2008年第4期
(总第1l O 期)
J O U R N A L O F M U D A N J l A N G C oL LE G E 0F E D U C A T l 0N
N o ．4。2008
Ser ial
N o ．110
周秀君周天刚
(广东纺织职业技术学院，广东佛山528041)
[摘要]提出了分段函数在分段点可导的简便判别方法．[关键词]分段函数l 连续I 导数[中图分类号]0174
[文献标识码]A
[文章编号]1009—2323(2008)04一0111一ol
在高等数学中．如果函数y ；，(z)在点勘处可导。则它在点勘处一定连续}反之，不一定成立．我们常常需要判断函数在点知处是否可导．如果函数y=，(z)是初等函数，要判断函数在点面处是否可导比较容易；如果函数y=，(z)是分段函数．勘是它的分段点．要判断函数在点 勘处是否可导一般用导数的定义来判断，这种方法不仅繁
琐效率底．而且给初学者造成一定的困难．下面笔者提出一个判断这类问题的一个简便方法．
r ，l (z)．z<；知
定理设有分段函数，(o)=．{A 。。=面如果函，【^(z)。工>锄
数八z )满足z(1)在点知处连续’(2)在点知的某个去心邻域内可导l (3)l i m ／1(z )=l i m ／。(z )=B ．则函数
一‘
一i
，(z)在点面处可导且／。(面)=B
证明在点氙的某个去心邻域内当z<；蕊时，函数，(z)在区间[工，知]上满足拉格朗日中值定理，则存在一点
e ∈(z ，劫)，使得
厂(p=』鱼掣即厂-(p=掣
当p 面时，有p 面．
因此／．(面)：li m 』鱼立二』鱼生：l i m 厶玉生|二尘；一‘
z 一翻一而
z 一知
l i m ／I (e)=B
毛
同理。厂+(面)=lim 丛兰掣=B ．因此函数
’司
‘”
，(工)在点知处可导且／(勘)=B ．
注意：如果函数八z)满足条件(1)、(2)但l i m ／l (z)一‘
≠l i 珥／：(z)，此时／(勘)≠／(面)，因此可以断定函数
一i
在点勘处不可导．
例l 判断函数化)={2篇二三舅在点动=o
处是否可导，并求其导函数。
解：显然此函数在点勘=0连续，在点勘=0的一个去
心邻域内可导，／l(z)=2、厂2(z)=2一sf 砣z ，I i m ，71(z)
=l i 啦／2(z )=2，由定理知函数，(z)在点函=o 处可导，且／(o )=2。所以此导函数为
几，={h 急，套：
例2判断函数弛
)-{参“蓦在点面=1处是
否可导，并求其导函数．
解：显然此函数在点知=1处连续，在点勘=1的一个
去心邻域内可导，而／l (工)=2z+l 、／：(z)=6，，由于l i m ，’l (工)≠l i m ／2(工)，所以此函数在点劫=1处不可
t
l -r ’1卞
导
其导函数为几)={2≯1’譬：
例3设函数，(曲={；!；：要；在点硒=2可导，
～r —J ’o 户Z 求口、6的值．
解：因为此函数在点铂=2可导，所以它在点知=2处
连续，于是2口+6=3
(1)
又因为函数在点翻=2可导．所以
l i m ，7l (z)=“m ／l (z)
即
口=4
(2)
联立(1)、(2)解得{：24。
其导函数为
厂(z){笔，善；
I 厶Z'Z ，7二
例4判断函数，(z)：．{≯sh 专工<o 在点知：o 处
【工si n
2．Z ≥o
是否可导．
显然此函数满足定理的条件(1)和(2)，而厂l (z)=
2zsi n ÷一cos ÷．由于极限I im ，’l (z)不存在，所以不能
用定理来判断此函数在点面=0处是否可导。事实上不难用导数定义求得厂(o )=o ．此例说明定理只是函数y=，
(z)在点硒处可导的一个充分条件．
[责任编辑：丛爱玲]
[收稿日期]2008一ol 一02
[作者简介]用秀君(1970一)，女，辽宁锦州人。广东纺织技术学院讲师；用天刖(1963一)，男，四川仅陇人．广东纺织技术学院划教授．
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