二次函数中考压轴题〔平行四边形〕解析精选[例一]〔2013•嘉兴〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=〔x﹣m〕2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的 交点为B，连结AB,AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴,DE∥y轴．〔1〕当m=2时，求点B的坐标；
〔2〕求DE的长？
〔3〕①设点D的坐标为〔x,y〕，求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第〔3〕①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以,A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形？
考点：二次函数综合题．
专题：数形结合．
分析：〔1〕将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
〔2〕延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
〔3〕①根据点A和点B的坐标，得到x=2m,y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分〔如图1〕和〔图2〕两种情况解答．
解答：解：〔1〕当m=2时,y=〔x﹣2〕2+1,
把x=0代入y=〔x﹣2〕2+1，得：y=2,
∴点B的坐标为〔0,2〕．
〔2〕延长EA，交y轴于点F,
∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE,
∴△AFC≌△AED,
∴AF=AE,
∵点A〔m,﹣m2+m〕，点B〔0,m〕,
∴AF=AE=|m|,BF=m﹣〔﹣m2+m〕=m2,
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF∽△DAE,
∴=，即：=,
∴DE=4．
〔3〕①∵点A的坐标为〔m,﹣m2+m〕,
∴点D的坐标为〔2m,﹣m2+m+4〕,
∴x=2m,y=﹣m2+m+4,
∴y=﹣•++4,
∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4,
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF,
〔Ⅰ〕当四边形ABDP 为平行四边形时〔如图1〕,
点P 的横坐标为3m,
点P 的纵坐标为：〔﹣ m 2+m+4〕﹣〔m 2〕=﹣m 2+m+4,
把P 〔3m,﹣ m 2+m+4〕的坐标代入y=﹣
x 2+x+4得：
﹣m 2+m+4=﹣×〔3m 〕2+×〔3m 〕+4, 解得：m=0〔此时A,B,D,P 在同一直线上，舍去〕或m=8． 〔Ⅱ〕当四边形ABDP 为平行四边形时〔如图2〕,
点P 的横坐标为m,
点P 的纵坐标为：〔﹣ m 2+m+4〕+〔m 2〕=m+4,
把P 〔m,m+4〕的坐标代入y=﹣
x 2+x+4得：
m+4=﹣m 2+m+4, 解得：m=0〔此时A,B,D,P 在同一直线上，舍去〕或m=﹣8,
综上所述：m 的值为8或﹣8．
点评： 本题是二次函数综合题，涉与四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合与分类讨
论．
[例二]已知抛物线的顶点为A <2,1>，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B .
<1>求抛物线的解析式；
<2>若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；
<3>连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.
[例三]〔2013•湘潭〕如图，在坐标系xOy 中△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A 〔1,0〕,B 〔0,2〕抛物线y=x 2+bx ﹣2的图象过C 点．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？ 〔3〕点P 是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由． A A
B B O
O x x y y
图①
考点：二次函数综合题．
分析：如解答图所示：
〔1〕首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；
〔2〕首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；
根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；
〔3〕首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．
解答：解：〔1〕如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OAB+∠CAD=90°,
∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中,
∴△AOB≌△CDA〔ASA〕．
∴CD=OA=1,AD=OB=2,
∴OD=OA+AD=3,
∴C〔3,1〕．
∵点C〔3,1〕在抛物线y=x2+bx﹣2上,
∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
〔2〕在Rt△AOB中,OA=1,OB=2，由勾股定理得：AB=．
∴S△ABC=AB2=．
设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B〔0,2〕,C〔3,1〕,
∴,
解得k=﹣,b=2,
∴y=﹣x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．
如答图1所示,
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=〔﹣x+2〕﹣〔x﹣〕=﹣x．
△CEF中,CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：S△CEF=S△ABC,
即：EF•h=S△ABC,
∴〔﹣x〕•〔3﹣x〕=×,
整理得：〔3﹣x〕2=3,
解得x=3﹣或x=3+〔不合题意，舍去〕,
∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
〔3〕存在．
如答图2所示,
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3,OG=1,BG=OB﹣OG=1．
过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG,
∴PH=BG=1,AH=CG=3,
∴OH=AH﹣OA=2,
∴P〔﹣2,1〕．
抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时,y=1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为〔﹣2,1〕．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．
[例四]〔2013•盘锦〕如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A〔﹣1,0〕、B〔3,0〕，与y轴相交于点
C，点P为线段OB上的动点〔不与O、B重合〕，过点P垂直于x轴的直线与抛物线与线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上,OD=2，连接DE、OF．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
〔3〕过点A的直线将〔2〕中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．〔不必说明平分平行四边形面积的理由〕
考点：二次函数综合题．
分析：〔1〕利用待定系数法求出抛物线的解析式；
〔2〕平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；
〔3〕本问利用中心对称的性质求解．平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点〔或对角线的中点〕，过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与▱ODEF对称中心的直线平分▱ODEF的面积．
解答：解：〔1〕∵点A〔﹣1,0〕、B〔3,0〕在抛物线y=ax2+bx+3上,
∴,
解得a=﹣1,b=2,
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．
〔2〕在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3,∴C〔0,3〕．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B〔3,0〕,C〔0,3〕坐标代入得：
,
解得k=﹣1,b=3,
∴y=﹣x+3．
设E点坐标为〔x,﹣x2+2x+3〕，则P〔x,0〕,F〔x,﹣x+3〕,
∴EF=y E﹣y F=﹣x2+2x+3﹣〔﹣x+3〕=﹣x2+3x．
∵四边形ODEF是平行四边形,
∴EF=OD=2,
∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0,
解得x=1或x=2,
∴P点坐标为〔1,0〕或〔2,0〕．
〔3〕平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点〔或对角线的中点〕，过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与▱ODEF对称中心的直线平分▱ODEF的面积．
①当P〔1,0〕时,
点F坐标为〔1,2〕，又D〔0,2〕,
设对角线DF的中点为G，则G〔,2〕．
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