卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法

1.本发明涉及一种卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，尤其涉及近地轨道巨型卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，属于近地空间技术领域。

背景技术：

2.近年来，近地轨道巨型星座以其在全球移动互联网服务中的技术优势，特别是具备为沙漠、海洋等偏远地区提供互联网服务的能力，受到了广泛关注。与现有的导航卫星星座不同，卫星星座数量巨大，由数百到数千甚至上万颗卫星组成，分布在1000千米至1350千米的近地轨道平面内。然而，空间环境中的失效卫星、火箭残骸和碎片等，都会对星座的安全运行构成威胁。星座中的卫星与这些非合作物体之间可能发生的碰撞会产生更多的碎片，导致近地空间航天器无法运行。因此，为了星座的安全运行和近地空间的长期利用，必须考虑碰撞预测与规避机动设计。
3.结合工程实际，由于星座卫星数量巨大，难以快速筛选出需要进行碰撞规避机动的卫星，这使得碰撞预警的时间较长，导致卫星没有足够的时间进行规避机动。因此，有必要针对巨型卫星星座碰撞的快速预测问题进行研究，并在此基础上，考虑卫星的轨道机动能力和覆盖范围等约束，对碰撞规避轨迹进行快速优化，以提高星座卫星的运行安全。

技术实现要素：

4.本发明的目的是针对外部物体对卫星星座安全运行产生的碰撞威胁问题，提出一种卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法。该方法能够缩短预警时间，加快规避轨迹优化速度，提高卫星进行规避机动的时间裕度，进而提高卫星星座安全运行能力。
5.本发明的目的是通过下述技术方案实现的。
6.本发明公开的卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，给出了描述卫星与危险空间物体相对位置的相对轨道要素和最小碰撞规避距离的充要条件，根据hoots几何方法确定最接近点的轨道相位，并通过轨道周期推导出到达最接近点的时间，这使得计算复杂度降低至仅与星座轨道平面的数量有关，从而显著减少计算负担。为了提高碰撞规避算法解算的实时性和收敛性，将优化问题转化为二阶锥规划问题，进而使用凸优化算法求解，提升求解效率，减少求解时间。
7.本发明公开的卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，包括如下步骤：
8.步骤1、卫星星座碰撞快速预测，确定处在碰撞危险并需要进行规避机动的卫星。
9.步骤1.1：确定受到碰撞危险的卫星所在的轨道平面。
10.相对轨道要素可由式(1)表示
[0011][0012]
其中a为轨道半长轴，e为轨道偏心率，i为轨道倾角，ω为轨道的升交点赤经，ω为轨道的近地点辐角，m为平近点角，下角标c表示用于描述星座内卫星的轨道，下角标d表示用于描述外部威胁物体，δa表示相对轨道半长轴，δλ表示相对平均经度，δe
x
表示相对轨道偏心率在地心惯性坐标系x轴方向上的分量，δey表示相对轨道偏心率在地心惯性坐标系y轴方向上的分量，δi
x
表示相对轨道倾角在地心惯性坐标系x轴方向上的分量，δiy表示相对轨道倾角在地心惯性坐标系y轴方向上的分量。近圆轨道的相对轨道要素与相对位置δr相对速度δv之间的关系为
[0013][0014]
其中，平均纬度uc＝mc+ωc，卫星平均角速度μ为地球的引力常数，(δrr,δr
t
,δrn)为相对位置δr在rtn坐标系下三轴分量，(δvr,δv
t
,δvn)为相对速度δv在rtn坐标系下三轴分量。rtn坐标系以卫星质心为原点，r轴沿地心指向矢径方向，t轴在轨道平面内垂直于矢径方向并指向运动方向，n轴垂直于轨道平面，构成右手坐标系。
[0015]
为了避免碰撞，卫星与其他空间中运行的物体之间需要保持安全距离。当在圆轨道上运行的卫星与其他外部空间物体存在碰撞风险时，两个轨道的半长轴将非常接近，即δa＝0。此时径向/法向平面内保证最小距离ε的充要条件为
[0016][0017]
相对轨道偏心率δe＝(δe
x
,δey)，相对轨道倾角δi＝(δi
x
,δiy)。当上述条件不满足时，卫星将面临碰撞风险。将轨道平面参数代入方程式(3)判断条件是否成立，从而确定受到碰撞危险的卫星所在平面。
[0018]
步骤1.2：确定轨道平面内需要进行规避机动的卫星。
[0019]
两条轨道的最近点与外部威胁物体轨道的升交点之间的夹角
△d可由式(4)确定
[0020][0021]
根据外部威胁物体的轨道周期和当前相位，可以推断出到达最近点的时间t
ca
，进而通过卫星的运行周期推断出需要进行规避机动的卫星当前位置。
[0022]
步骤2、碰撞规避轨迹优化问题描述。
[0023]
卫星的动力学方程为
[0024][0025]
其中，rc表示卫星的位置，vc表示卫星的速度，tc表示卫星的推力，mc表示卫星的质量。
[0026]
连续全球覆盖范围约束根据卫星的覆盖几何，转换为卫星的轨道高度约束
[0027][0028]
即
[0029][0030]
其中，是在卫星覆盖范围边缘测量的仰角，是已知的连续全球覆盖范围所需的最小角半径，r
earth
是地球平均赤道半径，||rc||＝h+r
earth
。
[0031]
卫星与外部威胁物体允许的最小接近距离约束
[0032]
||r
c-rd||2≥ε2ꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)
[0033]
其中，rd表示外部威胁物体的位置。
[0034]
卫星在初始时刻t0的状态
[0035]
rc(t0)＝r
c0
,vc(t0)＝v
c0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(9)
[0036]
外部威胁物体的初始状态与动力学方程
[0037][0038]
其中，rd表示外部威胁物体的位置，vd表示外部威胁物体的速度。
[0039]
优化目标为燃耗最少，即目标函数式(11)最小。
[0040][0041]
碰撞规避轨迹优化问题可由式(12)给出，是一个非线性规划问题。
[0042][0043]
此外，在卫星采用电推力器等小推力器时，还应考虑推力幅值约束
[0044]
||tc||≤t
c,max
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(13)
[0045]
其中，t
c,max
为卫星的最大推力。此时碰撞规避轨迹优化问题为
[0046][0047]
步骤3、将步骤2中得到的碰撞规避轨迹优化问题(14)，转化为二阶锥规划问题，实现卫星规避轨迹的快速优化。
[0048]
步骤3.1：变量代换与松弛。
[0049]
卫星的加速度ac为
[0050][0051]
将式(15)代入式(5)中，则卫星动力学方程可转化为
[0052][0053]
将式(15)代入式(11)中，并引入中间变量α1，目标函数转化为
[0054][0055]
式(17)包含一个线性目标函数和一个二阶锥约束，其中a
cx
，a
cy
，a
cz
为卫星加速度ac在地心惯性坐标系下三轴分量。
[0056]
覆盖范围约束式(7)转化为
[0057][0058]
式(18)包含一个线性锥约束和一个二阶锥约束。
[0059]
推力幅值约束式(13)转化为
[0060][0061]
式(19)是一个二阶锥约束。
[0062]
步骤3.2：动力学线性化。
[0063]
卫星动力学方程式(16)在点进行一阶泰勒展开后得到线性化的动力学方程为
[0064][0065]
[0066][0067][0068]
其中，ρ
cx
，ρ
cy
，ρ
cz
为线性化可信域。
[0069]
步骤3.3：约束线性化。
[0070]
碰撞规避约束式(8)可写为
[0071]
(r
cx-r
dx
)2+(r
cy-r
dy
)2+(r
cz-r
dz
)2≥ε2ꢀꢀꢀꢀ
(24)
[0072]
式(24)在处进行一阶泰勒展开得到线性化后的碰撞规避约束
[0073][0074][0075]
其中，ρ
ca
为线性化可信域。
[0076]
步骤3.4：优化问题式(14)离散化。
[0077]
将时间域[t0,t
ca
]离散化成n个相同的时间间隔，每一个间隔时间长度为
△
t。目标函数式(17)离散化得
[0078][0079]
使用欧拉法将卫星动力学(20)-(22)和可信域(23)进行离散化得
[0080]
[0081][0082][0083][0084]
将始端约束式(9)离散化得
[0085]
rc(0)＝r
c0
,vc(0)＝v
c0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(32)
[0086]
覆盖范围约束(18)离散化后得
[0087][0088]
推力幅值约束(19)离散化后得
[0089]
(a
cx
(k)2+a
cy
(k)2+a
cz
(k)2)
1/2
≤t
max
/mcꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(34)
[0090]
碰撞规避约束(25)-(26)离散化后得
[0091][0092][0093]
其中，r
dx
(k)，r
dy
(k)，r
dz
(k)为外部威胁物体在k时刻的位置，由式(10)计算得到。
[0094]
卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化问题包括式(3)所确定的最小安全距离充要条件和式(14)所确定的非线性规划问题，通过用相对轨道要素描述的碰撞风险判断条件，使计算复杂度降低至仅与星座轨道平面的数量有关，并将规避轨迹优化问题转化为二阶锥规划问题，实现碰撞的快速预测，提高碰撞规避算法解算的实时性和收敛性，提升求解效率，减少求解时间。
[0095]
有益效果：
[0096]
1、本发明公开的卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，通过描述卫星与危险空间物体相对位置的相对轨道要素和最小碰撞规避距离的充要条件，并使用几何方法确定最接近点的轨道相位，利用轨道周期推导出到达最接近点的时间，使得碰撞预测问题的计算复杂度不再直接与星座内卫星数量有关，而是与星座的轨道平面数量有关，降低了计算复杂度，减少了计算时间，提升了预警能力。
[0097]
2、本发明公开的卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，通过将规避轨迹的非线性规划问题，经过一系列凸化，转化为二阶锥规划问题，提高碰撞规避算法解算的实时性和收敛性，提升求解效率，减少求解时间。
附图说明
[0098]
图1为卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法流程图；
[0099]
图2为卫星位置随时间变化；
[0100]
图3为卫星速度随时间变化；
[0101]
图4为卫星推力随时间变化。
具体实施方式
[0102]
为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合实施例和相应附图对发明内容做进一步说明。
[0103]
实施例：近地空间巨型卫星星座碰撞快速预测与小推力规避轨迹优化问题
[0104]
如图1所示，本实施例公开的近地空间巨型卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，具体实现步骤如下：
[0105]
步骤1、卫星星座碰撞快速预测，确定处在碰撞危险并需要进行规避机动的卫星。
[0106]
步骤1.1：确定受到碰撞危险的卫星所在的轨道平面。
[0107]
相对轨道要素可由式(37)表示
[0108][0109]
其中a为轨道半长轴，e为轨道偏心率，i为轨道倾角，ω为轨道的升交点赤经，ω为轨道的近地点辐角，m为平近点角，下角标c表示用于描述星座内卫星的轨道，下角标d表示用于描述外部威胁物体，δa表示相对轨道半长轴，δλ表示相对平均经度，δe
x
表示相对轨道偏心率在地心惯性坐标系x轴方向上的分量，δey表示相对轨道偏心率在地心惯性坐标系y轴方向上的分量，δi
x
表示相对轨道倾角在地心惯性坐标系x轴方向上的分量，δiy表示相对轨道倾角在地心惯性坐标系y轴方向上的分量。近圆轨道的相对轨道要素与相对位置δr相对速度δv之间的关系为
[0110][0111]
其中，平均纬度uc＝mc+ωc，卫星平均角速度μ为地球的引力常数，(δrr,δr
t
,δrn)为相对位置δr在rtn坐标系下三轴分量，(δvr,δv
t
,δvn)为相对速度δv在rtn坐标系下三轴分量。rtn坐标系以卫星质心为原点，r轴沿地心指向矢径方向，t轴在轨道平面内垂直于矢径方向并指向运动方向，n轴垂直于轨道平面，构成右手坐标系。
[0112]
为了避免碰撞，卫星与其他空间中运行的物体之间需要保持安全距离。当在圆轨道上运行的卫星与其他外部空间物体存在碰撞风险时，两个轨道的半长轴将非常接近，即δa＝0。此时径向/法向平面内保证最小距离ε的充要条件为
[0113][0114]
相对轨道偏心率δe＝(δe
x
,δey)，相对轨道倾角δi＝(δi
x
,δiy)。当上述条件不满足时，卫星将面临碰撞风险。将轨道平面参数代入方程式(39)判断条件是否成立，从而确定受到碰撞危险的卫星所在平面。
[0115]
步骤1.2：确定轨道平面内需要进行规避机动的卫星。
[0116]
两条轨道的最近点与外部威胁物体轨道的升交点之间的夹角
△d可由式(40)确定
[0117][0118]
根据外部威胁物体的轨道周期和当前相位，可以推断出到达最近点的时间t
ca
，进而通过卫星的运行周期推断出需要进行规避机动的卫星当前位置。
[0119]
步骤2、碰撞规避轨迹优化问题描述。
[0120]
卫星的动力学方程为
[0121][0122]
其中，rc表示卫星的位置，vc表示卫星的速度，tc表示卫星的推力，mc表示卫星的质量。
[0123]
连续全球覆盖范围约束根据卫星的覆盖几何，转换为卫星的轨道高度约束
[0124]
[0125]
即
[0126][0127]
其中，是在卫星覆盖范围边缘测量的仰角，是已知的连续全球覆盖范围所需的最小角半径，r
earth
是地球平均赤道半径，||rc||＝h+r
earth
。
[0128]
卫星与外部威胁物体允许的最小接近距离约束
[0129]
||r
c-rd||2≥ε2ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(44)
[0130]
其中，rd表示外部威胁物体的位置。
[0131]
卫星在初始时刻t0的状态
[0132]
rc(t0)＝r
c0
,vc(t0)＝v
c0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(45)
[0133]
外部威胁物体的初始状态与动力学方程
[0134][0135]
其中，rd表示外部威胁物体的位置，vd表示外部威胁物体的速度。
[0136]
优化目标为燃耗最少，即目标函数式(47)最小。
[0137][0138]
碰撞规避轨迹优化问题可由式(48)给出，是一个非线性规划问题。
[0139][0140]
在本实施例中，卫星采用电推力器等小推力器，考虑推力幅值约束
[0141]
||tc||≤t
c,max
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(49)
[0142]
其中，t
c,max
为卫星的最大推力。此时碰撞规避轨迹优化问题为
[0143][0144]
步骤3、将步骤2中得到的碰撞规避轨迹优化问题(50)，转化为二阶锥规划问题，实现卫星规避轨迹的快速优化。
[0145]
步骤3.1：变量代换与松弛。
[0146]
卫星的加速度ac为
[0147][0148]
将式(51)代入式(41)中，则卫星动力学方程可转化为
[0149][0150]
将式(51)代入式(47)中，并引入中间变量α1，目标函数转化为
[0151][0152]
式(53)包含一个线性目标函数和一个二阶锥约束，其中a
cx
，a
cy
，a
cz
为卫星加速度ac在地心惯性坐标系下三轴分量。
[0153]
覆盖范围约束式(49)转化为
[0154][0155]
式(54)包含一个线性锥约束和一个二阶锥约束。
[0156]
推力幅值约束式(49)转化为
[0157][0158]
式(55)是一个二阶锥约束。
[0159]
步骤3.2：动力学线性化。
[0160]
卫星动力学方程式(52)在点进行一阶泰勒展开后得到线性化的动力学方程为
[0161][0162][0163][0164][0165]
其中，ρ
cx
，ρ
cy
，ρ
cz
为线性化可信域。
[0166]
步骤3.3：约束线性化。
[0167]
碰撞规避约束式(44)可写为
[0168]
(r
cx-r
dx
)2+(r
cy-r
dy
)2+(r
cz-r
dz
)2≥ε2ꢀꢀꢀꢀꢀ
(60)
[0169]
式(60)在处进行一阶泰勒展开得到线性化后的碰撞规避约束
[0170][0171][0172]
其中，ρ
ca
为线性化可信域。
[0173]
步骤3.4：优化问题式(50)离散化。
[0174]
将时间域[t0,t
ca
]离散化成n个相同的时间间隔，每一个间隔时间长度为
△
t。目标
函数式(53)离散化得
[0175][0176]
使用欧拉法将卫星动力学(56)-(58)和可信域(59)进行离散化得
[0177][0178][0179][0180][0181]
将始端约束式(45)离散化得
[0182]
rc(0)＝r
c0
,vc(0)＝v
c0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(68)
[0183]
覆盖范围约束(54)离散化后得
[0184][0185]
推力幅值约束(55)离散化后得
[0186]
(a
cx
(k)2+a
cy
(k)2+a
cz
(k)2)
1/2
≤t
max
/mcꢀꢀꢀꢀꢀ
(70)
[0187]
碰撞规避约束(61)-(62)离散化后得
[0188][0189][0190]
其中，r
dx
(k)，r
dy
(k)，r
dz
(k)为外部威胁物体在k时刻的位置，由式(46)计算得到。
[0191]
本实施例中，时间离散点个数n＝10000，线性化可信域ρ
cx
＝ρ
cy
＝ρ
cz
＝ρ
co
＝ρ
ca
＝1189m，地球的引力常数μ＝3.986
×
10
14
m3/s2，地球半径r
earth
＝6371km，卫星允许的最小接近距离ε＝5km，卫星基本参数与轨道参数如表1所示，外部威胁物体轨道参数如表2所示。图2为卫星位置随时间变化图，图3为卫星速度随时间变化图，图4为卫星推力随时间变化图。优化时间220秒，最终卫星与外部威胁物体最接近距离为5.13km。
[0192]
表1卫星基本参数与轨道参数
[0193][0194]
表2外部威胁物体轨道参数
[0195][0196]
卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化问题包括式(39)所确定的最小安全距离充要条件和式(50)所确定的非线性规划问题，通过用相对轨道要素描述的碰撞风险判断条
件，使计算复杂度不再直接与星座内卫星数量有关，而是与星座的轨道平面数量有关，降低了计算复杂度，实现碰撞的快速预测，并将规避轨迹优化问题转化为二阶锥规划问题，提高碰撞规避算法解算的实时性和收敛性，提升求解效率，减少求解时间。
[0197]
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

技术特征：

1.卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，其特征在于：包括如下步骤，步骤1、构建描述卫星与危险空间物体相对位置的相对轨道要素和最小碰撞规避距离的充要条件，根据hoots几何方法确定最接近点的轨道相位，基于所述充要条件对卫星星座碰撞概率进行快速预测，并通过轨道周期推导出到达最接近点的时间，进而根据外部威胁物体的轨道周期和当前相位确定处在碰撞危险并需要进行规避机动的卫星，使所述卫星碰撞预测问题的计算复杂度降低至仅与星座轨道平面的数量有关，从而显著减少计算负担；步骤2、在步骤1中得到的碰撞预测结果基础上，基于卫星动力学方程和碰撞规避过程约束，构建卫星碰撞规避轨迹优化问题；步骤3、将步骤2中得到的碰撞规避轨迹优化问题，转化为二阶锥规划问题，实现卫星规避轨迹的快速优化。2.如权利要求1所述的卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，其特征在于：步骤1实现方法为，步骤1.1：确定受到碰撞危险的卫星所在的轨道平面。相对轨道要素可由式(1)表示其中a为轨道半长轴，e为轨道偏心率，i为轨道倾角，ω为轨道的升交点赤经，ω为轨道的近地点辐角，m为平近点角，下角标c表示用于描述星座内卫星的轨道，下角标d表示用于描述外部威胁物体，δa表示相对轨道半长轴，δλ表示相对平均经度，δe
x
表示相对轨道偏心率在地心惯性坐标系x轴方向上的分量，δe
y
表示相对轨道偏心率在地心惯性坐标系y轴方向上的分量，δi
x
表示相对轨道倾角在地心惯性坐标系x轴方向上的分量，δi
y
表示相对轨道倾角在地心惯性坐标系y轴方向上的分量。近圆轨道的相对轨道要素与相对位置δr相对速度δv之间的关系为其中，平均纬度u
c
＝m
c
+ω
c
，卫星平均角速度μ为地球的引力常数，(δr
r
,δr
t
,δr
n
)为相对位置δr在rtn坐标系下三轴分量，(δv
r
,δv
t
,δv
n
)为相对速度δv在rtn坐标系下三轴分量。rtn坐标系以卫星质心为原点，r轴沿地心指向矢径方向，t轴在轨道平面内垂直
于矢径方向并指向运动方向，n轴垂直于轨道平面，构成右手坐标系。为了避免碰撞，卫星与其他空间中运行的物体之间需要保持安全距离。当在圆轨道上运行的卫星与其他外部空间物体存在碰撞风险时，两个轨道的半长轴将非常接近，即δa＝0。此时径向/法向平面内保证最小距离ε的充要条件为相对轨道偏心率δe＝(δe
x
,δe
y
)，相对轨道倾角δi＝(δi
x
,δi
y
)。当上述条件不满足时，卫星将面临碰撞风险。将轨道平面参数代入方程式(3)判断条件是否成立，从而确定受到碰撞危险的卫星所在平面。步骤1.2：确定轨道平面内需要进行规避机动的卫星。两条轨道的最近点与外部威胁物体轨道的升交点之间的夹角
△
d
可由式(4)确定根据外部威胁物体的轨道周期和当前相位，可以推断出到达最近点的时间t
ca
，进而通过卫星的运行周期推断出需要进行规避机动的卫星当前位置。3.如权利要求2所述的卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，其特征在于：步骤2实现方法为，卫星的动力学方程为其中，r
c
表示卫星的位置，v
c
表示卫星的速度，t
c
表示卫星的推力，m
c
表示卫星的质量。连续全球覆盖范围约束根据卫星的覆盖几何，转换为卫星的轨道高度约束即其中，是在卫星覆盖范围边缘测量的仰角，是已知的连续全球覆盖范围所需的最小角半径，r
earth
是地球平均赤道半径，||r
c
||＝h+r
earth
。卫星与外部威胁物体允许的最小接近距离约束||r
c-r
d
||2≥ε2ꢀꢀ
(8)其中，r
d
表示外部威胁物体的位置。卫星在初始时刻t0的状态r
c
(t0)＝r
c0
,v
c
(t0)＝v
c0
ꢀꢀ
(9)外部威胁物体的初始状态与动力学方程
其中，r
d
表示外部威胁物体的位置，v
d
表示外部威胁物体的速度。优化目标为燃耗最少，即目标函数式(11)最小。碰撞规避轨迹优化问题可由式(12)给出，是一个非线性规划问题。此外，在卫星采用电推力器等小推力器时，还应考虑推力幅值约束||t
c
||≤t
c,max
ꢀꢀ
(13)其中，t
c,max
为卫星的最大推力。此时碰撞规避轨迹优化问题为。4.如权利要求3所述的卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，其特征在于：步骤3实现方法为，步骤3.1：变量代换与松弛。卫星的加速度a
c
为
将式(15)代入式(5)中，则卫星动力学方程可转化为将式(15)代入式(11)中，并引入中间变量α1，目标函数转化为式(17)包含一个线性目标函数和一个二阶锥约束，其中a
cx
，a
cy
，a
cz
为卫星加速度a
c
在地心惯性坐标系下三轴分量。覆盖范围约束式(7)转化为式(18)包含一个线性锥约束和一个二阶锥约束。推力幅值约束式(13)转化为式(19)是一个二阶锥约束。步骤3.2：动力学线性化。卫星动力学方程式(16)在点进行一阶泰勒展开后得到线性化的动力学方程为
其中，ρ
cx
，ρ
cy
，ρ
cz
为线性化可信域。步骤3.3：约束线性化。碰撞规避约束式(8)可写为(r
cx-r
dx
)2+(r
cy-r
dy
)2+(r
cz-r
dz
)2≥ε2ꢀꢀ
(24)式(24)在处进行一阶泰勒展开得到线性化后的碰撞规避约束处进行一阶泰勒展开得到线性化后的碰撞规避约束其中，ρ
ca
为线性化可信域。步骤3.4：优化问题式(14)离散化。将时间域[t0,t
ca
]离散化成n个相同的时间间隔，每一个间隔时间长度为
△
t。目标函数式(17)离散化得使用欧拉法将卫星动力学(20)-(22)和可信域(23)进行离散化得
将始端约束式(9)离散化得r
c
(0)＝r
c0
,v
c
(0)＝v
c0
ꢀꢀ
(32)覆盖范围约束(18)离散化后得推力幅值约束(19)离散化后得(a
cx
(k)2+a
cy
(k)2+a
cz
(k)2)
1/2
≤t
max
/m
c
ꢀꢀ
(34)碰撞规避约束(25)-(26)离散化后得
其中，r
dx
(k)，r
dy
(k)，r
dz
(k)为外部威胁物体在k时刻的位置，由式(10)计算得到。卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化问题包括式(3)所确定的最小安全距离充要条件和式(14)所确定的非线性规划问题，通过用相对轨道要素描述的碰撞风险判断条件，使计算复杂度降低至仅与星座轨道平面的数量有关，并将规避轨迹优化问题转化为二阶锥规划问题，实现碰撞的快速预测，提高碰撞规避算法解算的实时性和收敛性，提升求解效率，减少求解时间。

技术总结

本发明公开的卫星星座碰撞快速预测与规避轨迹优化方法，属于近地空间技术领域。本发明实现方法为：给出描述卫星与危险空间物体的相对轨道要素和最小碰撞距离的充要条件；根据Hoots几何方法确定最接近点的轨道相位，并通过轨道周期推导出到达最接近点的时间，构建卫星碰撞预测问题；通过用相对轨道要素描述的碰撞风险判断条件，使所述卫星碰撞预测问题的计算复杂度降低至仅与星座轨道平面数量有关，从而降低计算量；此外，本发明将规避轨迹优化问题转化为二阶锥规划问题，使用凸优化算法求解，提升规避轨迹优化求解效率，减少求解时间。本发明能够缩短预警时间，加快规避轨迹优化速度，提高卫星进行规避机动的时间裕度，提高卫星星座安全运行能力。星星座安全运行能力。星星座安全运行能力。