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2001年西部数学奥林匹克 (2)
2002年西部数学奥林匹克 (4)
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2011年西部数学奥林匹克 (21)
2012年西部数学奥林匹克 (23)
2001年西部数学奥林匹克
1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n 2.证明：x2001<1001.
（李伟固供题）
2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB
的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时， （1）证明：PP≥2PB；
（2）求PQ⋅PQ的值.
（罗增儒供题）
3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数. （潘曾彪供题）
4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.
（冯志刚供题）
5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.
（杨文鹏供题）
6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q
为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与 △PCD有相同的内心. （刘康宁供题）
7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证
明你的结论.
（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；
（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.
求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划
P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）
2002年西部数学奥林匹克
1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.
2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内. 3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.
4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.
5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.
6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：
（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；
（2）a12+a22++a n2≤s3+1.
7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；
（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.
8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.
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