一个含维纳噪声的二维混沌系统

本发明涉及一个含维纳(Wiener)噪声的二维混沌系统，属于工程技术及生物学等领域。 

目前，非线性系统在周期或噪声作用下的混沌运动越来越受到人们的关注．而常见的三种振子为Duffing振子，Van‑der‑Pol振子及Rayleigh振子；近年来，许多学者对上述相关振子采用Melnikov方法作了许多工作，他们的研究工作大都是基于有界噪声的激励幅值对系统的影响，而其它因素，如噪声及其它因素对于系统混沌运动有何影响却考虑甚少，其相关的研究却鲜有报道。 

本发明提出一个含Wiener噪声的二维混沌系统，通过分析其动力学特性，给予出了随机Melnikov过程在均方意义下出现混沌的条件。 

本发明所要解决的技术问题是提供一个含Wiener噪声的二维混沌系统。 

为了解决上述技术问题，本发明提供了一个含Wiener噪声的二维混沌系统，所述系统运动方程为： 

                                                               (1)

式中为非线性阻尼参数，分别代表线性与非线性恢复力的系数；分别为谐和激励与有界噪声的幅值，为有界噪声，即 

                                                                                                (2)

                                                                                                         (3)

式中表示为激励的平均频率，是标准的Wiener过程，为上的均匀随机变量，为噪声强度。调整系统的参数，系统可以产生两涡卷混沌吸引子。 

 本发明的效果及作用

(1) 本发明实现了提供一个含Wiener噪声的二维混沌系统。 

(2) 采用本发明的含Wiener噪声的二维混沌系统具有两涡卷混沌吸引子，其信号具有不同频段范围的宽频段特性，预示其工程技术、物理学、化学及生物学等领域有着广泛的应用价值。 

为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明，其中 

图1为标准Wiener过程响应。 

图2为含噪声二维混沌系统(1)相图。 

图3为系统(4)的量函数响应。 

图4为系统(1) x(t)不同初值响应。 

图5为系统(1)d取不同截面时所对应的Poincaré映射 (a) d=0 (b) d=0.5 (c) d=2。 

所述系统运动方程为： 

                                                                (1)

式中为非线性阻尼参数，分别代表线性与非线性恢复力的系数；分别为谐和激励与有界噪声的幅值，为有界噪声，即 

                                                                                                (2)

                                                                                                         (3)

式中表示为激励的平均频率，是标准的Wiener过程，其响应如图1所示；为上的均匀随机变量，为噪声强度。调整系统的参数，系统可以产生两涡卷混沌吸引子如图2所示。 

令可将系统方程(1)化为 

                                                             (4)

当时，对应的未扰系统的运动方程为 

                                                                                                             (5)

对应的Hamilton量与势函数分别为。系统(5)有三个不动点：及；可由定性分析知：点为鞍点，此时有通过鞍点的两条同宿轨道为 

                                                                            (6)

系统(4)在恢复力参数的量函数响应如图3所示．

假设同为阶小量，即．于是系统(3)可变为 

                                                         (7)

由于有界噪声可以看作是具有随机相位与频率的谐和函数之和，可以得到系统(7)的随机Melnikov过程为 

                                                                                           (8)                                          

其中(8)式中表示为(7)中的同宿轨道曲线．而与分别表示随机Melnikov过程的均值部分，表示为随机Melnikov过程的随机部分，并且 

                                                                       (9)

及

                                                                             (10)      

于是，随机Melnikov过程在均值意义下出现简单零点的条件为 

                                                                                  (11)

考虑在均方意义下的随机Melnikov过程出现Smale马蹄变换意义下混沌的条件；可得 

所以，随机Melnikov过程在均方意义下出现混沌的条件是

                                                                                           (12)

1.系统动力学特性 

1.1.初值灵敏度、Poincaré 映射. 

当参数系统(4)的x(t)初值敏感性如图4所示，从图4可以看出,在10s可以发现，其序列变得完全不同，充分说明了系统对初值的敏感性。 

Poincaré映射反映了混沌分岔和折叠特性, 图5为系统(4)投影在不同d值时的Poincaré映射, 可以清晰的看出存在许多折叠的枝节，表明系统具有非常丰富的动力学特性. 

由图5可见，对于相同的非线性参数c来说，当Wiener过程的强度参数增大时，系统混沌吸引子的扩散面积会随之而增大。 

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。