓ
μ０μｃｓｗｐｍ(τｐ－τｍ).
(８)
式中ꎬμｃｓ为导体盘相对磁导率.
气隙磁阻的表达式为
Ｒａ＝２ｌａ
μ０μａｗｐｍ(τｐ－τｍ).
(９)
磁体盘磁阻为
Ｒｉ２＝
２(ｌｐ－ｌｐｍ)
μ０μｐｗｐｍ(τｐ－τｍ)
.
(１０)
式中ꎬμｐ为磁体盘相对磁感应强度.
１
４７１第１２期㊀㊀㊀程习康等：永磁涡流耦合器传递转矩计算方法研究
㊀㊀
㊀㊀导体轭铁磁阻和磁体轭铁磁阻为Ｒｉ１＝Ｒｉ３＝ｍｉｎ{
４ｌｉ１μ０μｉ１ｗｐｍ(τｐ－τｍ)＋τｍ
μ０μｉ１ｗｐｍｌｉ１
ꎬ
４ｌｉ２μ０μｉ２ｗｐｍ(τｐ－τｍ)＋τｍ
μ０μｉ２ｗｐｍｌｉ２
}.
(１１)
式中:Ｒｉ１为导体轭铁磁阻ꎻＲｉ２为磁体轭铁磁阻ꎻμｉ１为导体轭铁相对磁导率ꎻμｉ２为磁体轭铁相对磁导率.
在图２中ꎬ虽然建立了永磁涡流耦合器磁路ꎬ但是该磁路涉及的磁力线路径相对复杂ꎬ不能直接反映出有效磁通.根据上文的分析ꎬ图３建立了一个简单且有效的永磁涡流耦合器等效磁路模型.
根据图３建立的等效磁路模型和式(７)获得的有效磁动势ꎬ求得有效磁通量为
φｅ＝
２Ｆｅ
２Ｒｃｓ＋２Ｒａ＋２Ｒｉ２＋Ｒｉ１＋Ｒｉ３
.
(１２)
图３㊀永磁涡流耦合器等效磁路模型
Ｆｉｇ ３㊀Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｍａｇｎｅｔｉｃｃｉｒｃｕｉｔｍｏｄｅｌｏｆｐｅｒｍａｎｅｎｔ
ｍａｇｎｅｔｅｄｄｙ￣ｃｕｒｒｅｎｔｃｏｕｐｌｅｒ
３㊀传递转矩模型
３ １㊀有效涡流深度
永磁涡流耦合器正常运转时ꎬ导体盘和磁体盘之间存在转速差ꎬ促使穿过导体盘的磁通量方向和大小随时间呈现周期性变化.根据法拉第电磁感应定律ꎬ导致导体盘上产生围绕磁通量变化方向的涡流.该涡流并不是完全存在于导体盘内ꎬ而是集中于导体盘表层ꎬ越接近于导体盘表面ꎬ涡电流密度越大ꎬ这一现象被称为趋肤效应.初始趋肤深度为
ｌｄ０＝
６０
πｐΔｎσｃｓμ０μｃｓ
.
(１３)
式中:ｐ为磁极对数ꎻΔｎ为导体盘和磁体盘之间的转速差ꎻσｃｓ为导体盘电导率.考虑到涡电流密度在导体盘深度方向(ｚ方向)呈现指数级递减ꎬ涡电流密度和趋肤深度满足方程
ʏ
ｌｄ０
０
Ｊｅ
ｚ/ｌｄ０
ｄｚ＝
ʏ
ｌｄ
０
Ｊｄｚ.(１４)
式中:Ｊ为涡电流密度ꎻｌｄ为有效趋肤深度.
对式(１４)进行求解ꎬ得到有效趋肤深度为ｌｄ＝(１－１/ｅ)ｌｄ０.
(１５)进一步化简ꎬ得到有效涡流深度为ｌｃｅ＝ｍｉｎ(ｌｃｓꎬｌｄ).(１６)
３ ２㊀磁感应强度求解
为了更清晰理解建模过程ꎬ在永磁体剖切视图和导体盘视图下ꎬ图４建立了涡流区域的坐标系位置.该坐标系以永磁体正对导体盘的中心为原点ꎬ垂直于导体盘为ｚ方向
.
图４㊀涡流区域坐标系位置示意图
Ｆｉｇ ４㊀Ｓｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｏｆｅｄｄｙ￣ｃｕｒｒｅｎｔｒｅｇｉｏｎａｌ
ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｐｏｓｉｔｉｏｎ
当导体盘切割磁力线运动时ꎬ不仅应该考虑
永磁体本身磁场ꎬ同时应该考虑涡流产生的感应磁场.因此ꎬ建模时必须将磁感应强度划分为有效磁感应强度和感生磁感应强度ꎬ得到[１０]
Ｂ(ｙ)＝Ｂｅ(ｙ)＋Ｂｉ(ｙ).
(１７)
式中:Ｂ(ｙ)为磁感应强度ꎻＢｅ(ｙ)为有效磁感应强度ꎻＢｉ(ｙ)为感生磁感应强度.其中ꎬ根据式(１２)的结果和图４建立的坐标系ꎬ得到有效磁感应强度为Ｂｅ(ｙ)＝Ｂｅ＝２φｅ/[ｗｐｍ(τｐ－τｍ)]ꎬ㊀㊀㊀｜ｙ｜ɤ(τｐ－τｍ)/２ꎻ
０ꎬｙɪ[－τｐ/２ꎬ－(τｐ－τｍ)/２]ɣ㊀㊀㊀[(τｐ－τｍ)/２ꎬτｐ/２].
ìîíïïïïï
(１８)
涡电流密度和磁感应强度的关系为[１０－１１]
Ｊ(ｙ)＝σｃｓΔωｒａｖＢ(ｙ).
(１９)
式中:Δω为导体盘和磁体盘之间的角速度差ꎬΔω＝２πΔｎ/６０.
根据安培环路定理ꎬ得到
ɥ
ｃ
Ｈ ｄｌ＝
∯ｓＪ(ｙ)ｄｓ⇒
ɥ
ｃ
Ｂｉ(ｙ)
μ０
ｄｌ＝∯ｓ
σ
ｃｓ
ΔωｒａｖＢ(ｙ)ｄｓ.
(２０)
２４７１东北大学学报(自然科学版)㊀㊀
㊀第４２卷
㊀㊀
进一步对式(２０)化简得到
２(ｌｐ－ｌｐｍ＋ｌａ＋ｌｃｅ)Ｂｉ(ｙ)
μ０
＝
σｃｓΔωｒａｖｌｃｅˑ
ʏ
ｙ２
ｙ１
Ｂ(ｙ)ｄｙ.
(２１)
对式(２１)进一步化简得到㊀Ｂｉ(ｙ)＝ｋ
ʏ
ｙ２ｙ１
[Ｂｅ(ｙ)＋Ｂｉ(ｙ)]ｄｙꎬ
㊀ｋ＝μ０σｃｓΔωｒａｖｌｃｅ/[２(ｌｐ－ｌｐｍ＋ｌａ＋ｌｃｅ)].(２２)式中ꎬｋ为中间变量代号ꎬ使用ｋ是为了让表达式
简洁.
对式(２２)进行微分ꎬ得到
ｄＢｉ(ｙ)＝ｋＢｅ(ｙ)＋ｋＢｉ(ｙ)ꎬｙɪ[－τｐ/２ꎬτｐ/２].
(２３)
对式(２３)进行求解ꎬ得到Ｂｉ(ｙ)＝Ｂｉ１(ｙ)＝ｃ１ｅｋｙꎬｙɪ[－τｐ/２ꎬ－(τｐ－τｍ)/２]ꎻＢｉ２(ｙ)＝ｃ２ｅｋｙ－Ｂｅꎬｙɪ[－(τｐ－τｍ)/２ꎬ(τｐ－τｍ)/２]ꎻ
Ｂｉ３(ｙ)＝ｃ３ｅｋｙꎬｙɪ[(τｐ－τｍ)/２ꎬτｐ
/２].ìîíïï
ïï(２４)
㊀㊀式(２４)中ꎬ必定存在一个ｙ０使得Ｂｉ２(ｙ＝ｙ０)＝０成立ꎬ得到
ｃ２＝Ｂｅｅ－ｋｙ０.
(２５)
由于涡流区域对称分布ꎬ在区间[－τｐ/２ꎬ
ｙ０]和区间[ｙ０ꎬτｐ/２]的涡流大小是一样的ꎬ得到
ʏｙ０－τｐ/２
ʏ
ｌｃｅ
０
Ｊ(ｙ)ｄｙｄｚ＝
ʏτｐ/２ｙ０
ʏ
ｌｃｅ
０
Ｊ(ｙ)ｄｙｄｚ.(２６)
根据函数的连续性ꎬ得到
Ｂｉ１[ｙ＝－(τｐ－τｍ)/２]＝Ｂｉ２[ｙ＝－(τｐ－τｍ)/２]ꎻＢｉ２[ｙ＝(τｐ－τｍ)/２]＝Ｂｉ３[ｙ＝(τｐ－τｍ)/２].
}
(２７)
结合式(２５)~(２７)ꎬｙ０ꎬｃ１ꎬｃ２ꎬｃ３可以计算得到:
ｙ０＝－
１
ｋ
ｌｎ[ｃｏｓｈ(ｋτｍ/２)/ｃｏｓｈ(ｋτｐ/２)]ꎻｃ１＝Ｂｅ[ｃｏｓｈ(ｋτｍ/２)/ｃｏｓｈ(ｋτｐ/２)－ｅｋ(τｐ－τｍ)/２
]ꎻｃ２＝Ｂｅ[ｃｏｓｈ(ｋτｍ/２)/ｃｏｓｈ(ｋτｐ/２)]ꎻ
ｃ３＝Ｂｅ[ｃｏｓｈ(ｋτｍ/２)/ｃｏｓｈ(ｋτｐ/２)－ｅ－ｋ(τｐ－τｍ)/２
].üþ
ý
ïï
ïïïï(２８)
将式(２８)代入到式(２４)中ꎬ得到
Ｂｉ(ｙ)＝Ｂｅ[ｃｏｓｈ(ｋτｍ/２)ｃｏｓｈ(ｋτｐ/２)－ｅｋ(τｐ－τｍ)
２]ｅｋｙꎬｙɪ[－τｐ２ꎬ－(τｐ－τｍ)２]ꎻ
Ｂｅｃｏｓｈ(ｋτｍ/２)ｃｏｓｈ(ｋτｐ/２)ｅｋｙ－Ｂｅꎬｙɪ[－(τｐ－τｍ)２ꎬ(τｐ－τｍ)
２]ꎻ
Ｂｅ[ｃｏｓｈ(ｋτｍ/２)ｃｏｓｈ(ｋτｐ
/２)－ｅ－ｋ(τｐ－τｍ)２]ｅｋｙꎬｙɪ[(τｐ－τｍ)２ꎬτｐ２].ìîíïïï
ïïïïï(２９)
㊀㊀求得感生磁感应强度后ꎬ磁感应强度可以由式(１７)计算获得.３ ３㊀传递转矩求解
㊀㊀根据式(１９)得到的Ｊ(ｙ)ꎬ得到单个涡流区域
的传递功率为
Ｐｏｎｅ＝(１/σｃｓ)
∭
｜Ｊ(ｙ)｜２ｄｘｄｙｄｚ＝(ｌｃｅ/σｃｓ)
ʏｒ２ｒ１
ｄｘ
ʏ
τｐ/２－τｐ/２
｜Ｊ(ｙ)｜２ｄｙ.(３０)
㊀㊀进一步对式(３０)积分得到
Ｐｏｎｅ
＝ｌｃｅ(ｒ２－ｒ１)ｒ２ａｖσｃｓΔω２Ｂ２ｅ[ｅｋ(τｐ＋τｍ)
－ｅｋτｍ－ｅ２ｋτｍ＋ｅｋτｐ]ｋ[ｅｋ(τｐ＋τｍ)＋ｅｋτｍ]
.
(３１)
㊀㊀考虑到磁极对数的影响ꎬ得到初始传递转矩:
Ｔ０＝２ｐＰｏｎｅ
Δω
.
(３２)
如图５所示ꎬ涡流区域被划分为悬垂区和中心区ꎬ只有存在于中心区的涡电流对转矩传递产生实质作用ꎬ这种现象被称为三维端部效应.考虑到这种端部效应[３]ꎬ必须对初始传递转矩进行修正.该修正系数为
３
４７１第１２期㊀㊀㊀程习康等：永磁涡流耦合器传递转矩计算方法研究
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